1、2.2 对数函数2.2.1 对数与对数运算励志名言对数学中的困难不要着急，我坚信你正在努力，以取得更好的成绩.爱因斯坦目标导航1. 理解对数的概念,能进行对数式与指数式互化. 利用它们之间的关系研究对数的性质，从而培养自己的类比、分析、归纳能力.2. 掌握对数的运算性质, 能利用公式法则进行数、式、方程的运算，从而培养自己的运算能力.要点聚焦1对数的概念，要会说出各个字母的名称及限制条件，底数 满足 且 ，a01a真数 0N根据指数的性质可以推导出：当 、 同在 上或 上时，对数为正；aN)1,0( ),( 当 时，对数为；当 、 一个在 上另一个在 上时，对数为1 负 2要掌握好对数的运算性
2、质以及公式满足的条件)(logllogMNaaa )10,0a且 ,且 3要充分掌握好对数的换底公式及它的变形及其灵活应用且 ， ， 且abcalogl 0(1a0bc)1且 ， ，mnalm对数恒等式： 且 ，balog0(1a)0b且 ，al R4掌握自然对数和常用对数的记法5对数的大小比较时，常见的方法有中间量法和作差法，在含有绝对值的对数大小比较时常进行等量代换，要注意各种方法的指导思想和依据6在指对数函数互化及求解问题中，要注意其格式、换底公式及转换的依据2.2.1 对数与对数运算（1）经典题例例题 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式. ， ； , .625404.38log2
3、310l分析 应根据 、 、 三个量之间的同一关系及指数与对数的关系，进行正确axN的转化，进一步强化对数与指数的概念.解析 因为 ，所以 .465l因为 ，所以 204og.0.52因为 ，所以 823.8log2因为 ，所以 .101点评 与 ( 且 ， )表示 、 、 三个量Naxal0a0NaxN之间的同一关系，正确进行它们之间的相互转换是解题的有效途径。星级提速1已知 ( 且 ， )，则 （ ）xalog01A 是以 为底 的对数； B 是以 为底 的对数；NNaxC 是以 为底 的对数； D 是以 为底 的对数.2已知 ,则 是以 为底 的对数.2045.x3. 常用对数是以 为底
4、的对数，记作 ；自然对数是以 为底的对数，记作 .4指数式 化为对数式为 ；指数式 化为对数式为 .2 Nax5指数式 化为对数式为 ；对数式 化为指数式为 .10a 01logb6指数式 化为对数式为 ；对数式 化为指数式为 .n7. 指数式 化为对数式为 ；对数式 化为指数式为 .Nx10 NMlg8. 指数式 化为对数式为 ；对数式 化为指数式为 .Nexa10ln星级提速1将 写成对数式 625b2将 化为指数式 4log213已知 ,则 3l64x4计算 5.og25下列各式正确的个数是（ ） ； ；0)1l(0)lg(ne若 ,则 ； 若 ,则 .xg121log5x5A.1 个
5、B.2 个 C.3 个 D.4 个6已知 , ,求 的值；ma2lona3lnms2星级提速设 ， ,是否存在 的值，使 1,0 M2lgaaN， ， 1NM趣味数学1 （打一成语）.782 2、4、6、8、10（打一成语）.成长纪录做错的习题或感受较深的地方积累经验及教训学到新的方法或思路获得支持与鼓励存在的疑难问题或研究性学习目标2.2.1 对数与对数运算（2）经典题例例 若 , ,求证： .105.2x105.y13xy分析 根据条件与结论的差别与联系，应先由各指数式分别解出 x,y,再取倒数，作差.解析 由 ,即 = .105.2x 10log5.2x1x352lg由 ,即 = .yl
6、25.0yy0l所以 11.lg.l.lg.33xy点评 当已知和未知之间看不清联系的时候，应该先由已知 想可知105.2x，由未知 想需知 ，然后在可知 与需知10log5.2x13xy1xlog5.2之间寻找联系.例 2 若 ,求 的值.yxyxylg2l)lg()l( x分析 根据对数法则，可以去掉对数符号，化成含有 、 的二元二次方程来求解.解析 从已知条件中，可得 ，xyxy2lg)(lg即 yx2)(化简得 ，02两边同时除以 得 ，2y2)(2yx解得 或 ，yx1由 ， 可知， ， .00yx2点评 含有对数式的式子，一定要注意真数、底数的取值范围.星级提速1根据对数的运算性质
7、填空（ ， ， ， ）：0a10MN； ；)(logllog aaNM )(logllog aaa. n2用 , , 表示下列各式：xalyalzal ； ； ； zalogyxa23log)lg(xyzzyx2lg3求值： ； ； ； 01.lg)864(log3215log3l52lg星级提速1用 , , , 表示下列各式：xalogyal)(logyxa)(logyxa ； )(l321za l3a2已知 的对数，求 :xx ； nmaaalogl3logbaxlnl3已知 ，求 的值.a27log116log4求下列各题之值： ；2lg5lg2 4log18o)31( 6626 0.l
8、0l8l 12星级提速1已知 ， ，用 ， 表示 的值.a9log185bab45log362若 ,试求 、 、 之间的关系.cba236abc3已知函数 满足 ，且对一切实数 都有bxaxf lg)2(l)(22)1(f x,求实数 、 的值.xf)(b趣味数学一张普通的纸，对折多少次之后的厚度与珠穆朗玛峰的高度相同？成长纪录做错的习题或感受较深的地方积累经验及教训学到新的方法或思路获得支持与鼓励存在的疑难问题或研究性学习目标2.2.2 对数函数及其性质励志名言不能因为第一次飞翔遇到了风暴，从此就怀疑没有蓝天彩霞.梅智子目标导航1. 掌握对数函数的概念、 图像、性质及应用2理解对数函数与指数
9、函数之间的关系.3会用对数函数的性质比较大小.4应用对数函数的性质解决问题，培养数形结合的能力.要点聚焦1理解对数函数的概念，底数大于且不等于，真数为正根据对数的性质可知：当底数和真数同在 上或 上时，对数为正；当真)1,0( ),( 数为时，对数为；当底数和真数一个在 上另一个在 上时，对数为 ,1 负这在对数的大小和比较中有重要应用2理解对数函数与指数函数互为反函数，其图象关于 对称，单调性一致xy3对数函数恒过点 ，要注意这个条件的灵活应用即这个点是与底数 无关)0,1( a的，不随 的变化而变化a例如，函数 且 恒过一定点，则该点的坐标1)2(logxya0(a)1为 我们知道， ，这
10、是与 无关的一个等式，于是 则01logaa12x，从而 ，故定点为3x82y)8,3( 4掌握对数函数性质，在 时，函数为增函数；在 时，函数减函数10a5掌握对数函数图象的性质，在第一象限，沿着逆时针方向， 逐渐变小6在对数函数的大小比较中，常见的方法是作差法、中间量法，在含绝对值的对数函数的大小比较时，还经常用到作商法和求和法(利用实数的性质)，注意结合第1、第 4、第五点进行大小比较时的灵活应用7形如 的函数定义域为 或值域为 时的等价转换)(log2baxyR2.2.2 对数函数及其性质（1）经典题例例 1 已知 , ,且 ， ， 则xf)(xblog)(0lgba1ab与 的图像
11、（ ）)(xfygA关于直线 对称； B关于直线 对称；0yyxC关于 轴对称； D关于原点对称.分析 此题可以采用的方法有：分情况讨论 和 ；给 和 赋特殊值；ab求出两个函数的解析式.下面给出的解析过程.解析 由 得 ，0lgba1a xxaloglo)( 与 的图像关于直线 对称，故选 B.fy)(0y点评 由 去掉 或者 ，再进行比较，关于直线 对称的0lgbab0yx两点坐标为 ， ),(xy ；关于直线 对称的两点坐标为 和),(x yx),( ),(y 例 2 设 ， 、 都是正实数，求使 取负值1)(2log25.0xxbaaby时 的取值范围.x分析 依据 ，当 ， ， ，将
12、对数式转化为01loga)1,( t0logtya指数不等式；再将指数式转化为一元二次不等式来求解.解析 要使 ，须使 ，y 1)(22xxba即 0)(2xxba又因 、 均为正数，两边同除以 ，则 x2 0)(2)(xxba由 ，所以 Rb1)(xb若 ，则 ， 0aa),2(log ba若 ，则 ，不等式恒成立.所以 b1Rx若 ，则 0ba，所以 a )12(log(ba， 点评 通常对于较复杂的对数，指数运算，一方面要注意互化，另一方面还要注意等价转化，对含有字母的式子，要注意对底数的讨论.星级提速1求下列函数的定义域： ； （2） ；（3）)9(logxyaxy2log35.0)4(logxy2比较下列各组数中两个值的大小： ， ； ， ；3.4log25.8l28.1log302.7l30 ， ； ， 7 en
