1、综合测评(时间:120 分钟,满分:150 分)知识点分布表知识点 平面直角坐标系 极坐标系 简单曲线的极坐标方程 柱坐标系与球坐标系 曲线的参数方程 圆锥曲线的参数方程 直线的参数方程 综合问题相应题号 2,17 10 5,7,11,14,15,193,4,8 1 6,12 9,13,18 16,20,21,22一、选择题(本大题共 12 小题 ,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.在曲线 (t 为参数)上的点是( )A.(1,0) B.(4,21) C.(7,89) D.答案:A解析:由题意可得曲线的方程为 y= (x-1)2,代入四个点的
2、坐标,只有 A 项正确.2.将余弦曲线 y=cos x 作如下变换 得到的曲线方程为 ( )A.y=4cos x B.y=4sin 2xC.y= sin 2x D.y=4cos 2x答案:D3.设点 M 的柱坐标为 ,则 M 的直角坐标为( )A. B.C.(0,1,3) D.(1,3,3)答案:C4.如图,在柱坐标系中,长方体的两个顶点坐标为 A1(4,0,5),C1 ,则此长方体外接球的体积为( )A.B.C.D.答案:B解析: A1(4,0,5),C1 , |A1A|=5,|AO|=4,|OC|=6. 2R= . R= . V= R3= .5.在极坐标系中,圆 =2cos 的垂直于极轴的
3、两条切线方程分别为( )A.=0(R) 和 cos =2B.= (R)和 cos =2C.= (R)和 cos =1D.=0(R) 和 cos =1答案:B解析:由题意可知,圆 =2cos 可化为普通方程为(x-1) 2+y2=1.所以圆的垂直于 x 轴的两条切线方程分别为 x=0 和 x=2,再将两条切线方程化为极坐标方程分别为= ( R)和 cos =2,故选 B.6.若点 P(2,y)在以点 F 为焦点的抛物线 (t 为参数)上,则|PF|等于( )A.2 B.3 C.4 D.5答案:B解析:由题意可知,抛物线的普通方程为 y2=4x,准线为 x=-1,|PF|为 P(2,y)到准线 x
4、=-1 的距离,即为 3.7.已知曲线 C 与曲线 =5 cos -5sin 关于极轴对称,则曲线 C 的方程为( )A.=-10cos B.=10cosC.=-10cos D.=10cos答案:B解析:曲线 的直角坐标方程为 x2+y2=5 x-5y,它关于极轴对称的直角坐标方程为 x2+y2=5 x+5y.所以极坐标方程为 2=5 cos +5sin ,即 =5 cos +5sin =10cos .8.点 P 的柱坐标为 ,则其直角坐标为( )A.(2 +2 ,2 -2 ,10)B.(2 -2 ,2 +2 ,10)C.(2 +2 ,2 -2 ,10)D.(2 -2 ,2 -2 ,10)答案
5、:C解析:由两角差的正、余弦公式,得cos =cos ,sin =sin .根据柱坐标互化公式求解可知 C 正确.9.直线 (t 为参数)被双曲线 x2-y2=1 截得的弦长为( )A.4 B.6 C. D.2答案:D解析:把直线参数方程化为标准参数方程 (t 为参数), 代入 x2-y2=1,得 =1,整理得 t2-4t-6=0,设其两根为 t1,t2,则 t1+t2=4,t1t2=-6,从而弦长为|AB|=|t 1-t2|= =2 .10.在极坐标系中,直线 ( cos -sin )=2与圆 =4sin 的交点的极坐标为( )A. B. C. D.答案:A解析:( cos -sin )=2
6、化为直角坐标方程为 x-y=2,即 y= x-2.=4sin 可化为 x2+y2=4y,把 y= x-2 代入 x2+y2=4y,得 4x2-8 x+12=0,即 x2-2 x+3=0,所以 x= ,y=1.所以直线与圆的交点坐标( ,1),化为极坐标为 ,故选 A.11.(2014 江西,理 11(2)若以直角坐标系的原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,则线段 y=1-x(0x1) 的极坐标方程为( )A.= ,0B.= ,0C.=cos +sin ,0D.=cos +sin ,0答案:A解析:由 x=cos ,y=sin ,y=1-x可得 sin =1-cos ,即 = ,再结
7、合线段 y=1-x(0x1) 在极坐标系中的情形,可知 .因此线段 y=1-x(0x1) 的极坐标方程为 = ,0 .故选 A.12.曲线 (为参数) 上到直线 x+y+1=0 距离为 3 的点共有( )A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个答案:D解析:法一:由曲线 (为参数) 知,曲线上的点的坐标为(-1+2 cos ,-2+2 sin ),所以曲线上的点到直线的距离为 3 时,满足 3 ,解得4sin =26,所以 sin =-1 或 sin =2(舍去),由此可知 =2k- (k 是整数).所以 cos =cos =cos =- ,sin =sin =-sin =- ,所以曲线
8、上到直线的距离为 3 的点有一个,为(-3,-4). 故选 D.法二:由曲线方程 (为参数) 知,曲线的普通方程为 (x+1)2+(y+2)2=8,曲线为以(-1,-2)为圆心,2 为半径的圆,可知圆心 M(-1,-2)到直线 x+y+1=0 的距离为 d= ,由此可知圆上只有一点 N 到直线 x+y+1=0 的距离为 3 ,设直线 x+y-b=0 与圆相切,所以 2 ,所以 b=-7 或b=1(舍去 ),由 整理得 y2+8y+16=0,解得 y=-4,代入 x+y+7=0 求得 x=-3,即曲线上只有一点 N(-3,-4)到直线 x+y+1=0 的距离为 3 .故选 D.二、填空题(本大题
9、共 4 小题 ,每小题 4 分,共 16 分.请把正确答案填在题中的横线上)13.在平面直角坐标系 xOy 中,若直线 l1: (s 为参数) 和直线 l2: (t 为参数) 平行,则常数a 的值为 . 答案:4解析:l 1 的普通方程为:x=2y+1,l 2 的普通方程为:x=a ,即 x= y+ , l1l 2, 2= . a=4.14.(2015 北京,理 11)在极坐标系中,点 到直线 (cos + sin )=6的距离为 . 答案:1解析: x=cos ,y=sin , 点 的直角坐标为 ,即(1, ). (cos + sin )=6, cos + sin =6, x+ y-6=0.
10、 点(1, )到直线 x+ y-6=0 的距离d= =1.15.(2015 安徽,理 12)在极坐标系中,圆 =8sin 上的点到直线 = (R )距离的最大值是 . 答案:6解析:圆 =8sin 化为直角坐标方程为 x2+y2=8y,即 x2+(y-4)2=16.故其圆心为(0,4),半径 r=4.直线 = (R)化为直角坐标方程为y=xtan x.故圆心到直线 y= x 的距离 d= =2.所以圆上的点到直线 y= x 距离的最大值为 d+r=6.16.(2014 湖北,理 16)已知曲线 C1 的参数方程是 (t 为参数). 以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2
11、 的极坐标方程是 =2,则 C1 与 C2 交点的直角坐标为 . 答案:( ,1)解析:由曲线 C1 的参数方程得 y= x(x0), 曲线 C2 的极坐标方程为 =2,可得方程 x2+y2=4, 由 联立解得 故 C1 与 C2 交点的直角坐标为( ,1).三、解答题(本大题共 6 小题 ,共 74 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(12 分) 函数 y=2x 的图象经过图象变换得到函数 y=4x-3+1 的图象,求该坐标变换.解:因为 y=4x-3+1=22x-6+1,所以只需把 y=2x 的图象经过下列变换就可以得到 y=4x-3+1 的图象 .先把纵坐标不变,
12、横坐标向右平移 6 个单位长度,得到函数 y=2x-6 的图象;再把横坐标缩短为原来的 倍,纵坐标不变,得到函数 y=22x-6 的图象;再把所得函数图象的横坐标不变,纵坐标向上平移 1 个单位长度即得函数 y=4x-3+1 的图象.所以所以所求坐标变换为18.(12 分)(2014 江苏,21C)在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 l 的参数方程为 (t 为参数), 直线 l 与抛物线 y2=4x 相交于 A,B 两点,求线段 AB 的长.解:将直线 l 的参数方程 代入抛物线方程 y2=4x,得 =4 .解得 t1=0,t2=-8 .所以 AB=|t1-t2|=8 .19.(12 分)
13、(2015 课标全国 ,理 23)在直角坐标系 xOy 中,直线 C1:x=-2,圆 C2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求 C1,C2 的极坐标方程;(2)若直线 C3 的极坐标方程为 = (R),设 C2 与 C3 的交点为 M,N,求C 2MN 的面积.解:(1)因为 x=cos ,y=sin ,所以 C1 的极坐标方程为 cos =-2,C2 的极坐标方程为 2-2cos -4sin +4=0.(2)将 = 代入 2-2cos -4sin +4=0,得 2-3 +4=0,解得 1=2 ,2= .故 1-2= ,即|MN|= .
14、由于 C2 的半径为 1,所以C 2MN 的面积为 .20.(12 分)(2015 湖南,理 16( )已知直线 l: (t 为参数). 以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 =2cos .(1)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)设点 M 的直角坐标为(5, ),直线 l 与曲线 C 的交点为 A,B,求|MA|MB|的值.解:(1)=2cos 等价于 2=2cos . 将 2=x2+y2,cos =x代入 即得曲线 C 的直角坐标方程为 x2+y2-2x=0. (2)将 代入 ,得 t2+5 t+18=0.设这个方程的两个实根分别为 t1
15、,t2,则由参数 t 的几何意义即知,|MA|MB|=|t 1t2|=18.21.(12 分)(2014 辽宁,文 23)将圆 x2+y2=1 上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的 2 倍,得曲线 C.(1)写出 C 的参数方程;(2)设直线 l:2x+y-2=0 与 C 的交点为 P1,P2,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段P1P2 的中点且与 l 垂直的直线的极坐标方程 .解:(1)设(x 1,y1)为圆上的点,在已知变换下变为 C 上点(x,y), 依题意 ,得由 =1,得 x2+ =1,即曲线 C 的方程为 x2+ =1.故 C 的参数方程为 (t 为参
16、数).(2)由 解得不妨设 P1(1,0),P2(0,2),则线段 P1P2 的中点坐标为 ,所求直线斜率为 k= ,于是所求直线方程为 y-1= ,化为极坐标方程,并整理得 2cos -4sin =-3,即 = .22.(14 分) 已知某圆的极坐标方程为 2-4 cos +6=0,求:(1)圆的普通方程和参数方程;(2)圆上所有点(x,y)中 xy 的最大值和最小值.解:(1)原方程可化为2-4 +6=0,即 2-4cos -4sin +6=0. 因为 2=x2+y2,x=cos ,y=sin ,所以 可化为 x2+y2-4x-4y+6=0,即(x-2) 2+(y-2)2=2,即为所求圆的普通方程.设所以参数方程为 (为参数).(2)由(1)可知 xy=(2+ cos )(2+ sin )=4+2 (cos +sin )+2cos sin =3+2 (cos +sin )+(cos +sin )2. 设 t=cos +sin ,则 t= sin ,t- .所以 xy=3+2 t+t2=(t+ )2+1.当 t=- 时,xy 有最小值为 1;当 t= 时,xy 有最大值为 9.故 xy 的最大值和最小值分别为 9 和 1.
