1、简单的线性规划典型例题例 1 画出不等式组 表示的平面区域.0342yx， ，分析：采用“图解法”确定不等式组每一不等式所表示的平面区域，然后求其公共部分解：把 ， 代入 中得0xy2yx02 不等式 表示直线 下方的区域0yx（包括边界） ，即位于原点的一侧，同理可画出其他两部分，不等式组所表示的区域如图所示说明：“图解法”是判别二元一次不等式所表示的区域行之有效的一种方法例 2 画出 表示的区域，并求所32yx有的正整数解 ),(分析：原不等式等价于 而求正整数解则意味着 ，.3,2yxxy有限制条件，即求 .3,2,0yxz解：依照二元一次不等式表示的平面区域，知 表示3y的区域如下图：
2、对于 的正整数解，先画出不等式组 所表32yx .3,2,0yxz示的平面区域，如图所示容易求得，在其区域内的整数解为 、 、 、 、)1,()2,)3,1()2,()3,2(说明：这类题可以将平面直角坐标系用网络线画出来，然后在不等式组所表示的平面区域内找出符合题设要求的整数点来例 3 求不等式组 所表示的平面区域的面积1xy分析：本题的关键是能够将不等式组所表示的平面区域作出来，判断其形状进而求出其面积而要将平面区域作出来的关键又是能够对不等式组中的两个不等式进行化简和变形，如何变形？需对绝对值加以讨论解：不等式 可化为 或 ；1xy)1(xy)1(2xy不等式 可化为 或 0)0在平面直
3、角坐标系内作出四条射线， )1(xyAB： )1(2xyAC：，0DE： 0DF：则不等式组所表示的平面区域如图 由于 与 、 与 互相垂直，ABCDEF所以平面区域是一个矩形根据两条平行线之间的距离公式可得矩形的两条边的长度分别为和 23所以其面积为 23例 4 若 、 满足条件 求 的最大值和最xy.01423yx， yxz2小值分析：画出可行域，平移直线找最优解解：作出约束条件所表示的平面区域，即可行域，如图所示作直线 ，即 ，它表示斜率为 ，纵截zyxl2: zx2121距为 的平行直线系，当它在可行域内滑动时，由图可知，z直线 过点时， 取得最大值，当 过点 时， 取得最小值lzlB
4、z 182max 2minz说明：解决线性规划问题，首先应明确可行域，再将线性目标函数作平移取得最值例 5 用不等式表示以 ， ， 为顶点的三角形)4,1(A)0,3(B)2,(C内部的平面区域分析：首先要将三点中的任意两点所确定的直线方程写出来，然后结合图形考虑三角形内部区域应怎样表示。解：直线 的斜率为： ，其方程为 AB1)3(04ABk 3xy可求得直线 的方程为 直线 的方程C62xyAC为 2xy的内部在不等式 所表示平面区域内，同时在不AB03yx等式 所表示的平面区域内，同时又在不等式06yx所表示的平面区域内（如图） 2所以已知三角形内部的平面区域可由不等式组 表02,63y
5、x示说明：用不等式组可以用来平面内的一定区域，注意三角形区域内部不包括边界线例 6 已知 ， 求 的最大、最小值05yx01yx2yx分析：令 ，目标函数是非线性的而2z可看做区域内的点到原点距离的平方问题转化22yxyxz为点到直线的距离问题解：由 得可行域(如图所示)为 ，,015yx 22yxyxz而 到 ， 的距离分别为 和 )0,(yx510所以 的最大、最小值分别是 50 和 z 25说明：题目中的目标函数是非线性的解决的方法类似于线性规划问题可做出图，利用图进行直观的分析例 7 设 式中的变量 、 满足下列条件 求yxz5xy.*,023,4Nyx的最大值z分析：先作出不等式组所
6、表示的可行域，需要注意的是这里的，故只是可行域内的整数点，然后作出与直线 平*Nyx、 057yx等的直线再进行观察解：作出直线 和直线 ，得可行域如02341yxl： 232yxl：图所示解方程组 得交点 0234yx)54,2(A又作直线 ，平等移动过点 时， 取最大值，然57l： yx7而点 不是整数点，故对应的 值不是最优解，此时过点 的直线为Az A，应考虑可行域中距离直线 最近的整点，即5437yx 543yx，有 ，应注意不是找距点 最近的整点，如),2(B34527)( Bz点 为可行域中距 最近的整点，但 ，它小于14CA147)(Cz，故 的最大值为 34)(Bz说明：解决
7、这类题的关键是在可行域内找准整点若将线性目标函数改为非线性目标函数呢？例 8 设 ，式中的变量 、 满足 试求 的最2yxzxy.1,2534xyz大值、最小值分析：作出不等式组所表示的平面区域，本题的关键是目标函数 应理解为可行域中的点与坐标原点的距离的平方2yxz解：作出直线 ， ， 得到如图0341yxl： 0252yxl： 13xl：所示的可行域由 得02534yx)2,(A由 得1)1,(C由 得 0253xy)52,(B由图可知：当 为点 时， 取最小值为 2；当 为点,x1,Cz),(yx时， 取最大值 29)2,5(Az说明：若将该题中的目标函数改为 ，如何来求 的最大值、yx
8、zz最小值呢？请自己探求 （将目标函数理解为点 与点 边线),()0,(的斜率）例 9 设 ， ， ； ， ，0xy0zzyxp23zyxq42，用图表示出点 的范围1zyx ),(qp分析：题目中的 ， 与 ， ， 是线性关系可借助于 ，pqxyzx， 的范围确定 的范围yz),(解：由 得 由 ， ，,142,3zyxqp),345(271,),68(271qpzypqx0xy得 做出不等式所示平面区域如图所示0z,05431,86qp说明：题目的条件隐蔽，应考虑到已有的 ， ， 的取值范xyz围借助于三元一次方程组分别求出 ， ， ，从而求出 ， 所pq满足的不等式组找出 的范围),(q
9、p例 10 某糖果厂生产 、 两种糖果， 种糖果每箱获利润 40 元，ABA种糖果每箱获利润 50 元，其生产过程分为混合、烹调、包装三道B工序，下表为每箱糖果生产过程中所需平均时间（单位：分钟）混合 烹调 包装A1 5 3B2 4 1每种糖果的生产过程中，混合的设备至多能用 12 机器小时，烹调的设备至多只能用机器 30 机器小时，包装的设备只能用机器 15机器小时，试用每种糖果各生产多少箱可获得最大利润分析：找约束条件，建立目标函数解：设生产 种糖果 箱， 种糖果 箱，可获得利润 元，则AxByz此问题的数学模式在约束条件 下，求目标函数0931845720yx的最大值，作出可行域，其边界
10、yxz504:OA93:yxB01845:yxBC072yxCD0:DO由 得 ，它表示斜率为z5454zx，截距为 的平行直线系， 越大， 越大，500z从而可知过 点时截距最大， 取得了最大值Cz解方程组 312804572，Cyx 即生产 种糖果 120 箱，生产9801maz A种糖果 300 箱，可得最大利润 19800 元B说明：由于生产 种糖果 120 箱，生产 种糖果 300 箱，就使得AB两种糖果共计使用的混合时间为 1202300720（分） ，烹调时间 512043001800（分） ，包装时间 3120300660（分） ，这说明该计划已完全利用了混合设备与烹调设备的可
11、用时间，但对包装设备却有 240 分钟的包装时间未加利用，这种“过剩”问题构成了该问题的“松驰”部分，有待于改进研究例 11 甲、乙、丙三种食物的维生素 、 含量及成本如下表：AB甲 乙 丙维生素 （单位/千A克）600 700 400维生素 （单位/千B克）800 400 500成本（元/千克） 11 9 4某食物营养研究所想用 千克甲种食物， 千克乙种食物， 千xyz克丙种食物配成 100 千克的混合食物，并使混合食物至少含 56000单位维生素 和 63000 单位维生素 （1）用 、 表示混合物成本ABxy （2）确定 、 、 的值，使成本最低Cxyz分析：找到线性约束条件及目标函数，
12、用平行线移动法求最优解解：（1）依题意： 、 、 满足xyz yxzzyx10 成本 （元）4057491C（2）依题意 63086zyx z10012yx，作出不等式组所对应的可行域，如图 所示联立 20516032，交 点 Ayx作直线 则易知该直线截距越小， 越小，所以该C457 C直线过 时，直线在 轴截距最小，从而 最小，此时，Ay750520400 850 元 千克， 千克时成本最低50x30z例 12 某工厂有甲、乙两种产品，按计划每天各生产不少于15 ，已知生产甲产品 1 需煤 9 ，电力 4 ，劳力 3 个（按工作日t ttkW计算） ；生产乙产品 1 需煤 4 ，电力 5
13、，劳力 10 个；甲产品每吨价 7 万元，乙产品每吨价 12 万元；但每天用煤最不得超过 300 吨，电力不得超过 200 ，劳力只有 300 个问每天各生产甲、乙两种kW产品多少 ，才能既保定完成生产任务，又能为国家创造最多的财t富分析：先设每天生产甲、乙两种产品的产量分别为 和 ，建xty立约束条件和目标函数后，再利用图形直观解题解：设每天生产甲产品 ，乙产品 ，总产值 ，依题意约束xtytSt条件为： .301,2549,1yx目标函数为 yxS127约束条件表示的可行域是五条直线所围成区域的内部的点加上它的边线上的点(如图阴影部分)现在就要在可行域上找出使 取最大值的点 作直yxS12
14、7),(yx线 ，随着 取值的变化，得到一束平行直线，其纵截距为yxS127S，可以看出，当直线的纵截距越大， 值也越大从图中可以看出，当直线 经过点 时，直线的纵截距yx127A最大，所以 也取最大值S解方程组 ,031254yx得 故当 ， 时，),20(A24y(万元)8247最 大 值S答：第天生产甲产品 20 ，乙产品 24 ，这样既保证完成任务，tt又能为国家创造最多的财富 428 万元说明：解决简单线性规划应用题的关键是：(1)找出线性约束条件和目标函数；(2)准确画出可行域；(3)利用 的几何意义，求出S最优解如本例中， 是目标函数 的纵截距12SyxS127例 13 有一批钢
15、管，长度都是 4000 ，要截成 500 和 600 两mm种毛坯，且这两种毛坯数量比大于 配套，怎样截最合理？3分析：先设出未知数，建立约束条件和目标函数后，再按求最优解是整数解的方法去求解：设截 500 的 根，600 的 根，根据题意，得mxmy且 .0,3,465yxzyx作出可行域，如下图中阴影部分目标函数为 ，作一组平行直线 ，经过可行域内的yxztyx点且和原点距离最远的直线为过 的直线，这时 )8,0(B8yx由 ， 为正整数，知 不是最优解xy),(在可行域内找整点，使 7yx可知点 ， ， ， ， 均为最优解)5,2()4,3(),()2,5()1,6(答：每根钢管截 50
16、0 的 2 根，600 的 5 根，或截 500 的mmm3 根，600 的 4 根或截 500 的 4 根，600 的 3 根或截 500的 5 根，600 的 2 根或截 500 的 6 根，600 的 1 根最合m理说明：本题易出现如下错解：设截 500 的 根，600 的mxm根，则y即.0,31,40650yxy.,3,4065yx其中 、 均为整数作出可行域，如下图所示中阴影部分目x标函数为 ，作一组平行直线 ，经过可行域内的点且和yxztyx原点相距最远的直线为过 点的直线先求 点的坐标，AA解 得 ，40653yx231x故 ，即 ，调整为 ， 231,A7yx2x5y经检验满
17、足条件，所以每根截 500 的 2 根，600 的 5 根最mm合理本题解法错误主要是在作一组平行直线 时没能准确作出，tyx而得到经过可行域内的点且和原点距离最远的直线为过 点的直A线此错误可检验如下：如果直线 通过 点，它是经过可行域内的点且到原点距离最tyxA远的直线，那么 ，即 由于 ， 为整数，所以点t231047yxxy不是最优解但在可行域内除 点外，不可能再有其他点)235,17(AA满足 ，只能在可行域内找满足 的点如果还没有整数yx 6yx点，则只能在可行域内找满足 的整数点但我们知道 ，52x满足题意，这样，就出现了矛盾，从而判断解法错误，即5y通过 点的直线并不是通过可行
18、域内的点且和原点距离最远tyxA的直线例 14 某工厂生产 、 两种产品，已知生产 产品 1 要用煤 9BAkg，电力 4 ，3 个工作日；生产 产品 1 要用煤 4 ，电力tkWkgt5 ，10 个工作日又知生产出 产品 1 可获利 7 万元，生产出A产品 1 可获利 12 万元，现在工厂只有煤 360 ，电力Bkg t200 ，300 个工作日，在这种情况下生产 ， 产品各多少千克能B获得最大经济效益分析：在题目条件比较复杂时，可将题目中的条件列表 产 品 工 作 日 煤 / t 电 力 /kW 利 润 /万 元 A产 品 3 9 4 7 B产 品 10 4 5 12 解：设这个工厂应分别
19、生产 ， 产品 ， ，可获利 万ABxkgyz元根据上表中的条件，列出线性约束条件为 目标函,0254,3691yx数为 (万元)yxz127画出如图所示的可行域，做直线 ，做一组直线127 yxl：与 平行，当 过点 时 最大由 得 点坐标tyx127llAt,0543A为 把 点坐标代入 的方程，得 (万元)4,0(Al28t答：应生产 产品 20 ， 产品 24 ，能获最大利润 428 万元AtBt说明：把实际问题转化为线性规划问题的难点在于找出题目中的所有线性约束条件同时本题的可行域形状较复杂，要注意分析目标函数的斜率和各边界斜率的关系：从而确定在何处取得最优解解应用题时还应注意设出未
20、知量和做答这两个必要步骤例 15 某公司每天至少要运送 180 货物公司有 8 辆载重为 6 的t t型卡车和 4 辆载重为 10 的 型卡车， 型卡车每天可往返 4 次，AtBA型卡车可往返 3 次， 型卡车每天花费 320 元， 型卡车每天花费BAB504 元，问如何调配车辆才能使公司每天花费最少分析：设 型卡车 辆， 型卡车 辆问题转化为线性规划问xBy题同时应注意到题中的 ， 只能取整数解：设 型卡车 辆， 型卡车 辆，则 即AxBy,180324,0yx,30541,8yx目标函数 做如图所示的可行域，yxz5042做直线 在可行域中打上网格，找出 ，05432 yxl： )0,8(
21、， ， ， ， ，等整数点做)1,8(),()1,7()2,()3,7(与 平行，可见当 过 时 最小，即tyxl50432： ll0,8t(元)6minz说明：整数解的线性规划问题如果取最小值时不是整数点，则考虑此点附近的整数点例 16 某工厂利用两种燃料生产三种不同的产品 、 、 ，每消耗ABC一吨燃料与产品 、 、 有下列关系：ABC现知每吨燃料甲与燃料乙的价格之比为 ，现需要三种产品 、3:2A、 各 50 吨、63 吨、65 吨问如何使用两种燃料，才能使该厂BC成本最低？分析：由于该厂成本与两种燃料使用量有关，而产品 、 、AB又与这两种燃料有关，且这三种产品的产量也有限制，因此这是
22、C一道求线性目标函数在线性约束条件下的最小值问题，这类简单的线性规划问题一般都可以利用二元一次不等式求在可行域上的最优解解：设该厂使用燃料甲 吨，燃料乙 吨，甲每吨 元，xyt2则成本为 因此只须求 的最小值即)32(yttxzyx3可又由题意可得 、 满足条件xy.6513,970yx作出不等式组所表示的平面区域（如图）由 得.6397,501yx)156,27(A由 得.15,)30,(B作直线 ，把直线 向右上方平移至可行域中的点 时，32yxl： l B23470z最小成本为 t234答：应用燃料甲 吨，燃料乙 吨，才能使成本最低170说明：本题中燃料的使用不需要是整数吨，若有些实际应
23、用问题中的解是整数解，又该如何来考虑呢？例 17 咖啡馆配制两种饮料，甲种饮料每杯含奶粉 9 克、咖啡 4 克、糖 3 克，乙种饮料每杯含奶粉 4 克、咖啡 5 克、糖 10 克已知每天原料的使用限额为奶粉 3600 克、咖啡 2000 克、糖 3000 克如果甲种饮料每杯能获利 0.7 元，乙种饮料每杯能获利 1.2 元，每天在原料的使用限额内饮料能全部售出，每天应配制两种饮料各多少杯能获利最大？分析：这是一道线性规划的应用题，求解的困难在于从实际问题中抽象出不等式组只要能正确地抽象出不等式组，即可得到正确的答案解：设每天配制甲各饮料 杯、乙种饮料 杯可获得最大利润，xy利润总额为 元z由条件知： 变量 、 满足yx2.17.0xy.0,3254,69yx作出不等式组所表示的可行域（如图）作直线 ，把直线 向右上方平移至经过 点的位置时，02.170yxl： l A取最大值z.由方程组： .0254,3yx得 点坐标 A),0(答：应每天配制甲种饮料 200 杯，乙种饮料 240 杯方可获利最大
