1、立方根、实数一. 本周教学内容：立方根、实数二. 教学目标：1. 知识目标：（1）了解一个数的立方根的意义，了解实数的意义。（2）了解开立方与立方是互逆运算，会用根号表示一个数的立方。（3）了解有理数的运算律在实数范围内仍然适用，了解实数与数轴上的点成一一对应关系。（4）掌握立方根的性质，会求一个数的立方根，理解负数立方根与其相反数立方根的转化关系。（5）掌握实数的性质与实数的绝对值。（6）能用科学计算器求立方根及其近似值。2. 能力目标：经历探索新知识的过程，使学生能够用类比方法学习新知识。3. 情感目标：通过运用立方运算求立方根的过程，感受知识间的内在联系，通过类比平方根的过程，初步体会分
2、类讨论的思想方法，并且学会用辨证的观点看问题。三. 教学重点和难点：重点：了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根。难点：能用立方运算求某些数的立方根，了解开立方和立方是互逆运算。四. 教学知识要点：1. 立方根的概念：满 足 的 值 叫 做 的 立 方 根xa32. 立方根的表示：数 的 立 方 根 表 示 为 ， 读 作 “三 次 根 ”或 立 方 根 号 或 “的 立 方 根 ”aa3其中 a 是被开方数，3 是根指数说明：这里的根指数 3 不能省略，而平方根中的根指数一般省略不写。3. 弄清立方根与平方根的区别与联系：区别：（1）定义不同：如 果 ， 那 么 叫 做 的 平 方 根
3、xaxa2如 果 ， 那 么 叫 做 的 立 方 根3（2）个数不同：一个正数有两个平方根，它们互为相反数而一个正数的立方根只有一个，且同样为正数（3）表示方法不同：正 数 的 平 方 根 表 示 为aa正 数 的 立 方 根 表 示 为 3（4）取值范围不同：任何数都有立方根，并且有唯一的与其自身符号相同的立方根但只有非负数才有平方根，负数没有平方根（5）逆运算不同：平方与开平方互为逆运算，立方与开立方互为逆运算联系：零的平方根与立方根都是零本身4. 立方根的性质：一个正数只有一个正的立方根负数有一个负的立方根零的立方根为零5. 开立方的概念：求一个数 a 的立方根的运算叫做开立方亦可以这样
4、定义：求立方根号 a，叫做对 a 开立方6. 用计算器求立方根：跟用计算器求平方根的方法一样，先阅读说明书，再根据说明书中所指明的步骤具体操作。7. 实数的概念：有理数和无理数统称为实数8. 实数的分类：对实数进行分类时，可以有不同的方法，但要按同一标准不重不漏，下面介绍两种分类方法：实 数 有 理 数 正 有 理 数零负 有 理 数 有 限 小 数 或 无 限 循 环 小 数无 理 数 正 无 理 数负 无 理 数 无 限 不 循 环 小 数实 数 正 实 数 正 有 理 数 正 整 数正 分 数正 无 理 数零负 实 数 负 有 理 数 负 整 数负 分 数负 无 理 数 9. 实数的性质
5、：（1）有理数范围内定义的一些概念在实数范围内仍然适用（如倒数、相反数） 。（2）在实数范围内，加、减、乘、除（除数不为 0） 、乘方五种运算仍是畅通无阻的，且其结果仍是实数。但要注意：在开方运算时，正实数和零总能进行开方运算，而负数只能开奇次方，不能开偶次方。（3）有理数范围内的运算律和运算顺序在实数范围内仍然成立，在实数运算中，涉及到无理数的计算，可根据问题要求的精确度取其近似值，化成有理数进行计算。10. 实数的绝对值：正实数的绝对值等于它本身负实数的绝对值等于它的相反数零的绝对值等于零用字母表示为：|a（ ）（ ）（ ）011. 实数与数轴的关系：数轴上的点与实数是一一对应关系12.
6、实数大小的比较的常用方法：（1）正数大于 0，负数小于 0，两个负数，绝对值大的反而小。（2）在数轴上的两个实数，右边的数总比左边的数大。【典型例题】例 1. 设 为 实 数 ， 试 比 较 与 的 大 小 。aa|2解： （ ） 当 时1200，则 |()aa2|()20|a2（ ） 当 时 ， ，2aa则 |()|a2|()aa22a可 以 为 负 、 正 、 零 ， 因 此 ， 可 分 以 下 三 种 情 况 ：i aa） 当 ， 即 时 ，20202|） 当 ， 即 时 ，|ia） 当 ， 即 时 ，|（ ） 当 时 ， ，3202a则 ，|()()a 0|2综上所述当 时 ，aa02
7、|当 时 ，|当 时 ，|例 2. 设 ， ， 且196719801967198333 2223xyzxyxyz333， 求 的 值 。解： 设 1967198333xyza则 ， ，222az1961971983333xaya， ，2223 3zxzaxyzay()1133又 1967198133333axyzaxyz()axyzz33()113xyzxyz096798333，、 、 必 为 正 数 ， 正 数 的 立 方 根 等 于 它 本 身 的 数 是 11xyz例 3. 设 实 数 ， 求 代 数 式 的 值 。x205123解： x1205()x23()x21057例 4. 比较下
8、列各组数的大小（ ） 与（ ） 与（ ） 与153712237453a解：（1）平方比较法：（ ）518262（ ）77657131（2）作商比较法：aa0231， 显 然 与 都 是 小 于 的 正 数不妨作它们的商aaa1231433（3）利用中间量比较7541741()334334()（ ）75说明：实数大小比较还有很多方法，如作差比较法、近似值法、化同次根式法、倒数法、有理化分母（或分子）法等，在此老师不一一列举，希望同学们在解题中灵活运用。【模拟试题】 （答题时间：30 分钟）一. 填空题：1. 523的相反数是_。2. 014的算术平方根的相反数的倒数是_。3. ab32是 a+3
9、 的算术平方根， ba224是 的立方根，则a=_，b=_。二. 选择题：1. 若式子 42()a是一个实数，则满足这个条件的 a 有（ ）A. 0 个 B. 1 个 C. 4 个 D. 无数个2. 下列说法正确的是（ ）A. 一个数的立方根一定比这个数大B. 正数有两个立方根C. 一个数总大于它的立方根D. 正数、负数都有立方根三. 已知：实数 a 满足 a230，求： |aa212的值。四. 若bbb101， 求 ()()204()()a的值。五. 已知：axbyczxyz331，求证：axbyczabc22333。【试题答案】一. 1. 5232. 213. 由题意得：abab4313解
10、 得二. 1. 42()是 一 个 实 数04a即故选 B2. 选 D三. 解： aa23|，01202 0|（ ） 当 时 ， 有 ，（ ） 当 时 ， 有 ， 不 成 立 ， 故 有 aa10026四. 解：根据题意，得： abab12解 得112042ab ab()()()()23410561200625()()()五. 解：设则 ， ，axkbyczk222左 边 kxyzxyzk331()33()11333xaybzc右 边原 命 题 成 立【励志故事】骆驼的无奈在动物园里的小骆驼问妈妈：“妈妈妈妈，为什么我们的睫毛那么的长？”骆驼妈妈说：“当风沙来的时候，长长的睫毛可以让我们在风暴中都能看得到方向。 ”小骆驼又问：“妈妈妈妈，为什么我们的背那么驼，丑死了！”骆驼妈妈说：“这个叫驼峰，可以帮我们储存大量的水和养分，是我们能在沙漠里忍耐十几天的无水无食的条件。 ”小骆驼又问：“妈妈妈妈，为什么我们的脚掌那么厚？”骆驼妈妈说：“那可以让我们重重的身子不至于陷在软软的沙子里，便于长途跋涉啊。”小骆驼高兴坏了：“哗，原来我们这么有用啊！可是妈妈，为什么我们还在动物园里，不去沙漠远足呢？”天生我才必有用，可惜现在没人用。一个好的心态+一本成功的教材+一个无限的舞台=成功。每人的潜能是无限的，关键是要找到一个能充分发挥潜能的舞台。
