1、32 复数代数形式的四则运算32.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义学习目标 1.掌握复数代数形式的加、减运算法则(重点)2理解复数代数形式的加、减运算的几何意义(难点)学法指导 复数的代数形式的加减法运算可以类比多项式的加减法运算，利用向量的加法来理解复数加法的几何意义，数形结合.1复数加减法的运算法则及加法运算律(1)加减法则设 z1abi，z 2c di(a，b，c，dR)是任意两个复数，则 z1z 2( ac)(bd)i，z 1z 2( ac )(bd)i.(2)加法运算律对任意 z1，z 2，z 3C，交换律：z 1z 2z 2z 1.结合律：(z 1z 2)z 3z 1( z
2、2z 3)2复数加减法的几何意义如图：设复数 z1，z 2 对应的向量分别为 ， ，四边形 OZ1ZZ2 为平行四边形，则与OZ1 OZ2 z1z 2 对应的向量是 ，与 z1z 2 对应的向量是 .OZ Z2Z1 1判断：(正确的打“” ，错误的打 “”)(1)两个虚数的和或差可能是实数( )(2)若复数 z1， z2 满足 z1z 20，则 z1z 2.( )(3)复数的减法不满足结合律，即( z1z 2)z 3z 1( z2z 3)可能不成立( )答案：(1) (2) (3) 2已知复数 z134i，z 2 34i ，则 z1z 2 等于( )A8i B6C68i D68i答案：B3若复
3、数 z 满足 zi33 i ，则 z 等于( )A0 B2iC6 D62i答案：D4设 O 是原点，向量 ， 对应的复数分别为 23i ， 32i ，那么向量 对应的OA OB BA 复数是_答案：55i复数的加减运算计算：(1)(56i)(2i) (3 4i)；(2)5i(34i)(13i)；(3)(ab i)(2a3bi)3i( a，bR )(链接教材 P108 例 1)解 (1)原式(523)(614)i11i.(2)原式5i(4i)44i.(3)原式(a2 a)b(3b)3ia(4 b3)i.方法归纳复数的加法运算类似于多项式的合并同类项，首先正确确定各个复数的实部、虚部，再将所有实部
4、和虚部分别求和，最后将实部和作为实部，虚部和作为虚部，写出复数的代数形式注意减法要将减数的实部、虚部变为相反数进行求和1(1)已知 z1 23i，z 212i.求 z1z 2，z 1z 2.(2)计算：( i)(2i)( i)13 12 43 32解：(1)z 1z 223i(1 2i)15i，z1z 223i (12i)3i.(2)( i)(2i)( i)( 2 )( 1 )i1 i.13 12 43 32 13 43 12 32复数加减法的几何意义在复平面内，A，B，C 分别对应复数 z11i，z 2 5i ，z 333i，以AB， AC 为邻边作一个平行四边形 ABDC，求 D 点对应的
5、复数 z4 及 AD 的长解 如图所示：对应复数 z3z 1， 对应复数 z2z 1， 对应复数 z4z 1.由向量的平行四边形法则，AC AB AD 得 ，AD AB AC z 4z 1( z2 z1)(z 3z 1)，z 4z 2z 3 z1(5i)(3 3i)(1i)73i，AD 的长为| | z4z 1|AD |(7 3i)(1 i)|62i| 2 .10方法归纳运用复数加、减运算的几何意义应注意的问题向量加法、减法运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加法、减法几何意义的依据利用加法“首尾相接”和减法“指向被减数”的特点，在三角形内可求得第三个向量及其对应的复数注意向量 对应的复数是
6、 zBz A(终点对应的复数减去起点对应的复数)AB 2. 复数 z112i，z 22i ，z 312i ，如图，它们在复平面上对应的点分别是正方形的三个顶点 A，B，C，求这个正方形的第四个顶点所对应的复数解：如题图，设正方形的第四个顶点 D 对应的复数为 x yi(x，yR)，则 AD OD 对应的复数是(x y i)(1 2i)(x1)(y2)i，OA 对应的复数是BC OC OB (12i)( 2i)13i. ，AD BC 即(x1)(y 2)i13i，Error!解得Error!故点 D 对应的复数为 2i.名师解题 求解复数的模设 z1、z 2C，已知|z 1| z2|1，|z 1
7、z 2| ，求|z 1z 2|.2解 法一：设 z1abi，z 2cdi(a，b，c，dR) ，由题设知 a2b 21，c 2d 21，(ac) 2( bd) 22，又由(ac) 2(bd) 2a 22 acc 2b 22bdd 2，可得 2ac2bd0.|z 1z 2|2(ac )2(bd) 2a 2c 2b 2d 2(2ac2bd)2，|z 1z 2| .2法二：作出 z1、z 2 对应的向量 、 (图略)OZ1 OZ2 |z 1| z2|1，又 、 不共线(若 、 共线，则|z 1z 2|2 或 0)，OZ1 OZ2 OZ1 OZ2 OZ 1ZZ2 为菱形又|z 1z 2| ，2Z 1OZ290，即OZ 1ZZ2 为正方形，故| z1z 2| .2名师点评 (1)本例法一体现了“复数问题实数化”思想的应用，法二体现了数形结合思想方法的应用(2)在复平面内，z 1、z 2 对应的点为 A、B，z 1z 2 对应的点为 C，O 为坐标原点，四边形 OACB 为平行四边形；若|z 1z 2|z 1z 2|，则四边形 OACB 为矩形；若| z1|z 2|，则四边形 OACB 为菱形；若| z1|z 2|且| z1z 2|z 1z 2|，则四边形 OACB 为正方形
