1、1高中数学 第二章 推理与证明本章整合 新人教 B 版选修 1-2知识网络专题探究专题一 合情推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳，然后提出猜想的推理，统称为合情推理合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向归纳推理的思维过程大致如下： 实 验 ， 观 察 概 括 ， 推 广 猜 测 一 般 性 结 论类比推理的思维过程大致如下： 观 察 ， 比 较 联 想 ， 类 推 猜 测 新 的 结 论【例 1】 观察下列等式121122 23122 23 26122 23 24 210照此规律，第 n 个等式可为_解析：第 n 个等式的左边第 n 项应是(1)
2、 n1 n2，右边数的绝对值为123 n ，故有 122 23 24 2(1) n1 n2(1) n1 .n(n 1)2 n(n 1)22答案：1 22 23 24 2(1) n1 n2(1) n1 n(n 1)2【例 2】 中学数学中存在许多关系，比如“相等关系” “平行关系”等等，如果集合A 中元素之间的一个关系“”满足以下三个条件：(1)自反性：对于任意 a A，都有 a a；(2)对称性：对于 a， b A，若 a b，则有 b a；(3)传递性：对于 a， b， c A，若 a b， b c，则有 a c，则称“”是集合 A 的一个等价关系例如：“数的相等”是等价关系，而“直线的平行
3、”不是等价关系(自反性不成立)请你再列出两个等价关系解析：(1)令 A 为所有三角形构成的集合，定义 A 中两个三角形的全等为关系“” ，则其为等价关系(2)令 B 为所有正方形构成的集合，定义 B 中两元素相似为关系“” ，则其为等价关系(3)令 C 为一切非零向量构成的集合，定义 C 中任两向量共线为关系“” ，则其为等价关系答案：答案不唯一，如“图形的全等” “图形的相似” “非零向量的共线”等专题二 三段论推理三段论推理是演绎推理的主要形式，演绎推理具有如下特点：(1)演绎推理的前提是一般性原理，演绎推理所得的结论完全蕴涵于前提之中(2)演绎推理中，前提与结论之间存在必然的联系，演绎推
4、理是数学中严格证明的工具(3)演绎推理是一种收敛性的思维方法，它缺少创造性，但却具有条理清晰、令人信服的论证特点，有助于科学的理论化和系统化【例 3】 用三段论证明函数 f(x) x22 x 在(，1上是增函数提示：证明本题所依据的大前提是增函数的定义，即函数 y f(x)满足：在给定区间内任取自变量的两个值 x1， x2，若 x1 x2，则有 f(x1) f(x2)，小前提是 f(x) x22 x， x(，1满足增函数的定义，这是证明本题的关键证明：设 x1， x2是(，1上的任意两个实数，且 x1 x2，则 f(x1) f(x2)( x212 x1)( x222 x2)( x2 x1)(x
5、2 x12)因为 x1 x2，所以 x2 x10.因为 x1， x21， x1 x2，所以 x2 x120.因此 f(x1) f(x2)0，即 f(x1) f(x2)于是根据“三段论” ，得 f(x) x22 x 在(，1上是增函数【例 4】 已知函数 f(x) bx，其中 a0， b0， x(0，)，试确定 f(x)的单ax3调区间，并证明在每个单调区间上的增减性解：设 0 x1 x2，则 f(x1) f(x2) ( x2 x1) .(ax1 bx1) (ax2 bx2) ( ax1x2 b)当 0 x1 x2 时， x2 x10,0 x1x2 ， b，ab ab ax1x2 f(x1) f
6、(x2)0，即 f(x1) f(x2) f(x)在 上是减函数；(0， ab当 x2 x1 时， x2 x10， x1x2 ， b，ab ab ax1x2 f(x1) f(x2)0，即 f(x1) f(x2) f(x)在 上是增函数(ab， )专题三 直接证明与间接证明在解决问题时，我们经常把综合法和分析法结合起来使用根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论 Q；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论 P.若由 P 可以推出 Q 成立，就可以证明结论成立反证法不是去直接证明结论，而是先否定结论，在否定结论的基础上，运用演绎推理推导出矛盾，从而肯定结论的真实性这种证法体现了“正难则反”的理
7、论原则【例 5】 设 a， b， c 为 ABC 的三边，求证：( a b c)24( ab bc ac)提示：此题可先通过分析法寻求解题思路，然后用综合法证明证明：证法一(分析法)：由题意，要证明( a b c)24( ab bc ac)，即要证 a2 b2 c22 ab2 ac2 bc0，即证( a2 ab ac)( b2 bc ab)( c2 ca bc)0，即要证 a(a b c) b(b c a) c(c a b)0，因为 a， b， c 是三角形的三边，所以 a0， b0， c0，且 a b c，所以 a b c0.从而 a(a b c)0，同理可得 b(b c a)0， c(c
8、a b)0，三式相加，则不等式成立以上各步均可逆推，故原不等式成立证法二(综合法)：因为 a， b， c 是三角形的三边，所以 a0， b0， c0，且 a b c，所以 a b c0.4从而 a(a b c)0，同理可得， b(b a c)0， c(c a b)0，三式相加，可得 a(a b c) b(b c a) c(c a b)0，则 a2 ab ac b2 bc ab c2 ca bc0，即 a2 b2 c22 ab2 ac2 bc0，通过配方，可得( a b c)24( ab bc ac)【例 6】 若函数 f(x)在区间 a， b上是增函数，那么方程 f(x)0 在区间 a， b上至多有一个实数根提示：含有“至多” “至少”类词语的命题从正面证明难以入手，往往考虑应用反证法证明证明：假设方程 f(x)0 在 a， b上至少有两个不相等的实数根，设 ， 为其中的两个实根，则 f( ) f( )0.因为 ，不妨设 .又因为函数 f(x)在区间 a， b上是增函数，所以 f( ) f( )，这与 f( ) f( )0 矛盾所以方程 f(x)0 在区间 a， b上至多有一个实数根
