1、有理数有理数可分为整数和分数 也可分为正有理数，0，负有理数。 除了无限不循环小数以外的数统称有理数。 有理数（rational number) 读音:(yu l sh) 整数和分数统称为有理数，任何一个有理数都可以写成分数 m/n（m，n 都是整数，且n0）的形式。 任何一个有理数都可以在数轴上表示。 其中包括整数和通常所说的分数，此分数亦可表示为有限小数或无限循环小数。 这一定义在数的十进制和其他进位制（如二进制）下都适用。 数学上，有理数是一个整数 a 和一个非零整数 b 的比(ratio)，通常写作 a/b，故又称作分数。希腊文称为 ? ，原意为“成比例的数”(rational num
2、ber)，但中文翻译不恰当，逐渐变成“有道理的数” 。 无限不循环小数称之为无理数（例如：圆周率 ） 有理数和无理数统称为实数。 所有有理数的集合表示为 Q。 有理数包括： (1)自然数：数 0，1，2，3，叫做自然数. (2)正整数：1，2，3，叫做正整数。 (3）负整数：1，2，3，叫做负整数。 (4）整数：正整数、0、负整数统称为整数。 (5）分数：正分数、负分数统称为分数。 (6）奇数：不能被 2整除的整数叫做奇数。如-3，-1，1，5 等。所有的奇数都可用 2n-1或 2n+1表示，n 为整数。 (7）偶数：能被 2整除的整数叫做偶数。如-2，0，4，8 等。所有的偶数都可用 2n表
3、示，n为整数。 (8）质数：如果一个大于 1的整数，除了 1和它本身外，没有其他因数，这个数就称为质数，又称素数，如 2，3，11，13 等。2 是最小的质数。 (9）合数：如果一个大于 1的整数，除了 1和它本身外，还有其他因数，这个数就称为合数，如 4，6，9，15 等。4 是最小的合数。一个合数至少有 3个因数。 (10）互质数：如果两个正整数，除了 1以外没有其他公因数，这两个整数称为互质数，如 2和 5，7 和 13等。 如 3，-98.11，5.72727272，7/22 都是有理数。 全体有理数构成一个集合，即有理数集，用粗体字母 Q表示，较现代的一些数学书则用空心字母 Q表示。
4、 有理数集是实数集的子集，即 Q?R。相关的内容见数系的扩张。 有理数集是一个域，即在其中可进行四则运算（0 作除数除外） ，而且对于这些运算，以下的运算律成立（a、b、c 等都表示任意的有理数）： 加法的交换律 a+b=b+a； 加法的结合律 a+(b+c)=(a+b)+c； 存在数 0，使 0+a=a+0=a； 乘法的交换律 ab=ba； 乘法的结合律 a(bc)=(ab)c； 乘法的分配律 a(b+c)=ab+ac。 0a0 文字解释：一个数乘 0还等于 0。 此外，有理数是一个序域，即在其上存在一个次序关系。 0 的绝对值还是 0. 有理数还是一个阿基米德域，即对有理数 a和 b，a0
5、，b0，必可找到一个自然数 n，使 nba。由此不难推知，不存在最大的有理数。 值得一提的是有理数的名称。 “有理数”这一名称不免叫人费解，有理数并不比别的数更“有道理” 。事实上，这似乎是一个翻译上的失误。有理数一词是从西方传来，在英语中是（rational number） ，而（rational）通常的意义是“理性的” 。中国在近代翻译西方科学著作，依据日语中的翻译方法，以讹传讹，把它译成了“有理数” 。但是，这个词来源于古希腊，其英文词根为（ratio） ，就是比率的意思（这里的词根是英语中的，希腊语意义与之相同） 。所以这个词的意义也很显豁，就是整数的“比” 。与之相对，而“无理数”就
6、是不能精确表示为两个整数之比的数，而并非没有道理（无理数就是无限不循环小数， 也是其中一个无理数） 。 编辑本段运算有理数加减混合运算 1.理数加减统一成加法的意义： 对于加减混合运算中的减法，我们可以根据有理数减法法则将减法转化为加法，这样就可将混合运算统一为加法运算，统一后的算式是几个正数或负数的和的形式，我们把这样的式子叫做代数和。 2.有理数加减混合运算的方法和步骤： （1）运用减法法则将有理数混合运算中的减法转化为加法。 （2）运用加法法则，加法交换律，加法结合律简便运算。 一般情况下，有理数是这样分类的： 整数、分数；正数、负数和零；负有理数，非负有理数。 整数和分数统称有理数,有
7、理数可以用 a/b的形式表达，其中 a、b 都是整数，且互质。我们日常经常使用有理数的。比如多少钱，多少斤等。 凡是不能用 a/b形式表达的实数就是无理数，又叫无限不循环小数。 在有理数中，小数就是分数。 有理数的由来古埃及人约于公元前 17世纪初已使用分数，中国九章算术中也载有分数的各种运算。分数的使用是由于除法运算的需要。除法运算可以看作求解方程 px=q（p0） ，如果p，q 是整数，则方程不一定有整数解。为了使它恒有解，就必须把整数系扩大成为有理系。 有理数的现代理论关于有理数系的严格理论，可用如下方法建立。在 Z（Z -0）即整数有序对（但第二元不等于零）的集上定义的如下等价关系：设
8、 p1，p2 Z，q1，q2 Z - 0，如果p1q2=p2q1。则称（p1，q2）（p2，q1） 。Z（Z -0）关于这个等价关系的等价类，称为有理数。 （p，q）所在的有理数，记为 。一切有理数所成之集记为 Q。令整数 p对应一于，即（p，1）所在的等价类，就把整数集嵌入到有理数的集中。因此，有理数系可说是由整数系扩大后的数系。 有理数集合是一个数域。任何数域必然包含有理数域。即有理数集合是最小的数域。 实数有理数是实数的紧密子集：每个实数都有任意接近的有理数。一个相关的性质是，仅有理数可化为有限连分数。 依照它们的序列，有理数具有一个序拓扑。有理数是实数的（稠密）子集，因此它同时具有一个
9、子空间拓扑。采用度量，有理数构成一个度量空间，这是上的第三个拓扑。幸运的是，所有三个拓扑一致并将有理数转化到一个拓扑域。有理数是非局部紧致空间的一个重要的实例。这个空间也是完全不连通的。有理数不构成完备的度量空间；实数是的完备集。 p进数除了上述的绝对值度量，还有其他的度量将转化到拓扑域： 设 p是素数，对任何非零整数 a设 | a | p = p - n，这里 pn是 p的最高次幂除 a； 另外 | 0 | p = 0。对任何有理数，设。 则在上定义了一个度量。 度量空间不完备，它的完备集是 p进数域。 一个困难的问题：有理数的边界在哪里？根据定义，无限循环小数和有限小数（整数可认为是小数点
10、后是 0的小数） ，统称为有理数，无限不循环小数是无理数。 但人类不可能写出一个位数最多的有理数，对全地球人类，或比地球人更智慧的生物来说是有理数的数，对每个地球人来说，可能是无法知道它是有理数还是无理数了。因此有理数和无理数的边界，竟然紧靠无理数，任何两个十分接近的无理数中间，都可以加入无穷多的有理数，反之也成立。 竟然没有人知道有理数的边界，或者说有理数的边界是无限接近无理数的。 定理：位数最多的非无限循环有理数是不可能被写出的，尽管它的定义是有有限位，但它是无限趋近于无理数的，以致于没有手段进行判断。 证明：假设位数最多的非无限循环有理数被写出，我们在这个数的最后再加一位，这个数还是有限位有理数，但位数比已写出有理数多一位，证明原来写出的不是位数最多的非无限循环有理数。所以位数最多的非无限循环有理数是不可能被写出的。 部分相关定理整数整数距离 0的数值， ，称为绝对值。0 的绝对值为 0，负数的绝对值是它的相反数，整数的绝对值是它本身。 整数还包括正数、负数和 0。 正数和负数相加同号相加，取相同的符号，把两数相加并加上符号。异号相加，取绝对值较大数的符号，用较大绝对值减去较小绝对值。 (+5) + (+1) = (+6)(-6) + (-1) = (-7)(+7) + (-6) = (+1)
