1、课时训练 4 柱坐标系与球坐标系简介1.点 M 的直角坐标为(1,- ,4),则它的柱坐标为 ( )A. B.C. D.答案:B解析:= =2,tan =- ,又 0,2),所以 = .故柱坐标为 .2.直角坐标系中的点(2,2,2)关于 z 轴对称的点的柱坐标为( )A. B.C. D.答案:C解析:(2,2,2)关于 z 轴的对称点为 M(-2,-2,2),设 M 的柱坐标为(,z), 则有 可得 tan = =1,因点 M 在第 卦限,所以解得 = ,=2 .所以点 M 的柱坐标为 .3.若点 B 的球坐标为 ,则它的直角坐标为 ( )A.(-1,1,- ) B.(1,-1, )C.(-
2、1,1, ) D.(1,1,- )答案:C解析:因为 所以点 B 的直角坐标为(-1,1, ).4.在球坐标系中,两点 P 和 Q 之间的距离为( )A. B.2 C.3 D.答案:C解析:将 P,Q 两点的球坐标转化为直角坐标.xP=3sin cos ,yP=3sin sin ,zP=3cos ,则点 P 的直角坐标为 .xQ=3sin cos ,yQ=3sin sin ,zQ=3cos =- ,则 Q 点的直角坐标为.故|PQ|=3 ,即 P,Q 之间的距离为 3 .5.以地球中心为坐标原点,地球赤道所在平面为 xOy 坐标平面,由原点指向北极的方向为 z 轴的正方向,本初子午线所在的平面
3、为 zOx 坐标平面,如图所示,某地在西经 60,南纬 45,地球的半径为 R,则该地的球坐标可以表示为( )A. B.C. D.答案:C6.设点 M 的直角坐标为(-1,- ,3),则它的柱坐标是 ( )A. B.C. D.答案:C解析: = =2,= ,z=3, 点 M 的柱坐标为 .7.若点 M 的直角坐标为(2,2,2 ),则它的球坐标为 ( )A. B.C. D.答案:B解析:由坐标变换公式得,r= =4,由 rcos =z=2 ,得 cos = ,所以 = .又 tan = =1,点 M 在第 卦限 ,所以 = .所以 M 的球坐标为 .8.已知点 P 的柱坐标为 ,点 B 的球坐
4、标为 ,则这两个点在空间直角坐标系中的点的坐标分别为( )A.P(5,1,1),BB.P(1,1,5),BC.P ,B(1,1,5)D.P(1,1,5),B答案:B解析:设点 P 的直角坐标为(x,y,z),则 x= cos =1,y= sin =1,z=5.设点 B 的直角坐标为(x,y,z),则 x= sin cos ,y= sin sin ,z= cos .所以点 P 的直角坐标为(1,1,5),点 B 的直角坐标为 .9.点 M 的球坐标为(r,)(, (0,),则其关于点(0,0,0)的对称点的坐标为( )A.(-r,-,-) B.(r,-,-)C.(r,+,) D.(r,-,+)答
5、案:D解析:设点 M 的直角坐标为(x,y,z),则点 M 关于(0,0,0)的对称点 M的直角坐标为(-x,-y,-z),设 M的球坐标为(r,),因为所以可得即 M的球坐标为(r,-,+).10.已知柱坐标系 Oxyz 中,点 M 的柱坐标为 ,则|OM|= . 答案:3解析:设点 M 的直角坐标为(x,y,z),且 2=x2+y2=4,故|OM|= =3.11.已知点 M 的球坐标为 ,则点 M 到轴 Oz 的距离为 . 答案:1解析:设点 M 在平面 Oxy 上的射影为 M0,M 到 Oz 轴的距离即为|OM 0|,|OM0|=rsin =2sin =1.12.空间点 P 的柱坐标为
6、,则点 P 关于 z 轴的对称点的柱坐标为 . 答案:13.已知柱坐标系中,点 M 的柱坐标为 且点 M 在数轴 Oy 上的射影为 N,则|OM|= ,|MN|= . 答案:3 解析:设点 M 在平面 Oxy 上的射影为 P,连接 PN,则 PN 为线段 MN 在平面 Oxy 上的射影. MN直线 Oy,MP平面 xOy, PN直线 Oy. |OP|=2,|PN|= =1. |OM|= =3.在 RtMNP 中,MPN=90, |MN|= .14.设点 M 的球坐标为 ,O 为原点,则 M 到原点的距离为 ,OM 与 xOy 平面所成的角为 .答案:2 15.点 M 的直角坐标为(1,- ,4
7、),求它的柱坐标.解:设点 M 的柱坐标为(,z),由变换公式 点 M 的柱坐标为 .16.已知长方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为|AB|=3,|AD|=3,|AA 1|= ,以这个长方体的顶点 A 为坐标原点,以射线 AB,AD,AA1 分别为 x,y,z 轴的正半轴,建立空间直角坐标系,求长方体顶点 C1 的空间直角坐标、柱坐标、球坐标.解:如图,C 1(x,y,z)的坐标分别对应着|CD|,|BC|,|CC 1|;C1(,z)的坐标分别对应着|CA|,BAC,|CC 1|;C1(r,)的坐标分别对应着|AC 1|,A 1AC1,BAC.故点 C1 的空间直角坐标为(3,3, ),点 C1 的柱坐标为 ,点 C1 的球坐标为 .
