1、单元测评(一) 导数及其应用(A 卷)(时间：90 分钟 满分：120 分)第卷(选择题，共 50 分)一、选择题：本大题共 10 小题，共 50 分1下列各式正确的是( )A(sina)cos a(a 为常数 )B (cosx) sinxC (sinx) cosxD( x5 ) x615解析：由导数公式知选项 A 中(sina)0；选项 B 中(cosx )sin x；选项 D 中(x 5 )5x 6 .只有 C 正确答案：C2曲线 y 在点(1，1)处的切线方程为( )xx 2Ay 2x 1 By2x1C y 2x3 Dy2x2解析：y ，x x 2 xx 2x 22 2x 22ky| x
2、1 2，2 1 22切线方程为：y1 2(x1)，即 y2x 1.答案：A3已知对任意实数 x，有 f(x )f(x)，g(x )g(x )且 x0时，f ( x)0，g(x)0，则 x0，g(x)0 Bf(x)0 ，g( x)0 Df(x)0 时单调递增，所以 x0；g (x)为偶函数且 x0 时单调递增，所以 x21 Da0 或 a21解析：f(x)3x 22ax7a，当 4a 284a0，即 0a21时，f ( x)0 恒成立，函数不存在极值点答案：A6如图是函数 yf(x)的导函数 yf(x )的图象，则下列结论正确的是( )A在区间(2,1) 内 f(x)是增函数B在区间(1,3)
3、内 f(x)是减函数C在区间(4,5) 内 f(x)是增函数D在 x2 时，f(x)取极小值解析：由图象可知，当 x(4,5) 时，f(x)0，f(x)在(4,5)内为增函数答案：C7若函数 f(x)x 33x 29xa 在区间 2，1 上的最大值为 2，则它在该区间上的最小值为( )A5 B7C 10 D19解析：y 3x 2 6x93(x1)( x3)，函数在2，1 内单调递减，最大值为 f(2) 2 a2.a0，最小值为 f(1)a55.答案：A8曲线 y x21 与 x 轴围成图形的面积等于( )A. B.13 23C 1 D.43解析：函数 yx 21 与 x 轴的交点为(1,0)，
4、(1,0)，且函数图象关于 y 轴对称，故所求面积为S2 (1x 2)dx2 | 2 .10 (x 13x3) 10 23 43答案：D9设 f(x)Error!则 f(x)dx 等于( )e0A. B.43 54C. D.65 76解析： f(x)dx x2dx dxe010e11x x3| lnx| .13 10 e1 43答案：A10若函数 f(x)在 R 上可导，且 f(x)f(x)，则当 ab 时，下列不等式成立的是( )Ae af(a)ebf(b) Be bf(a)eaf(b)C ebf(b)eaf(a) De af(b)ebf(a)解析： (fxex) exf x exfxex2
5、 b，fxex ebf(a)答案：D第卷(非选择题，共 70 分)二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分11如果函数 f(x)x 36bx3b 在区间(0,1)内存在与 x 轴平行的切线，则实数 b 的取值范围是_解析：存在与 x 轴平行的切线，即 f(x )3x 26b0 有解又x(0,1)，b .x22 (0，12)答案： (0，12)12函数 yx 3ax 2bxa 2 在 x1 处有极值 10，则a_.解析：y 3x 22 axb，Error!Error!或Error!当Error!时，y3x 26x33(x1) 20，函数无极值，故a4，b11.答案：413如果
6、圆柱的轴截面周长为定值 4，则圆柱体积的最大值为_解析：设圆柱的高为 h，底面半径为 R，根据条件 4R2h4，得 h22R,00)1aex(1)求 f(x)在0，)内的最小值；(2)设曲线 yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为 y x，求 a，b 的32值解：(1)f(x)a ex ，1aex当 f (x)0，即 xlna 时，f(x) 在(lna，)上递增；当 f (x)0，f(x) 在(0 ，ln a)上递减，在(ln a，) 上递增，从而 f(x)在0， )内的最小值为 f(ln a)2b；当 a1 时， lna0，f(x) 在0，)上递增，从而 f(x)在0，) 内的最小值为
7、f(0)a b.6 分1a(2)依题意 f(2)a e2 ，解得 ae22 或 ae2 (舍去) 1ae2 32 12所以 a ，代入原函数可得 2 b3，即 b .2e2 12 12故 a ，b .12 分2e2 1217(12 分) 若函数 f(x)ax 22x lnx 在 x1 处取得极值43(1)求 a 的值；(2)求函数 f(x)的单调区间及极值解：(1)f(x)2ax2 ，43x由 f (1)2a 0，得 a .4 分23 13(2)f(x) x22x lnx(x0)13 43f(x) x2 23 43x 2x 1x 23x由 f (x)0，得 x1 或 x2.8 分当 f(x)0
8、 时 12.当 x 变化时 f(x)，f(x)的变化情况如下：x (0,1) 1 (1,2) 2 (2，)f (x) 0 0 f(x) 53 ln283 43因此 f(x)的单调递增区间是(1,2)，单调递减区间是(0,1)，(2，) 函数的极小值为 f(1) ，极大值为 f(2) ln2.12 分53 83 4318(14 分) 已知两个函数 f(x)7x 228xc，g(x)2x 34x 240x.(1)若对任意 x3,3，都有 f(x)g(x) 成立，求实数 c 的取值范围；(2)若对任意 x13,3，x 23,3，都有 f(x1)g(x 2)成立，求实数 c 的取值范围解：(1) f(x)g(x) 恒成立，c(2x 33x 212x) max.令 F(x)2x 33x 212x，x3,3，F(x)6x 26x12，x3,3，令 F(x)0 得 x1 或 x2.当 x1,2 ，f(x)0，f(x) 单调递增，当 x3，1) 或 x(2,3 ，f(x)0 ，g(x) 单调递增x 23,3时，g(x 2)ming(2)48.10 分又f(x 1)g(x 2)对任意 x1，x 23,3都成立，147c 48，即 c195，即实数 c 的取值范围为195，).14 分
