1、1.3算法案例,案例2 秦九韶算法,复习,1、求两个数的最大公约数的两种方法分别是 _和_ 2.两个数21672，8127的最大公约数是 （ ）A. 2709 B. 2606 C. 2703 D. 2706 3.用更相减损术求140和80的最大公约数是（ ）A. 4 B. 5 C. 10 D. 20,更相减损术,辗转相除法,A,D,21672=81272+5418 8127=54181+2709 5418=27092+0,辗转相除法与更相减损术的比较:,（1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主;计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较
2、大时计算次数的区别较明显。 （2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为0则得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到.,问题1：怎样求多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1 当x=5时的值？并写出程序.,算法1：,= 3906,因为f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1,所以(5)=555551,=31256251252551,一共做了多少次乘法运算和多少次加法运算？,上述算法一共做了1+2+3+4=10次乘法运算，5次加法运算.优点是简单易懂，但计算效率不高.,算法2：,(5)=555551,=5(55551 ) 1,=5(5(555 1 )1 ) 1,=5(5(5(
3、5+5 +1) +1 ) +1 ) +1,=5(5(5(5 (5 +1) +1 )+1)+1) +1,这种算法中用了几次乘法运算？和几次加法运算？,计算多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1当x = 5的值,共做了4次乘法运算，5次加法运算。,问题2：能否探索一个算法,来解决任意多项式的求值问题?,f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7 =(2x4-5x3-4x2+3x-6)x+7 =(2x3-5x2-4x+3)x-6)x+7 =(2x2-5x-4)x+3)x-6)x+7 =(2x-5)x-4)x+3)x-6)x+7,v0=2 v1=v0x-5=25-5=5 v2=v1x-
4、4=55-4=21 v3=v2x+3=215+3=108 v4=v3x-6=1085-6=534 v5=v4x+7=5345+7=2677,所以,当x=5时,多项式的值是2677.,这种求多项式值的方法就叫秦九韶算法.,当x=5时,多项式的值是多少？,数书九章秦九韶算法,对该多项式按下面的方式进行改写：,思考：当知道了x的值后该如何求多项式的值？,要求多项式的值，应该先算最内层的一次多项式的 值，即,然后，由内到外逐层计算一次多项式的值，即,最后的一项是什么？,这种将求一个n次多项式f(x)的值转化成求n个一次多项式的值的方法，称为秦九韶算法。,思考：在求多项式的值上，这是怎样的一个转化？,f
5、(x)=anxn+an-1xn-1+an-2xn-2+a1x+a0.,我们可以改写成如下形式:,f(x)=(anx+an-1)x+an-2)x+a1)x+a0.,求多项式的值时,首先计算最内层括号内一次多项式的值,即,v1=anx+an-1,然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即,一般地,对于一个n次多项式,v2=v1x+an-2,v3=v2x+an-3, ,vn=vn-1x+a0.,这样,求n次多项式f(x)的值就转化为求n个一次多项式的值.这种算法称为秦九韶算法.,特点：通过一次式的反复计算，逐步得出高次多项式 的值.,注:对于一个n次多项式: 秦九韶算法把运算的次数由最多1+2+3+n=
6、n(n+1)/2次乘法和 n次加法的运算,减少为最多只需做n次乘法和n次加法运算,大大提高了运算效率.,例1:用秦九韶算法求多项式 f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7当x=5时的值.,解法一:首先将原多项式改写成如下形式 : f(x)=(2x-5)x-4)x+3)x-6)x+7,v0=2 v1=v0x-5=25-5=5 v2=v1x-4=55-4=21 v3=v2x+3=215+3=108 v4=v3x-6=1085-6=534V5=v4x+7=5345+7=2677,所以,当x=5时,多项式的值是2677.,然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即,2 -5 -4 3 -6 7
7、,x=5,10,5,25,21,105,108,540,534,2670,2677,所以,当x=5时,多项式的值是2677.,原多项式的系数,多项式的值.,例1:用秦九韶算法求多项式 f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7当x=5时的值.,解法二:列表,2,v0,v1,v2,v3,v4,v5,2 -5 0 -4 3 -6 0,x=5,10,5,25,25,125,121,605,608,3040,3034,所以,当x=5时,多项式的值是15170.,练一练:用秦九韶算法求多项式 f(x)=2x6-5x5 -4x3+3x2-6x当x=5时的值.,解:原多项式先化为:f(x)=2x6-
8、5x5 +0x4-4x3+3x2-6x+0,列表如下,2,15170,15170,注意:n次多项式有n+1项,因此缺少哪一项应将其系数补0.,v1=anx+an-1,v2=v1x+an-2,v3=v2x+an-3, ,vn=vn-1x+a0.,观察上述秦九韶算法中的n个一次式,可见vk的计算要用到vk-1的值.,若令v0=an,得,这是一个在秦九韶算法中反复执行的步骤,因此可用循环结构来实现.因此可用循环结构来实现。,算法步骤：,第一步：输入多项式次数n、最高次项的系数an和x的值.,第二步：将v的值初始化为an，将i的值初始化为1.,第三步：输入n-i次项的系数an-i.,第四步：v=vx+an-i , i=i+1.,第五步：判断i是否小于或等于n，若是，则返回第三步；否则，输出多项式的值v。,否,开始,输入a0,a1,a2,a3,a4,a5,输入x0,n5?,n=1,v=a5,v=vx0+a5-n,n=n+1,输出v,结束,是,程序框图,练习、已知多项式f(x)=x5+5x4+10x3+10x2+5x+1 用秦九韶算法求这个多项式当x=-2时的值的过程中，求v1和v4,3，1,课堂小结： 1、秦九韶算法的方法和步骤 2、秦九韶算法的程序框图,课本P45页练习T2; P48页A组T2.,
