1、解一元一次方程(2)一. 本周教学内容：一元一次方程（二）列方程解应用题，是初中数学的重要内容之一。许多实际问题都归结为解一种方程或方程组，所以列出方程或方程组解应用题是数学联系实际，解决 实际问题的一个重要方面；同时通过列方程解应用题，可以培养我们分析问题，解决问题的能力。因此我们要努力学好这部分 知识。 列方程解应用题的主要步骤：1. 认真审题，理解题意，弄清题目中的数量关系，找出其中的等量关系；2. 用字母表示题目中的未知数，并用这个字母和已知数一起组成表示各数量关系的代数式；3. 利用这些代数式列出反映某个等量关系的方程（注意所使用的单位一定要统一）；4. 求出所列方程的解；5. 检验
2、所求的解是否使方程成立，又能使应用题有意义，并写出答案。【学习提示】一. 数字问题： （1）要搞清楚数的表示方法：一个三位数的百位数字为 a， 十位数字是 b，个位数字为 c（其中 a、b、c 均为整数，且 1a9， 0b9， 0c9）则这个三位数表示为：100a10bc。（2）数字问题中一些表示：两个连续整数之间的关系，较大的比较小的大 1；偶数用2N 表示，连续的偶数用 2N2 或 2N2 表示；奇数用 2N1 或 2N1 表示。例 1. 一个三位数，三个数位上的数字之和是 17，百位上的数比十位上的数大 7，个位上的数是十位上的数的 3 倍，求这个三位数分析由已知条件给出了百位和个位上的
3、数的关系，若设十位上的数为 x，则百位上的数为 X7，个位上的数是 3X，等量关系为三个数位上的数字和为 17。 解：设这个三位数十位上的数为 X，则百位上的数为 X7，个位上的数是 3XXX73X17 解得 X2X79，3X6 答：这个三位数是 926例 2. 一个两位数，个位上的数是十位上的数的 2 倍，如果把十 位与个位上的数对调，那么所得的两位数比原两位数大 36，求原来的两位数等量关系：原两位数36对调后新两位数解：设十位上的数字 X，则个位上的数是 2X，102XX（10X2X）36 解得 X4，2X8，答：原来的两位数是 48。二. 工程问题： 工程问题中的三个量及其关系为：工作
4、总量工作效率工作时间 经常在题目中未给出工作总量时，设工作总量为单位 1。例 3. 一件工作，甲独作 10 天完成，乙独作 8 天完成，两人合作几天完成？分析甲独作 10 天完成，说明的他的工作效率是 1/10，乙的工作效率是 1/8等量关系是：甲乙合作的效率合作的时间1解：设合作 X 天完成 （1/101/8）X1 解得 X40/9答：两人合作 40/9 天完成 例 4. 一件工程，甲独做需 15 天完成，乙独做需 12 天完成，现先由甲、乙合作 3 天后，甲有其他任务，剩下工程由乙单独完成，问乙还要几天才能完成全部工程？ 分析设工程总量为单位 1，等量关系为：甲完成工作量乙完成工作量工作总
5、量。解：设乙还需 x 天完成全部工程，设工作总量为单位 1，由题意得，( )31， 解这个方程， 1 12155x60 5x33 x 6答：乙还需 6 天才能完成全部工程。例 5. 一个蓄水池有甲、乙两个进水管和一个丙排水管，单独开甲管 6 小时可注满水池；单独开乙管 8 小时可注满水池，单独开丙管 9 小时可将满池水排空，若先将甲、乙管同时开放 2 小时，然后打开丙管，问打开丙管后几小时可注满水池？ 分析等量关系为：甲注水量乙注水量丙排水量1。 解：设打开丙管后 x 小时可注满水池， 由题意得，( )(x2) 1 解这个方程， (x2) 1 21x428x7213x30 x 2答：打开丙管后
6、 2 小时可注满水池。 三. 行程问题： 解题指导 （1）行程问题中的三个基本量及其关系： 路程速度时间。 （2）基本类型有1）相遇问题；2）追及问题；常见的还有：相背而行；行船问题；环形跑道问题。 （3）解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，一般情况下问题就能迎刃而解。并且还常常借助画草图来分析，理解 行程问题。 例 6. 甲、乙两站相距 480 公里，一列慢车从甲站开出，每小时行 90 公里，一列快车从乙站开出，每小时行 140 公里。 （1）慢车先开出 1 小时，快车再开。两车相向而行。问快车开出多少小时后两车相遇？（2）两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距 6
7、00 公里？ （3）两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距 600 公里？（4）两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢车？ （5）慢车开出 1 小时后两车同向而行，快车在慢车后面，快车开出后多少小时追上慢车？ 此题 关键是要理解清楚相向、相背、同向等的含义，弄清行驶过程。故可结合图形分析。 （1）分析：相遇问题，画图表示为： 甲 乙 等量关系是：慢车走的路程快车走的路程480 公里。 解：设快车开出 x 小时后两车相遇，由题意得，140x90(x1)480 解这个方程，230x390 x1答：快车开 出 1 小时两车相遇分析：相背而行，画图表示为：
8、 60 甲 乙 等量关系是：两车所走的路程和480 公里600 公里。 解：设 x 小时后两车相距 600 公里，由题意得，(14090)x480600 解这个方程，230x120 x答： 小时后两车相距 600 公里。 （3）分析：等量关系为：快车所走路程慢车所走路程480 公里600 公里。 解：设 x 小时后两车相距 600 公里，由题意得，(14090)x480600 50x120 x2.4 答：2.4 小时后两车相距 600 公里。 分析：追及问题，画图表示为：甲 乙 等量关系为：快车的路程慢车走的路程480 公里。 解：设 x 小时后快车追上慢车。 由题意得，140x90x480
9、解这个方程，50x480 x9.6答：9.6 小时后快车追上慢车。分析：追及问题，等量关系为：快车的路程慢车走的路程480 公里。解：设快车开出 x 小时后追上慢车。由题意得，140x90(x1)480 50x570 x11.4 答：快车 开出 11.4 小时后追上慢车。 例 7. 甲乙两人在同一道路上从相距 5 千米的 A、B 两地同向而行，甲的速度为 5 千米/小时，乙的速度为 3 千米/小时，甲带着一只狗，当甲追乙时，狗先追上乙，再返回遇上甲，再返回追上乙，依次反复，直至甲追上乙为止，已知狗的速度为 15 千米/小时，求此过程中，狗跑的总路程是多少？分析追击问题，不能直接求出狗的总路程，
10、但间接的问题转化成甲乙两 人的追击问题。狗跑的总路程它的速度时间，而它用的总时间就是甲追上乙的时间解：设甲用 X 小时追上乙，根据题意列方程5X3X5 解得 X2.5，狗的总路程：152.537.5答：狗的总路程是 37.5 千米。例 8. 某船从 A 地顺流而下到达 B 地，然后逆流返回，到达 A、B 两地之间的 C 地，一共航行了 7 小时，已知此船在静水中的速度为 8 千米/时，水流速度为 2 千米/时。A、C 两地之间的路程为 10 千米，求 A、B 两地之间的路程。 分析这属于行船问题，这类问题中要弄清：（1）顺水速度船在静水中的速度水流速度；（2）逆水速度船在静水中的速度水流速度。
11、相等关系为：顺流航行的时间逆流航行的时间7 小时。 解：设 A、B 两码头之间的航程为 x 千米，则 B、C 间的航程为(x10)千米， 由题意得，X/（82） （X10）/（82）7 解这个方程，X/10 （X10）/67， x32.5 答：A、B 两地之间的路程为 32.5 千米。 四. 利润赢亏问题1）销售问题中常出现的量有：进价、售价、标价、利润等2）有关关系式： 商品利润商品售价商品进价商品标价折扣率商品进价商品利润率商品利润/商品进价 商品售价商品标价折扣率例 9. 某商店开张，为了吸引顾客，所有商品一律按八折优惠出售，已知某种皮鞋进价60 元一双，八折出售后商家获利润率为 40%
12、，问这种皮鞋标价是多少元？优惠价是多少元？分析通过列表分析已知条件，找到等量关系式进价 折扣率 标价 优惠价 利润率60 元 8 折 x 元 80%x 40%等量关系：商品利润率商品利润/商品进价 解：设标价是 x 元，1046%80解之：x105优惠价为 80%x845（元）例 10. 一家商店将某种服装按进价提高 40%后标价，又以 8 折优惠卖出，结果每件仍获利 15 元，这种服装每件的进价是多少？分析探究题目中隐含的条件是关键，可直接设出成本为 X 元进价 折扣率 标价 优惠价 利润 X 元 8 折 （140%）X 元 80%（140%）X 15 元等量关系：（利润折扣后价格进价）折扣
13、后价格进价15解：设进价为 X 元，80%X（140%）X15，X125答：进价是 125 元。五. 储蓄问题1）顾客存入银行的钱叫做本金，银行付给顾客的酬金叫利息，本金和利息合称本息和，存入银行的时间叫做期数，利息与本金的比叫做利率。利息的 20%付利息税2）利息本金利率期数 本息和本金利息 利息税利息税率（20%）例 11. 某同学把 250 元钱存入银行，整存整取，存期为半年。半年后共得本息和 252.7元，求银行半年期的年利率是多少？（不计利息税）分析等量关系 ：本息和本金（1利率）解：设半年期的实际利率为 X，250（1X）252.7 X0.0108 所以年利率为 0.010820.
14、0216 答：银行的年利率是 2.16%例 12. 为了准备 6 年后小明上大学的学费 20000 元，他的父亲现在就参加了教育储蓄，下面有三种教育储蓄方式：1）直接存入一个 6 年期；2）先存入一个三年期，3 年后将本息和自动转存一个三年期；3）先存入一个一年期的，后将本息和自动转存下一个一年期；你认为哪种教育储蓄方式开始存入的本金比较少？分析这种比较几种方案哪种合理的题目，我们可以分别计算出每种教育储蓄的本金是多少，再进行比较。解：1）设存入一个 6 年的本金是 X 元 X（162.88%）20000，X170532）设存入两个三年期开始的本金为 Y 元，Y（12.7%3）（12.7%3）
15、20000，X171153）设存入一年期本金为 Z 元 ，Z（12.25%） 620000，Z17894所以存入一个 6 年期的本金最少。 六. 日历中的方程例 13. 1）在一份日历中，任意框出一个竖列上相邻的四个数，观察他们之间是什么关系？如果框出的四个数的和为 58，这四天分别是几号？2）如果用一个正方形所圈出的 4 个数的和为 76，这四天分别是几号？分析观察、分析四个数的关系，设法用一个未知数圈出的四个数解：1）设竖列的四个数中最小的一个是 X，其余三数分别为 X7，X14，X21XX7X14X2158，X4。所以这四个数是 4 号，11 号，18 号，25 号2）设四个数中最大的一
16、个数 Y，其余三个 数是 Y1，Y7，Y8YY1Y7Y876，Y23，所以这四个数是 15、16、22、23注意：虽然我们分了几种类型对应用题进行了研究，但实际生活中的问题是千变万化的，远不止这几类问题。因此我们要想学好列方程解应用题，就要学会观察事物，关心日常生产生活中的各种问题，如市场经济问题等等，要会具体情况具体分析，灵活运用所学知识，认真审题，适当设元，寻找等量关系，从而列出方程，解出方程，使问题得解。【模拟试题】（答题时间：40 分钟）1. 一个三位数，它的个位上的数比百位上的数的 3 倍大 1，它的十位上的数比百位上的数的 4 倍小 3，如果把这个三位数的十位上的数与百位上的数对换
17、，得到的三位数比原来的三位数大 270，求原来的三位数。2. 一个四位数，左边第一位数字是 7，若把这个数字调到末位，得到的新数比原来四位数少 864，求原来的数。3. 一件工作，甲独作 20 小时完成，乙独作 12 小时完成，现在先由甲独作 4 小时，剩下的部分由甲乙合作，剩下的部分需几小时完成？4. 一轮船从重庆到上海要 5 昼夜，而从上海到重庆要 7 个昼夜，那么有一竹排从重庆顺流漂到上海要多少天？ 5. 一个水池共有 A、B 两个进水管和一个排水管 C，单开 A 管 6 小时注满水池，单开 B管 10 小时注满全池，单开 C 管 9 小时把水池中的水排完。若先同时打开 A、B 两管，向
18、空池内注水，2.5 小时后，打开 C 管，则打开 C 管几小时后可 将水池中注满水？设 X 小时以后可以注满，6. 甲乙两站之间的路程为 450 千米，一列慢车从甲站开出，每小时行驶 65 千米，一列快车从乙站开出，每小时行驶 85 千米（1）两车同时开出相向而行，几小时相遇？（2）快车先开出 30 分钟后，两车相向而行，慢车行 驶几小时两车相遇？ 7. A、B 两地的路程为 100 千米，小王骑车从 A 地到 B 地，小李跑步从 B 地到 A 地，小李出发三个半小时后，小王才出发，已知小王骑车的速度为 10 千米/小时，小李跑步的速度为 8 千米/小时，问两人各走几小时相遇？ 8. 一队学生
19、去校外郊游，以 5 千米/小时的速度行进，走了 18 分后学校将一重要通知传给队长，通讯员从学校出发，骑车以 14 千米/小时的速度按原路追上去，几小时可以追上队伍？9. 一列快车长 200 米，速度为 50 千米/小时，一列慢车长 250 米，速度为 30 千米/小时，两车从相遇到分开共需几秒？ 10. 某商店开张，为了吸引顾客，所有商品一律按 8 折优惠 出售，已知某种皮鞋进价是60 元，8 折以后商家仍获利利润率为 40%，这双皮鞋的标价是多少？优惠价是多少？ 11. 某商店先在甲地以每件 15 元的价格购进商品 10 件，后来又以每件 12.5 元的价格在乙地购进同样的商品 40 件，
20、如果商店销售这些商品时，获得 12%利润率，商品售价应定为多少元？12. 商品的进价为 200 元，标价为 300 元，折价销售时的利润率为 5%，商品打了几折？ 14. 某文艺团体为“希望工程”募捐组织了一场义演，共售出 1000 张票，募得票款6950 元，成人票每张 8 元，学生票每张 5 元，问成人票和学生票各卖了多少张？希望工程委员会决定把募捐款作为助学金发给山区的 65 名学生，其中每个初中生的助学金是 150 元，每个小学生的助学金为 80 元，问发给初中生和小学生各多少人？ 15. 将若干支铅笔分给几个同学，若每人 5 支还剩 3 支；若每人 7 支还差 5 支，问有多少学生，
21、有多少铅笔？ 16. 有一些分别标有 3、6、9、12的卡片，后一张卡片上的数比前一张卡片上的数大3，小明拿到了相邻的 3 张卡片，且这些卡片上的数字之和是 342，（1）小明拿到了 哪三张卡片？（2）小明拿到相邻的 3 张卡片上的数字和能是 95 吗？17. 在 3 点钟和 4 点钟之间，时钟上的分针和时针什么时候重合？ 18. 某厂第一月和第二月共生产化肥 848 吨，已知增长率为 12%，求一月的产量是多少吨？ 【试题答案】1. 设百 位上的数字为 X，2572. 设后三个数字组成的三位数 X，76813. 设 X 小时完成 ，6 小时4. 设竹排静水中的速度为 A，水流速度为 B，则A
22、B1/5，AB1/7，解得 A1/35，再用 1/（1/35）35 小时5. 设 X 小时以后可以注满，（2.5/6）（2.5/10）X/6X/10X/91 X15/76. （1）设 X 小时相遇，65X85X450，X3（2）设 X 小时，65X850.585X450，X163/207. 设小王出发 X 小时后相遇，10X8（X3.5）100 X4 8.设 X 小时追上，14X50.35X，X1/69.设 X 秒，50X3 0X200 250，X45/810. 105 元，84 元11.设售价 X 元，X（1040）（151012.540）（112%），X14.5612. 7 折14.成人票
23、 650 张，学生票 350 张，初中生有 25 人，小学生有 40 人15.有学生 4 人，铅笔 23 支16.（1）小明拿到了 111，114，117（2）X95/3，小明不可能拿到这样的三张 17.分析：这个问题可以看作是环形跑道问题，把一圈看作是 60 个单位长度，分针与时针相距 15 个单位长度，时针在前，分针在后，时针每分钟走 个单位长，分针每分钟走一个单位长，两针同向而行，何时分针追上时针。 解：设在 3 点过 x 分钟后，两针重合， 由题意得：x x15 解这个方程得：x1 6答：两针在 3 点过 16 分时重合。 18. 解：设一月的产量是 x 吨，由题意得 x(112%)x
24、848 2.12x848 x400 答：一月的产量是 400 吨。【励志故事】永远做一个勤奋的人在美国，有一个人在一年之中的每一天里，几乎都做着同一件事：天刚放亮，就伏在打字机前开始一天的写作。这个男人名叫斯蒂芬金，是国际上著名的小说大师。斯蒂芬金的经历十分坎坷，他曾经潦倒得连电话费都交不出，电话公司因此而掐断了他的电话线。后来，他成了世界上著名的恐怖小说大师，整天稿约不断，常常是一部小说还在他的大脑中储存着，出版社高额的定金就支付给了他。如今，他算是世界大富翁了，可他仍然是在勤奋的创作中度过的。斯蒂芬金的秘诀很简单，只有两个字：勤奋。一年之中，他只有三天时间是例外的，不写作。这三天是：生日，圣诞节，美国独立日（国庆节）。勤奋给他带来的好处是，永不枯竭的灵感。学术大师季羡林老先生曾经说过：“勤奋出灵感。”
