1、教案 1.3 算法案例秦九韶算法教学目标：（1） 在学习中国古代数学中的算法案例的同时，进一步体会算法的特点。（2） 体会中国古代数学对世界数学发展的贡献。教学重点和难点（1） 重点：理解秦九韶算法的思想。（2） 难点：用循环结构表示算法的步骤。教学基本流程（1） 设计算法，求具体多项式的值（2） 改进算法，提高运算效率（3） 介绍秦九韶算法，求一般多项式的值（4） 用循环结构表示秦九韶算法的关键步骤（5） 对秦九韶算法和算法本身的特点进行小结教学情景设计一、新课引入在数学的发展史上，从公元前 2、3 世纪公元 14 世纪，中国的数学虽有过高潮，也有过低落，但一直走在世界的前列，是世界数学的中
2、心。中国古代数学对世界数学发展有着不可磨灭的贡献。秦九韶算法就是中国古代数学的一枝奇葩。今天这节课我们领略秦九韶算法的魅力。二、问题设计问题 问题设计意 师生互动图（1）设计求多项式 763452)(2xxxf当 x=5 时的值的算法，并写出程序。使学生在自己操作的过程中进一步认识问题本身及其算法。S 提出一般的解决方案，如：x=5 7*623*45_*2 xxxfPRINT“f” ；fENDT 点评：上述算法一共做了 15 次乘法运算，5 次加法运算。优点是简单、易懂，缺点是不通用，不能解决任意多项式求值问题，而且计算效率不高。(2)有没有更高效的算法？帮助学生建立改进算法、提高计算效率得意
3、识。T：计算 x 的幂时，可以用前面的计算结果，以减少计算量，即现计算 ，然后依次计算2的值。这样计算上述x22 ）， （ （）， （多项式的值，一共需要多少次乘法，多少次加法？S：9 次乘法运算，5 次加法运算。T：第二种做法和第一种做法相比，乘法的运算次数减少了，因而能提高运算效率。而且对于计算机来说，做一次乘法运算所需的时间比做一次加法运算需要的时间要长得多，因此第二种算法能更快的得到结果。（3）能否探求更好的算法，来解决任意多项式的求解问题？进一步探索具有一般意义的算法。T 引导学生把多项式变形为： 7)63)452()2xxf并提问：从内到外，如果把每一个括号都看成一个常数，那么变形
4、后的式子中有哪些“一次式”？x 的系数依次是什么？S： 共五个一次式，7,6,3,4,52DxCBxAxx 的系数依次是： 6)34)52( ,3)452(,xx，（4）若将 x 的值代入变形后的式子中，那么求值的计算过程是怎样的？引导学生发现规律，归纳总结。原多项式 x 的系数2 5 4 3 6 7 运算10 25 105 540 2670 变形后x 的“系数”2 5 21 108 534 2677 5最后得系数 2677 即为所求的值。让学生描述上述计算过。S：将变形前 x 的系数乘以 x 的值，加上变形前的第2 个系数，得到一个新的系数；将此系数继续乘以 x的值，再，加上变形前的第 3
5、个系数，又得到一个新的系数；继续对新系数做上面的变换，直到与变形前的最后一个系数相加，得到一个新的系数为止。这个系数即为所求多项式的值。T：这种算法即是“秦九韶算法 ”，同时介绍秦九韶的生平。（5）用秦九韶算法求多项式的值，与多项式组成有直接关系吗？用秦九韶算法计算上述多项式的值，需要多少次乘法运算和多少次加法运算？引导学生分析秦九韶算法的特点。教是引导学生发现在求值过程中，计算只与多项式的系数有关，让学生统计所进行得乘法和加法运算次数。S：共做了 5 次乘法运算， 5 次加法运算。（6）秦九韶算法适用于一般的多项式的求值问01)(axfn题吗？说明秦九韶算法的通用性。T：怎样用秦九韶算法求一
6、般的多项式的值？011)( axxaxfnnS:先将多项式变形为 0121)( axaxaxfnn （然后由内向外逐层计算一次多项式的值。T 引导 S 思考：把 n 次多项式的求值问题转化成求 n个一次多项式的值的问题，即求： 013231axvaxvnn的值的过程，共做了多少次乘法运算，多少次加法运算？S:n 次乘法运算，n 次加法运算。（7）怎样用程序框图表示秦九韶算法？引导学生认识秦九韶算法中的循环过程，并用算法的循环结构来表示这个过程。T:观察秦九韶算法的数学模型，计算 时要用到kv的值，若令1kv，我们可以得到下面的递推公式：na0 ),21(1nkxvnk这是一个在秦九韶算法中反复执行的步骤，可以用循环结构来实现。S:画出程序框图。（8）小结：通过对秦九韶算法的学习，你对算法本身有哪些进一步认识？进一步体会算法的特点。T 引导 S 思考、讨论、概括。小结时要关注以下几点：（1）算法具有通用的特点，可以解决一类问题；（2）解决同一类问题，可以有不同的算法，但计算的效率是不同的，应选择高效的算法；（3）算法的种类虽多，但三种逻辑结构可以有效的表达各种算法；等。（9）课后作业：习题 1.3A 组第 2 题
