1、1线性规划及单纯形1 规划问题及模型1.1 问题提出与建模(1) 生产计划问题某工厂用三种原料生产三种产品，已知的条件如表所示，试制订总利润最大的生产计划。单位产品所需原料数量（吨） 产品 Q1 产品 Q2 原料可用量（吨/日）原料 P1 4 4 28原料 P2 4 2 20原料 P3 8 32原料 P4 2 4 24单位产品的利润（万元） 4 6问题分析可控因素：每天生产产品的数量，分别设为 x1，x 2目标：每天生产利润最大，利润函数 4x16x 2受制条件：每天原料的需求量限制原料 P1：4x 14x 2 28原料 P2：4x 12x 2 20原料 P3：8x 132原料 P4：2x 1
2、2x 2 24内蕴约束：产量非负性x1，x 2 0建立模型Max 4x16x 220,243848.21121xxts1.2 模型的标准化各种类型的规划问题的线性模型大体上是相同的，既在一组约束条件下寻找极值。规划的一般形式为： nxcxc. ZMax(in)210,. ),( ,.)(.212 22212 11n mnmmnxbxaats为了讨论的方便，我们规定线性规划问题的标准形式为： nxcc.Ma Z210,.21222212 11nmnmnxbxaaxts可简写成： jjc1Ma Z0.1jinjixbts njmi,.21,.注：要求 ，否则两端都乘以“1” 。ib进一步简写成矩阵
3、形式：3CXMax Z0.bAts其中：为价值向量，),(21ncC为决策变量，xX为系数矩阵。为右端向量，),.(21mbb1.3 模型的转换(1) 目标转换如何处理 的问题？令 ,转求 即可。CXMin ZZ MinZax (2) 约束转换：左端加入非负松弛变量； ：左端减去非负松弛变量（又另称剩余变量）iniii bxaxa210,11niiii x或iniii baxa21 0,1121 niniii x(3) 变量转换若 无约束（即可正可负）如何处理？令 ，通过变成两个非jx )2()1(jjjx负变量的差便可解决。nnaaA 221142 代数解法我们以下面的标准型规划问题为例进行
4、代数分析：Max Z =4x16x 2系数矩阵为0,242388.65312512xxts 10428(1) 确定初始基变量易知 为基变量， 为非基变量。6543,x21,x21652144280xx TX)24,30,8()0 0621xZ(2) 更新基变量为使得变换后目标函数 增幅最大，因 系数较大故宜选 为216xZ2x2x入基变量。由 26524308xx可知道，随着 增加， 最先破坏非负要求（ ） ，6 6)42,08min(因此 最脆弱，被选为出基变量。从而 为基变量， 为非基变量。6x 2543,x1x61256143482xxx TX)0,3284,6()1 364361xZ5
5、(3) 第二次更新基变量为使得变换后目标函数 增幅最大，只能选 为入基变量。6143xZ1x由 125143682xx可知道，随着 增加， 最先破坏非负要求（ ） ，因3 2)16,83,24min(此 最脆弱，被选为出基变量。从而 为基变量， 为非基变量。3x 2541,x63,x632561431242xxx TX)0,162,5()2 38213863xZ此时目标函数表达式之系数皆为负，停止迭代计算。这种代数解法实际上就是单纯形算法。3 规划问题的解3.1 解的相关概念下面介绍线性规划问题解的基本概念。(1) 可行解（可行域）满足约束条件的变量的值，称为可行解。所有可行解之集合 D 为可
6、行域。(2) 最优解（最优值）使目标函数取得最优值的可行解，称为最优解，对应的目标函数值为最优值。6(3) 基本解（基变量与非基变量）设 r(A)=m,并且 B 是 A 的 m 阶非奇异的子矩阵（det(B )0),则称矩阵 B 为线性规划问题的一个基。矩阵 B=（P 1，P 2.Pm) ，其列向量 Pj 称为对应基 B 的基向量。与基向量 Pj 相对应的变量 xj 就称为基变量，其余的就称为 非基变量。对于某一特定的基 B，非基变量取 0 值的解，称为基本解。基本解的非零分量如果小于 m 则称为退化基本解。我们本章讨论都是假设不出现退化的情况。, )(NA1),(NBXbb 分 块BNB11
7、1 左 乘 00XN其中 B 是基，N 是非基；X B是基变量，X N是非基变量； X 是基本解。(4) 基本可行解（可行基）满足非负约束条件的基本解，称为基本可行解（即 ） 。此时对应的01bB基阵 B 为可行基。7以 max Z = 2x1 + 3x2 s.t. -2x1 + 3x2 6 3x1- 2x2 6 x1+x2 4 x1, x2 0 为例来说明本问题解的情况：可行解：由点（O，Q 1，Q 2，Q 3，Q 4）围成的区域。基本解：点（O，A，B，Q 1，Q 2，Q 3，Q 4）基本可行解：点（O，Q 1，Q 2，Q 3，Q 4）3.2 解的图解表示对于只有两个变量的线性规划问题可以
8、用图解法求解：变量用直角坐标系中的点表示；约束条件用坐标系中的半空间或直线的交表示；可行域是一个凸多面体；目标函数用一组等值线表示，沿着增加或减少的方向移动，与可行域最后的交点就是最优解。例如：求解问题 052.max11xtsz最优解（1，4） ，最优值 3821x21x521当目标函数改变后，等值线的方向会发生改变，如果等值线与某个约束对应的函数直线平行，则该函数值线上的所有可行解都是最优解，也就是说有无穷多个最优解。21x21x3.3 解的基本定理凸集概念：设 D 是 n 维线性空间 Rn 的一个点集，若 D 中的任意两点 x(1),x(2)的连线上的一切点 x 仍在 D 中，则称 D
9、为凸集。即：若 D 中的任意两点 x(1),x(2) D，存在 01 使得x= x(1)+(1- )x(2) D,则称 D 为凸集凸组合：设 x(1),x(2) x(k)是 n 维线性空间 Rn 中的 k 个点，若存在数u1,u2,.uk 且 0ui1 (i=1,2,k), ui =1,使得 x= u1 x(1)+ u2 x(2) + uk x(k) 成立，则称 x 为 x(1),x(2) x(k)的凸组合。顶点：设 D 是凸集, 若 D 中的点 x 不能成为 D 中任何线段上的内点，则称 x 为凸集 D 的顶点。即：若 D 中的任意两点 x(1),x(2) ，不存在数 （0 1） 使得 x=
10、 x(1)+(1- )x(2)成立，则称 x 为凸集 D 的一个顶点。定理 1 线性规划问题的可行解集是凸集。 （即连接线性规划问题任意两个可行解的线段上的点仍然是可行解。)定理 2 线性规划问题的可行解 x 为基础可行解的充分必要条件是：x 的非零分量所对应的系数矩阵 A 的列向量是线性无关。定理 3 线性规划问题的可行解 x 为基础可行解的充分必要条件是：x 是可最优解（1，4） ，最优值 3 521x9行域 D 中的顶点。推论：可行解集 D 中的顶点个数是有限的。推论：若可行域 D 是有界的凸集，则 D 中任意一点 x，都可表示成 D 的顶点的凸组合。定理 4 若可行域 D 有界，则线性
11、规划问题的最优解，必定在 D 的顶点上达到。以上定理证明在此略去，有兴趣的同学请查阅运筹学等相关书籍。3 单纯形思想规划理论：规划理论可以划分为两大部分。第一部分是研究在满足外部约束下规划的内部配合，即研究相互依赖的各项因素之间的配合。第二部分是讨论规划的最优性问题。数学规划：属于运筹学范畴，研究在现有人力、财力和物力等资源下，通过合理配置与使用达到最优目标的数学方法。线性规划（Linear Programming，简称 LP)：以线性假设为前提的数学规划。单纯形法：解法统一简单，解具有精确的全局最优性。这里，必须谈到两个著名的人物，康托洛维奇和丹齐克。1939 年著名数理经济学者康托洛维奇发
12、表了生产组织和计划中的数学方法这一运筹学的先驱性名著，其中已提到类似线性规划的模型和“解乘数求解法”。但是他的工作直到 1960 年的最佳资源利用的经济计算一书出版后，才得到重视。1975 年，康托洛维奇与 T . C . Koopmans 一起获得了诺贝尔经济学奖。1947 年 G . B. Dantzig 在研究美国空军军事规划时提出了线性规划的模型和单纯形解法，并很快引起美国著名经济学家 Koopmans 的注意。Koopmans 为此呼吁当时年轻的经济学家要关注线性规划。今天，单纯形法及其理论已成为了线性规划的一个重要的部分。103.1 线性规划发展历史线性规划创始人：G.B.丹齐克（
13、Dantzig）1947 年美国人 Dantzing 开始研究 LP1951 年 Dantzig 提出单纯形算法（Simpler）1963 年 Dantzig 写成“Linear Programming and Extension”1979 年原苏联的 Khachian 提出“椭球法”1984 年印度的 Karmarkar 提出“投影梯度法”线性规划是研究线性不等式组的理论，或者说是研究（高维空间中）凸多面体的理论，是线性代数的应用和发展。单纯形是美国数学家 G.B.丹齐克于 1947 年首先提出来的。它的理论根据是：线性规划问题的可行域是 n 维向量空间 Rn 中的多面凸集，其最优值如果存在
14、必在该凸集的某顶点处达到。顶点所对应的可行解称为基本可行解。单纯形算法的基本思想是：先找出一个基本可行解，对它进行鉴别，看是否是最优解；若不是，则按照一定法则转换到另一改进的基本可行解,再鉴别；若仍不是，则再转换,按此重复进行。因基本可行解的个数有限，故经有限次转换必能得出问题的最优解。如果问题无最优解也可用此法判别。例 1、求解问题5,.21;03.2max241jxtszj解答：以 、 和 为基变量就可以得到初始基可行解 ，145 )2,10(其对应的单纯形表为（注意实际解题中可以简单类似如下列表）：1x23x45x z1 -2 0111 -2 1 1 -3 11 -1 1212由于 ，所
15、以该基可行解不是最优解，同时系数矩阵该列有大于 0 的元012素，所以取 为入基变量。计算 ，所以取第二个约束对应的基x,min12变量 为出基变量，就可以得到一个新的基可行解，在上表中把 对应的列变4 2x成单位向量，系数矩阵第 2 行对应的元素为 1，则可以得到该基可行解的单纯形表1x23x45x z0 1 -1 -11 0 -5 21 -3 10 2 -1 1411由于 ，所以该基可行解不是最优解，同时系数矩阵该列有大于 0 的元13素，所以取 为入基变量。计算 ，所以取第 3 个约束对应的基变量 为x21 5x出基变量，就可以得到一个新的基可行解，在上表中把 对应的列变成单位向x量，系
16、数矩阵第 3 行对应的元素为 1，则可以得到该基可行解的单纯形表：1x23x45 z0 0 -1/2 -1/2 -3/21 0 0 -1/2 5/21 0 -1/2 3/20 1 -1/2 1/213/25/21/2由于检验数都小于等于 0，所以该基可行解就是最优解，对应的最优解为，最优值为-3/2。)0,215,3(123.2 单纯形算法(1) 初始可行基初始可行基是单纯形算法的起步，也是单纯形算法的关键。如何寻找或者构造初始可行基我们在此不做过多阐述，后面更加深入学习中将会提到。(2) 单纯形表为简单计，以类似上述规划问题的标准型为基础构造以下方程组（将Z作为不参与基变换的基变量） ，进而
17、得到增广矩阵，依次设计表格。0)(0)(21 22212 11nmnmmnnxcxcZ bxaaxxX 1 2 n n+1 xxx n+mzXB c1 c2 c n 0 0.0.110 . 02 22 1112 mnnmnccc baa13xn+1xn+2 xn+ma11 a12 1a21 1 1 am1 1b1b2 bm(3) 最优性检验（理论方法） 最优性判别准则（第一判别）：如果 ，则基可行解 为原问题的0x最优解。证明：给定一个非退化的基可行解 ，对应的可行基为 ，则等式约束变xB为：典式bBNxB11Nx目标函数 NBccNb)(1BBxcc1令 ， ，则 检验数NN0xbB1规划等
18、价于 0.max11bBtsxcNB 无最优性判别准则（第二判别）：如果向量 的第 个分量 ，而k0k向量 ，则原问题无解。1kA证明：令 其基变量取值为。非基变量中第 k)0,1,0,(1kBb个非基变量取值为 1，其它为 0。令 ，其中 。由于 ，kbx0k0x可知对任意 ， ，且满足 和 。kx BNB11c当 时， 。kxc14 最小比值原则（换基迭代）：对于非退化的基本可行解 ，若向量 的x第 个分量 ，而向量 至少有一个正分量，则可以找到一个新的基k0k.1kAB本可行解 使得 。xxc证明：令 其基变量取值为。非基变量中第 k)0,1,(1kkb个非基变量取值为 1，其它为 0。
19、令 ，其中 。为了保证kbx0k，即要求对于 的正分量 ，满足0kx.1kAB )(1iikABa，其中 。因而 ，令kiiabiib)(i/，令 则显然 是个可行解。在原,.21,/mnmiki kbxx基阵中以第 k 列替代第 i 列，则显然所得子阵可逆，所以 是个基可行解。其对应的目标函数值 。cxck(4) 算法步骤step1 找一个初始可行基step2 求出典式和检验数step3 求 ,.21maxnjkstep4 如果 则该基可行解就是最优解停止；否则转 step5；0step5 如果 ，则问题无最优解，停止；否则转 step61kABstep6 求 rkiki abmb/,.,0
20、/nstep7 以 替代 得到一个新的基，转 step2；kr154 算例例 1、求解问题5,.21;03.2max241jxtszj解答：以 、 和 为基变量就可以得到初始基可行解 ，145 )2,10(其对应的单纯形表为（注意实际解题中可以简单类似如下列表）：1x23x45x z1 -2 01 -2 1 1 -3 11 -1 1212由于 ，所以该基可行解不是最优解，同时系数矩阵该列有大于 0 的元012素，所以取 为入基变量。计算 ，所以取第二个约束对应的基x,min12变量 为出基变量，就可以得到一个新的基可行解，在上表中把 对应的列变4 2x16成单位向量，系数矩阵第 2 行对应的元
21、素为 1，则可以得到该基可行解的单纯形表1x23x45x z0 1 -1 -11 0 -5 21 -3 10 2 -1 1411由于 ，所以该基可行解不是最优解，同时系数矩阵该列有大于 0 的元13素，所以取 为入基变量。计算 ，所以取第 3 个约束对应的基变量 为x21 5x出基变量，就可以得到一个新的基可行解，在上表中把 对应的列变成单位向x量，系数矩阵第 3 行对应的元素为 1，则可以得到该基可行解的单纯形表：1x23x45 z0 0 -1/2 -1/2 -3/21 0 0 -1/2 5/21 0 -1/2 3/20 1 -1/2 1/213/25/21/2由于检验数都小于等于 0，所以
22、该基可行解就是最优解，对应的最优解为，最优值为-3/2。)0,215,3(例 2、求解问题 5,.21;04633.50max52121jxtsxzj列表求解如下（省略分析过程）：171x23x45x40 50 01 2 1 0 03 2 0 1 00 0 0 13060241x23x45x40 0 0 0 -25 -600 0 1 0 -13 0 0 1 -10 1 0 0 1/2636121x23x45x0 0 -40 0 15 -8401 0 1 0 -10 0 0 1 0 1 0 0 1/2618121x23x45x-z0 0 -35/2 -15/2 0 -9751 0 -1/2 1/2 00 0 -3/2 1/2 10 1 3/4 -1/4 015915/218例 3、求解问题Max Z =4x16x 20,242388.65312512xxts1x23x45x
