1、线性规划练习题摘要本文主要解决的是基于甲、乙两种饮料的原材料、需要工人数、所获利润等因素的限制下，对三个问题都设计了合适的数学模型，并做出了相应的解答和处理，通过线性规划的方法，为该厂制定了较为合理的生产方案，使之获得最大利润。通过阅读题目我们可以看出，这是一道典型的线性规划问题，三个问题之间存在一定联系。对于问题一：我们根据该厂现有的资源和工人数的限制条件下，结合生产甲、乙两种饮料的原料、工人、利润这些条件，进行线性规划，列出目标函数和约束条件，并运用 MATLAB 软件求解，得出最佳生产方案，即：生产甲饮料 642.86 箱,乙饮料 428.57 箱，此时可获得最大利润 102.8571
2、万元。对于问题二、三，分析过程类似，根据已知条件和数据，可以在问题一的答案的基础上稍作改变，即可找到目标函数和约束条件，分别建立相关模型，求得结果。关键字：数学模型 线性规划 MATLAB 软件 最佳方案一、问题重述某厂生产甲乙两种口味的饮料, 每百箱甲饮料需用原料 6 千克,工人 10 名, 可获利10 万元; 每百箱乙饮料需用原料 5 千克, 工人 20 名, 可获利 9 万元. 今工厂共有原料60 千克, 工人 150 名, 又由于其他条件所限甲饮料产量不超过 8 百箱. 问如何安排生产计划, 即两种饮料各生产多少使获利最大. 进一步讨论:1)若投资 0.8 万元可增加原料 1 千克,
3、问应否作这项投资?投资多少合理?2)若每百箱甲饮料获利可增加 1 万元, 问应否改变生产计划?并在此基础上讨论1)结果。二、问题分析该题目是一个线性规划的问题，首先问的是如何安排生产计划，即两种饮料各生产多少（百箱）能使获利最大。根据已知条件和数据，在现有的资源下，根据原材料、工人数的限制，我们很容易得出目标函数和相应的约束条件，再运用 MATLAB 数学软件，即可计算出具体的生产计划。接着又进一步讨论，1）若投资 0.8 万元可增加原料 1 千克, 问应否作这项投资?投资多少合理? 2)若每百箱甲饮料获利可增加 1 万元, 问应否改变生产计划?并在此基础上讨论 1)结果。对于这两个相对并不复
4、杂的问题，我们可以在第一问答案的基础上，将模型稍作改变，即可解决。三、模型假设1. 假设每百箱甲、乙饮料需要的原料、工人、获利数目固定且保持不变；2. 假设由于某种原因，甲饮料最多不超过 8 万箱；四、符号说明x：需要生产的甲饮料箱数（百箱） ；y: 需要生产的乙饮料箱数（百箱；w: 所获利润（万元）五、模型建立与求解模型的建立：生产甲饮料 x（百箱） ，乙饮料 y（百箱） ，此时可获得的最大利润 w 为:Max w=10x+9ys.t6x+5y=0对模型求解：使用 matlab 软件进行编程，求解上述问题：程序如下：所得结果：x=6.4286 百箱y=4.2857 百箱最终收益：w1=102
5、.8571 万元对上述问题的进一步讨论：1）若投资 0.8 万元可增加原料 1 千克, 问应否作这项投资?投资多少合理?将上述模型稍作改变，可得模型：Max w2=10x+9ys.t 6x+5y=0对模型求解：使用 matlab 软件进行编程，求解上述问题：程序如下：所得结果：x=6.7143 百箱y=4.1429 百箱最终收益：w2=104.4286-0.8=103.6286 万元因为 w1=0对模型求解：使用 matlab 软件进行编程，求解上述问题：程序如下：所得结果：x=8 百箱y=2.4 百箱最终收益：w3=109.6000 万元因为 w3w1,所以，若每百箱甲饮料获利可增加 1 万
6、元, 应该改变生产计划。即：此时应生产甲饮料 800 箱，乙饮料 240 箱，可得收益最大，为 109.6000 万元。在此基础上，我们再次讨论问题 1）：即：若每百箱甲饮料获利可增加 1 万元,同时投资 0.8 万元可增加原料 1 千克, 问应否作这项投资?建立模型如下： Max w4=11x+9ys.t 6x+5y=0对模型求解：使用 matlab 软件进行编程，求解上述问题：程序如下：所得结果：x=8 百箱y=2.6 百箱最终收益：w4=111.4000-0.8=110.6000 万元因为 w4w1,所以，此情况下，应做这项投资。六、模型的评价和应用优点：建立的模型使问题由复杂变简单，做到了物尽其用、人尽其能的原则，为生产商做出了较为合理的生产方案，使之得到最大利润。使用这种模型，使得实际问题更加精确。缺点：该模型在分析建立的过程中有一定的主观性，例如没有考虑甲、乙两种饮料的市场价格是否稳定，及对两种饮料获利的影响。应用：模型在实际应用中，还可以运用到其他一系列优化方案问题中。七、参考文献1.数学建模方法与分析原书第三版 机械工业出版社 Mark M.Meerschaert著 14-41 页 2009 年2.MATLAB 教程及实训 机械工业出版社 曹戈著3
