1、第 1页 共 8页椭圆的参数方程【 知识点 总结 】1.焦点在 x轴上的椭 圆的标准方程2 22 2 1( 0)x y a ba b+ = 化 为 参 数 方 程化 为 普 通 方 程 cos(sinx a ay b = = 为 参 数 , b） .2.焦点在 y轴上的椭 圆的标准方程2 22 2 1( 0)y x a ba b+ = 化 为 参 数 方 程化 为 普 通 方 程 cos(sinx b ay a = = 为 参 数 , b） .注意 ： （ 1）按照以 上方法转化参数 方程，当中的参 数 的物理意 义为点 M的离心角 ；（ 2）按照以 上方法转化参数 方程， x总是用余 弦表示
2、， y总是用正 弦表示 .（ 3）普通方 程与参数方程的 相互转化是高考 中的考点，需要 认真对待；（ 4）把普通 方程转化为参数 方程，往往要借 助与三角函数的 知识来解决问题 。所以 ，辅助角公 式往往会用到：【 典型例 题 】例题 1：把下列 普通方程转化为 参数方程；（ 1） 2 2 116 9x y+ =； （ 2） 2 2 125 16y x+ =.解 ： （ 1） 2 2 4cos1 (3sin16 9 xx y y =+ = =化 为 参 数 方 程 为 参 数 ） ；（ 2） 2 2 4cos1 (5sin25 16 xy x y =+ = =化 为 参 数 方 程 为 参
3、数 ） .变式 1： 把下列普 通方程转化为参 数方程：（ 1） 22 136yx + =； （ 2） 2 2 181 100x y+ =.辅助角 公式为 ： 2 2sin cos sin( )a b a b + = + + ，其中 2 2cos aa b= + ， 2 2sin ba b= + ， tan ba=第 2页 共 8页例题 2： 把下列椭 圆的参数方程化 为普通方程：（ 1） cos (5sinxy = = 为 参 数 ） ； （ 2） 8cos (5sinxy = = 为 参 数 ）解 ： （ 1） 2 2 2 2cos ( 1 15sin 25 1 25x y x y xy
4、= + = + = = 化 为 普 通 方 程为 参 数 ） 即 ；（ 2） 2 28cos ( 15sin 64 25x x yy = + = = 化 为 普 通 方 程为 参 数 ） .注意 ：椭圆的 参数方程分别是 用正余弦来表示 的， x总是用余 弦表示， y总是用正 弦表示 ；并且可以 根据 cos sin 和 前面的系 数绝对值的大小 确定椭圆的焦点 所在的轴。变式 2：把下列 椭圆的参数方程 化为普通方程：（ 1） 8cos (10sinxy = = 为 参 数 ） ； （ 2） 10cos (6sinxy = = 为 参 数 ） .例题 3： 练习使用 辅助角公式， 使用辅助
5、角公式，化简下 下列各式：（ 1） 3sin cos + ； （ 2） 3cos 4sin + .解 ： （ 1） 3sin cos 2sin( ) + = + ，其中 3 1cos ,sin2 2 = = ., 3sin cos 2sin( ).6 6 = + = +可 以 令3sin cos 2sin( ).6 + = +（ 2） 4 33cos 4sin 4sin 3cos =5sin( ), cos ,sin .5 5 + = + + = = 其 中4 33cos 4sin =5sin( ), cos ,sin .5 5 + + = =其 中注意 ： 对比以上 两个小题 ， 在 （ 1
6、） 中 是特殊角 ， 所以一般 都求出来 ； 但是在 （ 2） 式中 不是特殊 角，所以一般都 不用求出来；第 3页 共 8页变式 3：练习使 用辅助角公式， 使用辅助 角公式，化简下 下列各式：（ 1） 3sin cos ； （ 2） 3cos 4sin .例题 4： 点 ( , )Pxy在椭圆 2 2 116 9x y+ =上 ， 则 Z x y= 的最大值 为 ； 最小值为 .解： 2 2 4cos1 (3sin16 9 xx y y =+ = =化 为 参 数 方 程 为 参 数 ）( , )Pxy点 在 椭 圆 上 ，(4cos ,3sin )P ，4cos 3sin 3sin 4c
7、os 5sin( )Z x y = = = + = + ，其中 2 2 2 2cos ,sina ba b a b = =+ +因为 1 sin( ) 1 + ，所以 5 5sin( ) 5 + .所以 m ax m in5, 5.Z Z= =变 式 4： 点 ( , )Pxy在椭圆 2 24 4x y+ = 上 ， 则 Z x y= + 的最大值 为 ； 最小值为 .第 4页 共 8页例题 5：如图， 在椭圆 2 28y 8x + = 上求一点 P，使 P到直线 : 4 0l x y + = 的距离最 小 .解：22 2 2 2 2cos8y 8 y 1 (8 sinx xx y =+ =
8、+ = =化 为 标 准 方 程 化 为 参 数 方 程 为 参 数 ）( , )2cos ,sin )Pxy 点 在 椭 圆 上 ，点 P(22 2(2 2cos ,sin ) : 4 02 2cos sin 4 ( sin 2 2cos ) 4 3sin( ) 4,2 21 ( 1)P l x yd + = + + + + += = =+点 到 直 线 的 距 离 为其中 1 2 2cos ,sin3 3 = =因为 1 sin( ) 1 + ，所以 3sin( ) 42 7 23 3sin( ) 3, 1 3sin( ) 4 7, 2 22 + + + + + ，所以， m in 22d
9、 = .变式 5： 在椭圆 2 2 19 4x y+ =上求一点 M， 使点 M到直线 : 2 10 0l x y+ = 的距离的 最小 ，并求出最 小值 .第 5页 共 8页例题 6： 已知椭圆 2 2 1100 64x y+ = 有一内接 矩形 ABCD，求矩形 ABCD的最大面 积。解：2 2 10cos1 (8sin100 64 xx y y =+ = =化 为 参 数 方 程 为 参 数 ）设椭圆上 的点 (10cos ,8sin )A ，则20cos , 16sinAD AB = =ABCD= 20cos16sin 160sin2S ADAB = =矩 形所以，矩 形 ABCD的面
10、积最 大为 160.变式 6： 已知 A,B两点是椭 圆 2 2 19 4x y+ =与坐标轴 正半轴的两个交 点 ,在第一象 限的椭圆弧上求一点 P,使四边形 OAPB的面积最 大 .第 6页 共 8页【 变式练 习答案 】变式 1：（ 1） 22 cos1 (6sin36 xyx y =+ = =化 为 参 数 方 程 为 参 数 ） ；（ 2） （ 2） 2 2 9cos1 (10sin81 100 xx y y =+ = =化 为 参 数 方 程 为 参 数 ） .变式 2：（ 1） 2 28cos ( =110sin 100 64x y xy = + = 化 为 普 通 方 程为 参
11、 数 ） ；（ 2） 2 210cos ( =16sin 100 36x x yy = + = 化 为 普 通 方 程为 参 数 ） .变式 3：（ 1） 3sin cos 2sin( ) = + ，其中 3 1cos ,sin2 2 = = .11 11, 3sin cos 2sin( ).6 6 = + = +可 以 令113sin cos 2sin( ).6 + = +（ 2） 4 33cos 4sin 4sin 3cos =5sin( ), cos ,sin .5 5 = + + = = 其 中4 33cos 4sin =5sin( ), cos ,sin .5 5 + = =其 中变
12、式 4： 22 2 2 cos4 4 1 (2sin4 xyx y x y =+ = + = =化 为 标 准 形 式 化 为 参 数 方 程 为 参 数 ）点 P(x,y)在 椭 圆 上 ，(cos ,2sin )P 点cos 2sin 2sin cos 5sin( ),2 1cos ,sin .5 5Z x y = + = + = + = + = =其 中因为 1 sin( ) 1 + ，所以 5 5sin( ) 5 + .第 7页 共 8页变式 5： 2 2 3cos1 (2sin9 4 xx y y =+ = =化 为 参 数 方 程 为 参 数 ）( , )3cos ,2sin )M
13、xyM 点 在 椭 圆 上 ，点 (2 2(3cos ,2sin ) : 2 10 03cos 4sin 10 (4sin 3cos ) 10 5sin( ) 10,5 51 2M l x yd + =+ + + = = =+点 到 直 线 的 距 离 为其中 4 3cos ,sin5 5 = =因为 1 sin( ) 1 + ，所以5 5sin( ) 5, 3sin( ) 10 5, 3sin( ) 10 95sin( ) 10 5sin( ) 105 9 9 5555 5 5 5 + 9 + 5 + + + ， ， ，所以， m in 5d = ， 此时， sin( )=1 + .由 =
14、2 , 2 ,2 2sin( )=1 k k Z k k Z + + = + + ，又因为 4 3cos ,sin5 5 = = ，所以， 3cos cos( 2 ) cos( ) sin2 2 5k = + = = =4sin sin( 2 ) sin( ) cos2 2 5k = + = = = ，所以，点 98( , )55M 。故，当点 M位于 98( , )55时，点 M与直线 : 2 10 0l x y+ =的 距 离 的距离最 小值是 5.变式 6：解：2 2 3cos1 (sin9 4 xx y y =+ = =化 为 参 数 方 程 为 参 数 ）易知， A(0,2)， (3,0)B ，设 (3cos ,2sin )P 且 0 2 ，A P第 8页 共 8页直线 AB的方程为 : 1 2 3 6 03 2AB x yl x y+ = + =即点 (3cos,2sin )P 到直线 AB的距离为 ：2 26 2sin( ) 12 3cos 3 2sin 6 6 sin cos 1 413 132 3d + + + = = =+所以在 0 2 ， 当 sin( ) 14+ = 时，即 4= 时， d取到最大 值，这是三角形 ABP的面积最 大，而三角形 AOB的面积是 定置，此时 四边形 OAPB的面积最 大 .所以，点 3 2( , 2)2P 为所求的 点 .
