1、16 微积分基本定理学习目标 1.了解微积分基本定理的内容与含义2会利用微积分基本定理求函数的定积分(重点、难点)学法指导通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，直观了解微积分基本定理的含义微积分基本定理不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，而且还提供了计算定积分的一种有效方法.1微积分基本定理内容如果 f(x)是区间a，b上的连续函数，并且 F(x)f(x) ，那么 f(x)dxF(b) F(a)ba符号f(x)dxF(x)| F(b)F( a)ba ba2.定积分和曲边梯形面积的关系设曲边梯形在 x 轴上方的面积为 S 上 ，在 x 轴下方的面积为 S 下 ，则(1)当曲边梯形在 x
2、轴上方时，如图，则 f(x)dxS 上ba(2)当曲边梯形在 x 轴下方时，如图，则 f(x)dxS 下ba(3)当曲边梯形在 x 轴上方、x 轴下方均存在时，如图，则 f(x)dxS 上 S 下ba若 S 上 S 下 ，则 f(x)dx0 .ba1判断：(正确的打“” ，错误的打 “”)(1)若 F (x) f(x)，则 F(x)唯一( )(2)定积分 f(x)dx 的几何意义是由 x 轴、函数 yf(x)的图象以及直线 xa，xb 围成ba的各部分面积的代数和( )答案：(1) (2) 2下列各式中，正确的是( )A. F (x)dxF( b)F(a )baB. F(x)d xF(a) F
3、(b )baC F(x)d xF(b) F(a)baD F (x)dxF( a)F(b)ba答案：C3下列积分值等于 1 的是( )A. xdx B (x1)dx1010C 1dx D dx101012答案：C4. (x2 x)dx_.20 23答案：43求简单函数的定积分计算下列定积分：(1) dx；211x(2) sin xdx；20(3) (2x )dx；31 1x2(4) (cos xe x)dx.0 (链接教材 P53例 1、例 2)解 (1)因为(ln x ) ，1x所以 dxln x| ln 2ln 1 ln 2.211x 21(2)因为(cos x) sin x，所以 sin
4、xdx(cos x)|20 20(cos 2)(cos 0) 0.(3)因为(x 2)2x ，( ) ，1x 1x2所以 (2x )dx 2xdx dx31 1x231311x2x 2| | (91)( 1) .311x31 13 223(4)因为(sin x)cos x ，(e x)e x.所以 (cos xe x)dx cos xdx exdx0 0 0 sin x| e x| 1.0 0 1e方法归纳(1)用微积分基本定理求定积分的步骤：求 f(x)的一个原函数 F(x)；计算 F(b)F(a)(2)注意事项：有时需先化简被积函数，再求积分；f(x)的原函数有无穷多个，如 F(x)c ，
5、计算时，一般只写一个最简单的，不再加任意常数 C1计算下列定积分：(1) (x2 )dx；(2) (1 )dx.21 1x494 x解：(1) (x2 )dx( x3 x3 )| ( )( ) .21 1x4 13 13 21 83 138 13 13 218(2) (1 )dx(x x )| 9 9 (4 4 )27(4 ) .94 x 233294 23 32 23 32 163 533计算分段函数的定积分计算下列定积分：(1)若 f(x)Error! ，求 f(x)dx；(2) |3 2x|dx.21解 (1) f(x)dx x2dx (cos x1)dx，0 1又( x3)x 2，(s
6、in xx) cos x1，13原式 x3Error!(sin x x )13(0 )(sin )(sin 00)13 2 2 .43 2(2) |3 2x|dx21 (32x)dx (2x3)dx(3x x2) ( x23x) .12方法归纳(1)求分段函数的定积分时，可利用积分性质将其表示为几段积分和的形式；(2)带绝对值的解析式，先根据绝对值的意义找到分界点，去掉绝对值号，化为分段函数；(3)含有字母参数的绝对值问题要注意分类讨论2已知函数 f(x)Error!先画出函数图象，再求这个函数在区间 0,4上的定积分解：函数 f(x)的图象如图所示5555555555555555555555
7、555f(x)dx sin xdx 1dx (x1)d x4042(cos x) x ( x2x)Error!121(2 )(40)7 .2 2定积分的简单应用已知 f(x) (12t4a)dt ，F(a) f(x)3a 2dx，求函数 F(a)的最小值x a10解 f(x) (12t4a)dtx a(6t 24at)| x a6x 24ax(6a 24a 2)6x 24ax2a 2，F(a) f(x)3a 2dx (6x24axa 2)dx1010(2x 3 2ax2a 2x)| a 22a 210(a1) 211，当 a1 时，F(a) 最小值 1.方法归纳定积分的应用体现了积分与函数的内
8、在联系，可以通过积分构造新的函数，进而对这一函数进行性质、最值等方面的考查，解题过程中注意体会转化思想的应用3设函数 y sin(x )(0)的周期为 T，若 T ，且 sin(x )dx3 3 2 3，求 的值32解： sin(x )dxcos(x )|3 3 cos sin cos sin 12 6 32 6 12 6 32 6 sin ，36sin ， 2k 或 2k( kZ)6 12 6 6 56又 T ，3 25.数学思想 分类讨论思想求解含参数的积分已知 f(x)Error!若 3f(x)dx40，求实数 k 的值3k解 由 3f(x)dx40，3k得 f(x)dx .3k 403
9、根据分段函数的解析式，分2k2 和 2k3 两种情况讨论：(1)当2k2 时，f(x)dx (2x1)dx (1x 2)dx3k2k32(x 2 x) (x )2kx3332(42)(k 2k )(39)(2 )83 (k 2k) ，403 403所以 k2k0，解得 k0 或 k1.(2)当 2k3 时，f(x)dx (1 x2)dx(x )3k3k x333k(39)(k ) ，k33 403整理，得 k33k 40，即 k3k 2k 2 3k40，所以(k 1)(k2k4)0，所以 k1，又因为 2k3，所以 k1 舍去综上所述，k0 或 k1 为所求感悟提高 1.本题利用了分类讨论思想
10、和方程思想，因积分下限 k2,3)，故要对参数分两种情形2k2,2k3 进行分类求解，尽而转化为关于 k 的方程，解方程便可求得 k 的值2分类讨论方法是解决含有参数问题的主要途径分类讨论是按照一定的标准将一个复杂的数学问题分解为等价的若干个相对简单的子问题分类时坚持条件优先的原则，如按照参数的符号分类，按方程或函数的次数分类等，本例分类的标准是积分下限的意义以及分段函数的概念两方面的信息.名师解题 定积分求解的三种常用策略1.选择适当的积分变量在有些定积分求解问题中，选 x 为积分变量，有时需将图形分割，运算比较繁琐，这时可选用 y 作为积分变量，为此需求出两线交点的纵坐标，确定出被积函数和
11、积分的上、下限求由抛物线 y28x (y0)与直线 xy60 及 y0 所围成图形的面积解 法一：由Error!，解得交点坐标为(2,4)，如图，所以所求面积为 A dx (6x)208x62dx2 x | (6 x x2)| 2 (36 18)(122) .2233220 12 62 423 32 403法二：由Error!，解得交点坐标为(2,4)，如图，所以所求面积为A (6y y2)dy(6y y2 y3)|40 18 12 124 40248 43 .124 4032巧用定积分的“区间可加性”求解定积分运算时，若被积函数含有绝对值，应先去掉绝对值符号，再求解计算： |x2|dx .31解 f(x) |x 2|Error! |x 2|dx (2x )dx (x2)dx312132(2x x2)| ( x22x)|12 21 12 32(42)(2 )( 6)(24)12 921.3合理拆项被积函数如果是分式，并且分子中变量的最高项的次数与分母中最高项的次数相同，可以考虑将分式拆项，这样不但可以使问题的思路容易寻找，而且可以减少计算量求定积分 dx 的值0 1 x2x2 2x解 dx dx0 1 x2x2 2x0 1x2 2x 2xx2 2x (1 )dx dx dx0 1 2x 20 110 12x 212 dx12ln( x2)| 12ln 2.0 11x 2 0 1
