1、1.3 算法案例,3 5,9 15,问题1：在小学，我们已经学过求最大公约数的知识，你能求出18与30的最大公约数吗？,18 30,2,3,18和30的最大公约数是23=6.,先用两个数公有的质因数连续去除,一直除到所得的商是互质数为止,然后把所有的除数连乘起来.,案例1 辗转相除法与更相减损术,问题2:我们都是利用找公约数的方法来求 最大公约数，如果两个数比较大而且根据我 们的观察又不能得到一些公约数，我们又应 该怎样求它们的最大公约数？比如求8251与 6105的最大公约数?,研探新知,1.辗转相除法:,例1 求两个正数8251和6105的最大公约数。,分析：8251与6105两数都比较大
2、，而且没有明显的公约数，如能把它们都变小一点，根据已有的知识即可求出最大公约数.,解：8251610512146,显然8251与6105的最大公约数也必是2146的约数，同样6105与2146的公约数也必是8251的约数，所以8251与6105的最大公约数也是6105与2146的最大公约数。,1.辗转相除法:,例1 求两个正数8251和6105的最大公约数。,解：8251610512146;,6105214621813; 214618131333; 18133335148; 333148237; 1483740.,则37为8251与6105的最大公约数。,以上我们求最大公约数的方法就是辗转相除
3、法。也叫欧几里德算法，它是由欧几里德在公元前300年左右首先提出的。,第一步,给定两个正数m,n 第二步,计算m除以n所得到余数r 第三步,m=n,n=r 第四步,若r=0,则m,n的最大公约数等于m;否则返回第二步,辗转相除法求最大公约数算法：,思考 ：需不需要比较m，n的大小,不需要,否,开始,输入两个正数m,n,r=m MOD n,r=0?,输出m,结束,m=n,n=r,是,程序框图,练习1：利用辗转相除法求两数4081与20723的最大公约数.,(53),20723=40815+318; 4081=31812+265; 318=2651+53; 265=535+0.,2.更相减损术:,
4、我国早期也有解决求最大公约数问题的算法，就是更相减损术.,更相减损术求最大公约数的步骤如下：可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之.,翻译出来为：第一步：任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数.若是，用2约简；若不是，执行第二步.第二步：以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（或这个数与约减数的乘积）就是所求的最大公约数.,例2 用更相减损术求98与63的最大公约数.,解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减，,即：986335;633528;35287;28
5、721;21714;1477.,所以，98与63的最大公约数是7。,练习2：用更相减损术求两个正数84与72的最大公约数。,(12),INPUT m, n IF mnIF dn THENm=d,ELSEm=nn=dEND IFd=m-n WEND d=2 k*d PRINT d END,思考：你能根据更相减损术设计程序，求两个正整数的最大公约数吗？,辗转相除法与更相减损术的比较:,（1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主;计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。（2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以
6、相除余数为0则得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到.,问题1设计求多项式f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7当x=5时的值的算法,并写出程序.,点评:上述算法一共做了15次乘法运算,5次加法运算.优点是简单,易懂;缺点是不通用,不能解决任意多项式求值问题,而且计算效率不高.,n次多项式至多n(n+1)/2次乘法运算和n次加法运算,案例2 秦九韶算法,这析计算上述多项式的值,一共需要9次乘法运算,5次加法运算.,问题2有没有更高效的算法?,分析:计算x的幂时,可以利用前面的计算结果,以减少计算量,即先计算x2,然后依次计算,的值.,第二种做法与第一种做法相比,乘法的运算次数减少
7、了,因而能提高运算效率.而且对于计算机来说,做一次乘法所需的运算时间比做一次加法要长得多,因此第二种做法能更快地得到结果.,问题3能否探索更好的算法,来解决任意多项式的求值问题?,f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7 =(2x4-5x3-4x2+3x-6)x+7 =(2x3-5x2-4x+3)x-6)x+7 =(2x2-5x-4)x+3)x-6)x+7 =(2x-5)x-4)x+3)x-6)x+7,v0=2 v1=v0x-5=25-5=5 v2=v1x-4=55-4=21 v3=v2x+3=215+3=108 v4=v3x-6=1085-6=534 v5=v4x+7=5345+7
8、=2677,所以,当x=5时,多项式的值是2677.,这种求多项式值的方法就叫秦九韶算法.,变为求几个一次式的值,几个乘法 几个加法？,秦九韶数书九章.,2 -5 0 -4 3 -6 0,x=5,10,5,25,25,125,121,605,608,3040,3034,所以,当x=5时,多项式的值是15170.,练习:用秦九韶算法求多项式 f(x)=2x6-5x5-4x3+3x2-6x当x=5时的值.,解:原多项式先化为:f(x)=2x6-5x5 +0x4-4x3+3x2-6x+0 列表,2,15170,15170,注意:n次多项式有n+1项,因此缺少哪一项应将其系数补0.,f(x)=anxn
9、+an-1xn-1+an-2xn-2+a1x+a0.,我们可以改写成如下形式:,f(x)=(anx+an-1)x+an-2)x+a1)x+a0.,求多项式的值时,首先计算最内层括号内一次多项式的值,即,v1=anx+an-1,然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即,一般地,对于一个n次多项式,v2=v1x+an-2,v3=v2x+an-3, ,vn=vn-1x+a0.,这样,求n次多项式f(x)的值就转化为求n个一次多项式的值.这种算法称为秦九韶算法.,点评:秦九韶算法是求一元多项式的值的一种方法.它的特点是:把求一个n次多项式的值转化为求n个一次多项式的值,通过这种转化,把运算的次数由至多n
10、(n+1)/2次乘法运算和n次加法运算,减少为n次乘法运算和n次加法运算,大大提高了运算效率.,v1=anx+an-1,v2=v1x+an-2,v3=v2x+an-3, ,vn=vn-1x+a0.,观察上述秦九韶算法中的n个一次式,可见vk的计算要用到vk-1的值.,若令v0=an,得,这是一个在秦九韶算法中反复执行的步骤,因此可用循环结构来实现.,第一步,输入多项式次数n、最高次项的系数an和x的值 第二步,将v的值初始化为an，将i的值初始化为n-1 第三步,输入i次项的系数ai 第四步,v=vx+ai,i=i-1 第五步,若i=0,则返回第三步，否则输出v,算法分析：,否,程序框图,开始
11、,输入n,an,x的值,输入ai,i=0?,i=n-1,v=an,v=vx+ai,i=i-1,输出v,结束,是,问题1我们常见的数字都是十进制的,但是并不是生活中的每一种数字都是十进制的.比如时间和角度的单位用六十进位制,电子计算机用的是二进制.那么什么是进位制?不同的进位制之间又有什么联系呢?,进位制是人们为了计数和运算的方便而约定的一种记数系统，约定满二进一,就是二进制;满十进一,就是十进制;满十六进一,就是十六进制;等等.,“满几进一”,就是几进制,几进制的基数就是几.,可使用数字符号的个数称为基数.基数都是大于1的整数.,案例3 进位制,如二进制可使用的数字有0和1,基数是2;十进制可
12、使用的数字有0,1,2,8,9等十个数字,基数是10;十六进制可使用的数字或符号有09等10个数字以及AF等6个字母(规定字母AF对应1015),十六进制的基数是16.,注意:为了区分不同的进位制,常在数字的右下脚标明基数,.,如111001(2)表示二进制数,34(5)表示5进制数.,十进制数一般不标注基数.,问题2十进制数3721中的3表示3个千,7表示7个百,2表示2个十,1表示1个一,从而它可以写成下面的形式:,3721=3103+7102+2101+1100.,想一想二进制数1011(2)可以类似的写成什么形式?,1011(2)=123+022+121+120.,同理:,3421(5
13、)=353+452+251+150.,C7A16(16)=12164+7163+10162+1161+6160.,一般地,若k是一个大于1的整数,那么以k为基数的k进制数可以表示为一串数字连写在一起的形式,anan-1a1a0(k) (0ank,0an-1,a1,a0k),意思是:(1)第一个数字an不能等于0; (2)每一个数字an,an-1,a1,a0都须小于k.,k进制的数也可以表示成不同位上数字与基数k的幂的乘积之和的形式,即,anan-1a1a0(k)=ankn+an-1kn-1+a1k1+a0k0 .,注意这是一个n+1位数.,问题3二进制只用0和1两个数字,这正好与电路的通和断两
14、种状态相对应,因此计算机内部都使用二进制.计算机在进行数的运算时,先把接受到的数转化成二进制数进行运算,再把运算结果转化为十进制数输出.那么二进制数与十进制数之间是如何转化的呢?,例3:把二进制数110011(2)化为十进制数.,分析:先把二进制数写成不同位上数字与2的幂的乘积之和的形式,再按照十进制数的运算规则计算出结果.,解:110011(2)=125+124+023+022+121+120=132+116+12+1=51.,k进制数转化为十进制数的方法,先把k进制的数表示成不同位上数字与基数k的幂的乘积之和的形式,即,anan-1a1a0(k) =ankn+an-1kn-1+a1k1+a
15、0k0 .,再按照十进制数的运算规则计算出结果.,例4:把89化为二进制的数.,分析:把89化为二进制的数,需想办法将89先写成如下形式,89=an2n+an-12n-1+a121+a020 .,89=442+1,44=222+0,22=112+0,11=52+1,5=22+1,89=442+1,=(222+0)2+1=(112+0)2+0)2+1=(52+1)2+0)2+0)2+1 =(22+1)2+1)2+0) 2+0)2+1=(12)+0)2+1)2+1)2+0) 2+0)2+1,=126+025+124 +123+022+021+120=1011001(2).,可以用2连续去除89或所
16、得商(一直到商为0为止),然后取余数 -除2取余法.,2=12+0,1=02+1,44 1,例4:把89化为二进制的数.,我们可以用下面的除法算式表示除2取余法:,22 0,11 0,5 1,2 1,1 0,0 1,把算式中各步所得的余数从下到上排列,得到,89=1011001(2).,这种方法也可以推广为把十进制数化为k进制数的算法,称为除k取余法.,例5:把89化为五进制的数.,解:以5作为除数,相应的除法算式为:,17 4,3 2,0 3, 89=324(5).,问题5你会把三进制数10221(3)化为二进制数吗?,解:第一步:先把三进制数化为十进制数: 10221(3)=134+033+232+231+130=81+18+6+1=106.,第二步:再把十进制数化为二进制数:,106=1101010(2).,小结,进位制的概念及表示方法;各种进位制之间的相互转化.,anan-1a1a0(k) =ankn+an-1kn-1+a1k1+a0k0 .,
