1、第7章 线性规划,线性规划问题：目标函数和约束函数均为线性的优化问题。其理论与方法在工程管理和经济管理中应用广泛。 7.1 线性规划问题 1307.1.1 线性规划的标准形式 1307.1.2 线性规划的几何意义 1317.1.3 线性规划的基本术语 1327.1.4 基本性质及基本运算 133 7.2 单纯形法 137 7.3 算法改进 138,7-1 线性规划问题 7.1.1 线性规划的标准形式,例6-1某厂生产A、B产品，每生产一台A获产值2万，需一车间3天，二车间6天；每生产一台B获产值1万，需一车间5天，二车间2天。现在一车间有15天，二车间有24天。试求出生产组织者安排两产品的合理
2、投产数，以获最大的总产值。 解：设A、B的台数分别为 、 。设计变量为：X= x 1 , x 2 ， 目标函数：约束条件：,将线性规划问题的一般形式转化为标准形式(可用文字表达)。,一般形式： 标准形式：目标最小化、约束为右端项非负的等式、设计变量均非负。矩阵等价形式：,一般形式转化为标准形式的步骤,1如果目标函数为极大化，则转化为极小化。 2约束条件中的小于常数的不等式约束，通过加上新的非负变量，将其全变为等式约束 ，该变量称松弛变量 。 3当在某些问题中，实际情况并不要求某一变量为非负时，可令,例题化为标准形式，有：,1、目标函数极小化 2、引入松弛变量 x 3 , x 4,7.1.2 线
3、性规划的几何意义,例6-2：某厂能够生产甲、乙两种产品的每吨产值分别为8、11，已知生产甲产品每吨所需要的煤、电是7、2，乙产品为3、5。但是国家每天分配给该厂的煤和电力有限制：每天供煤至多56吨，供电至多45千瓦，问该厂如何安排生产，使得该厂日产值最大？问题是在约束下，求目标函数 S = 8 x + 11 y 的最大值。,其约束条件所确定的是如图的凸四边形ABCO通过解方程组，可以算出四边形ABCO的四个顶点的坐标为：A(8，0)，B(5，7)，C(0，9)，O(0，0)将其代入到目标函数S=8x+11y中，得到相应的函数值为：S(8，0)=64，S(5，7)=117，S(0，9)=99，S
4、(0，0)=0显然，其中B点的函数值最大，即 Smax=S(5，7)=117 这就是说，这个工厂每天生产甲种产品5吨，乙种产品7吨，日产值将达到最大，最大值是11.7万元,首先考察出约束条件在平面坐标系所确定的多边形；第二步，求出这个多边形的所有顶点的坐标；然后把这些顶点坐标代入到目标函数，比较所得的函数值，其中函数值最大的就是最大值，函数值最小的就是最小值,7.1.3 线性规划的基本术语,1、可行点与可行域 满足约束条件式的解 2、基本点 令标准式中任意n-m个变量=0，若剩余的m个变量构成的m个线性方程组有唯一解（等价于相应的线性方程组的列向量线性无关）。由此得到的n个变量的解为基本点。基
5、本点的个数 3、基本可行点 满足非负条件的基本点。 4、最优点 使目标函数达到最小值的可行点。 5、基、基向量、基变量与非基变量 A中选m列线性无关向量构成的非奇异子矩阵，称为线性规划的基。与基向量对应的变量称基变量。 线性规划的性质： （1）其可行点的集合构成一个凸集，为凸多面体，其顶点与基本可行点相当。 （2）如最优点存在，则必然在凸集的某个顶点上达到。,示例 m=3 n=10 取x1,3,5以外的为0,基变量 基本点,基,非基变量,无穷多最优点 无界 无可行点 线性规划的三种特殊情形,在实际线性规划问题中，变量的个数和约束方程的个数都很大，计算所有基本可行解难以实现，也不能确定何时有一个
6、无界解。所以，没有必要找出所有的基本可行解以求得最优解，而是采用一定的方法如单纯形法解决。,7.1.4 基本性质及基本运算,7-2 单纯形法,是一种迭代方法。 一、单纯形法的基本思想 有选择地取基本可行点，即是从可行域的一个极点出发，沿着可行域的边界移到另一个相邻的极点，要求新极点的目标函数值不比原目标函数值差。 选择进基变量和离基变量的原则是：使目标函数值得到最快的下降，同时保证所有的基本变量满足非负条件。,所有非基变量中只有一个变量的值从0开始增加，而其它非基变量的值都保持0不变。,单纯形法的基本过程,并将目标函数和基变量分别用非基变量表示；,二、单纯形法的算法及其迭代过程（1）寻找一个初
7、始的可行基和相应基本可行解（极点），确定基变量、非基变量以及基变量、非基变量（全部等于0）和目标函数的值，并将目标函数和基变量分别用非基变量表示；,（2）在用非基变量表示的目标函数表达式（2-12）中，我们称非基变量xj的系数（或其负值）为检验数记为 j 。若 j 0，那么相应的非基变量xj，它的值从当前值0开始增加时，目标函数值随之增加。这个选定的非基变量xj称为“进基变量”，转（3）。如果任何一个非基变量的值增加都不能使目标函数值增加，即所有 j 非正，则当前的基本可行解就是最优解，计算结束；,（3）在用非基变量表示的基变量的表达式（2-11）中，观察进基变量增加时各基变量变化情况，确定基
8、变量的值在进基变量增加过程中首先减少到0的变量xr ，满足， =minbi /aij aij 0 = br /arj 这个基变量xr称为“出基变量”。当进基变量的值增加到 时，出基变量xr的值降为0时，可行解就移动到了相邻的基本可行解（极点），转（4）。,如果进基变量的值增加时，所有基变量的值都不减少，即所有aij 非正，则表示可行域是不封闭的，且目标函数值随进基变量的增加可以无限增加，此时，不存在有限最优解，计算结束；（4）将进基变量作为新的基变量，出基变量作为新的非基变量，确定新的基、新的基本可行解和新的目标函数值。在新的基变量、非基变量的基础上重复（1）。,简述采用单纯形法处理线性规划问
9、题的步骤,答：1）建立数学模型；2）将数学模型的一般形式转化为标准形式；3）设定初始基、基变量、非基变量；4）将基转换为单位阵；5）将目标函数用非基变量表示，如果所有非基变量的系数均大于零，则最优点由基变量和非基变量组成，非基变量为零，基变量由等式约束确定；6）确定进基变量和离基变量，得到新的基、基变量；7）转至4。,以上算法理论性太强,以下为实用的计算步骤,1初始基本可行解的确定 写成标准矩阵形式。寻找单位矩阵，其 m 个列向量对应基变量，其余为非基变量，令非基变量为零，得到初始基本可行点。,2用非基变量表示基变量（矩阵形式)3整理目标函数（表示为非基变量的函数），取负系数最小的非基变量 x
10、 k 为进基变量。 （转轴：将过当前顶点的所有边界中下降最快的边界作为下次寻优的坐标轴 ） 4如系数全为正，则该基本可行点是最优点，返回。 （过当前顶点的所有边界均不下降）,5取最小的对应的变量为出基变量 x l，如所有分母都小于零，则无最优点(返回) （无限制下降） 。否则令非基变量为零，得到基本可行点。 6新的基、基变量等转2,7-2 算法改进,很多书上一些符号意义不清楚。 给出了基本步骤，并用例题进行了说明,总结,一、掌握线性规划问题的标准形式及其转化方法； 二、了解单纯形法的实用算法及步骤； 三、了解单纯形法的工程应用。,以后为补充选讲内容,以后为补充选讲内容: 三、单纯形表,第一步：
11、作单纯形表. (1)把原线性规划问题化为标准形式； (2)找出初始可行基，通常取约束方程组系数矩阵中的单位矩阵； (3)目标函数非基化； (4)作初始单纯形表. 第二步：最优解的判定. (1)若所有检验数都是非正数，则此时线性规划问题已取得最优解. (2)若存在某个检验数是正数，而所对应的列向量无正分量，则线性规划问题无最优解. (3)如果以上两条都不满足，则进行下一步.,第三步：换基迭代. (1)找到最大正检验数，并确定其所在列的非基变量为进基变量. (2)对最大正检验数所在列实施最小比值法，确定出主元，并把主元加上小括号.主元是最大正检验数所在列，用常数项与进基变量所对应的列向量中正分量的
12、比值最小者； (3)换基：用进基变量替换出基变量，从而得到新的基变量.也就是主元所在列的非基变量进基，所在行的基变量出基； (4)利用矩阵的行初等变换，将主元变为1，其所在列其他元素都变为零，从此得到新的单纯形表； (5)回到第二步，继续判定最优解是否存在，然后进行新一轮换基迭代，直到问题得到解决为止.,6-4 初始基本可行解,人工基底法：为找到初始基本可行解而将虚拟变量（人工变量）加入约束方程组中。人工变量和松弛变量、剩余变量不同，没有具体的物理意义，所以必须将它们从基变量中逐步换掉。若经过基的变随机存取存储器，基变量中不再包含人工变量，表明原问题有解，否则原问题无可行解。,一、惩罚法（大系
13、数法） 增加m个大系数的人工变量，初始可行解为： 二、两阶段法 第一阶段：引入人工变量，寻求有人工变量的最优解；第二阶段，采用从第一阶段中所找到的基本可行解，寻找原问题的最优解。,6-5 改进单纯形法,在单纯形法的基础上减少了很多与换基过程无关的数值计算。（矩阵操作）,建立线性规划模型的过程可以分为四个步骤：(1)设立决策变量；(2)明确约束条件并用决策变量的线性等式或不等式表示；(3)用决策变量的线性函数表示目标，并确定是求极大（Max）还是极小（Min）；(4)根据决策变量的物理性质研究变量是否有非负性。,线性规划应用,例2.12：某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司机和乘务人员数如下
14、：,人力资源分配的问题,设司机和乘务人员分别在各时间段一开始时 上班，并连续工作8h，问该公交线路怎样安 排司机和乘务人员，既能满足工作需要，又 配备最少司机和乘务人员?,解：设 xi 表示第i班次时开始上班的司机和乘务人员数,这样我们建立如下的数学模型。 目标函数：Min x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 约束条件：s.t. x1 + x6 60x1 + x2 70x2 + x3 60x3 + x4 50x4 + x5 20x5 + x6 30x1,x2,x3,x4,x5,x6 0,人力资源分配的问题,例2.13:某工厂要做100套钢架，每套用长为2.9 m, 2.1m
15、, 1.5m的圆钢各一根。已知原料每根长7.4 m，问：应如何下料，可使所用原料最省？,套裁下料问题,解:考虑下列各种下料方案（按一种逻辑顺序给出）,把各种下料方案按剩余料头从小到大顺序列出,假设 x1,x2,x3,x4,x5 分别为上面前 5 种方案下料的原材料根数。我们建立如下的数学模型。 目标函数： Min x1 + x2 + x3 + x4 + x5 约束条件： s.t. x1 + 2x2 + x4 100 2x3 + 2x4 + x5 1003x1 + x2 + 2x3+ 3x5 100x1,x2,x3,x4,x5 0,套裁下料问题,例2.14:明兴公司生产甲、乙、丙三种产品，都需要
16、经过铸造、机加工和装配 三个车间。甲、乙两种产品的铸件可以外包协作，亦可以自行生产，但产品丙必须本厂铸造才能保证质量。数据如下表。问：公司为了获得最大利润，甲、乙、丙三种产品各生产多少件？甲、乙两种产品的铸造中，由本公司铸造和由外包协作各应多少件？,生产计划的问题,解：设 x1 ,x2 ,x3 分别为三道工序都由本公司加工的甲、乙、丙三种产品的件数，x4, x5 分别为由外协铸造再由本公司机加工和装配的甲、乙两种产品的件数。,生产计划的问题,求 xi 的利润:利润 = 售价 - 各成本之和可得到 xi（i=1,2,3,4,5）的利润分别为15、10、7、13、9元。这样我们建立如下数学模型：目
17、标函数: Max 15x1+10x2+7x3+13x4+9x5 约束条件：s.t. 5x1+10x2+7x3 80006x1+4x2+8x3+6x4+4x5 120003x1+2x2+2x3+3x4+2x5 10000x1,x2,x3,x4,x5 0,生产计划的问题,例2.15:永久机械厂生产、三种产品，均要经过 A、B 两道工序加工。假设有两种规格的设备A1、A2能完成 A 工序；有三种规格的设备B1、 B2 、B3能完成 B 工序。可在 A、B的任何规格的设备上加工； 可在任意规格的A设备上加工，但对B工序,只能在B1设备上加工； 只能在A2与B2设备上加工；数据如下表。问：为使该厂获得最
18、大利润，应如何制定产品加工方案？,生产计划的问题,解：设 xijk 表示第 i 种产品，在第 j 种工序上的第 k 种设备上加工的数量. 利润 = （销售单价 - 原料单价） 产品件数之和 - （每台时的设备费用设备实际使用的总台时数）之和。,生产计划的问题,这样我们建立如下的数学模型: Max 0.75x111+0.7753x112+1.15x211+1.3611x212+1.9148x312-0.375x121-0.5x221-0.4475x122-1.2304x322-0.35x123 s.t 5x111+10x2116000 （ 设备 A1 ）7x112+9x212+12x312100
19、00（ 设备 A2 ）6x121+ 8x221 4000 ( 设备 B1 ）4x122+11x322700 ( 设备 B2 ）7x123 4000 （ 设备 B3 ）,生产计划的问题,x111+ x112- x121- x122- x123 = 0 (产品在A、B工序加工的数量相等） x211+ x212- x221 = 0 (产品在A、B工序加工的数量相等） x312 - x322 = 0 (产品在A、B工序加工的数量相等） xijk0, i=1,2,3; j=1,2; k=1,2,3,生产计划的问题,例2.14:某工厂要用三种原料1、2、3混合调配出三种不同规格的产品甲、乙、丙，数据如下表
20、。问：该厂应如何安排生产，使利润收入为最大？,配料问题,配料问题,解：设 xij 表示第 i 种（甲、乙、丙） 产品中原料 j 的含量。这样我们建立数学 模型时，要考虑：,对于甲： x11，x12，x13；对于乙： x21，x22，x23；对于丙： x31，x32，x33；对于原料1： x11，x21，x31；对于原料2： x12，x22，x32； 对于原料3： x13，x23，x33；,目标函数： 利润最大，利润 = 收入 - 原料支出 约束条件：规格要求 4 个； 供应量限制 3 个。,Max z = -15x11+25x12+15x13-30x21+10x22-40x31-10x33,配
21、料问题,s.t. 0.5 x11-0.5 x12 -0.5 x13 0 （原材料1不少于50%）-0.25x11+0.75x12 -0.25x13 0 （原材料2不超过25%）0.75x21-0.25x22 -0.25x23 0 （原材料1不少于25%）-0.5 x21+0.5 x22 -0.5 x23 0 （原材料2不超过50%）x11+x21+x31 100 (供应量限制）x12+x22+x32 100 (供应量限制）x13+x23+x33 60 (供应量限制）xij0 ,i = 1,2,3; j = 1,2,3,配料问题,例2.17：某部门现有资金200万元，今后五年内考虑给以下的项目投
22、资。已知：项目A ：从第一年到第五年每年年初都可投资，当年末能收回本利110%；项目B：从第一年到第四年每年年初都可投资，次年末能收回本利125%，但规定每年最大投资额不能超过30万元；项目C：需在第三年年初投资，第五年末能收回本利140%，但规定最大投资额不能超过80万元；项目D：需在第二年年初投资，第五年末能收回本利155%，但规定最大投资额不能超过100万元。,投资问题,据测定每万元每次投资的风险指数如下表：,投资问题,a）应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥有资金的本利金额为最大？ b）应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥有资金的本利在330万元的基础上使得其投
23、资总的风险系数为最小？,问：,投资问题,投资问题,解：1）确定决策变量：连续投资问题设 xij ( i = 15，j = 1、2、3、4)表示第 i 年初投资于A(j=1)、B(j=2)、C(j=3)、D(j=4)项目的金额。这样我们建立如下决策变量：A x11 x21 x31 x41 x51 B x12 x22 x32 x42C x33 D x24,2）约束条件：第一年：A当年末可收回投资，故第一年年初应把全部资金投出去，于是：x11+ x12 = 200第二年：B次年末才可收回投资故第二年年初的资金为1.1x11，于是： x21 + x22+ x24 = 1.1x11第三年：年初的资金为1
24、.1x21+1.25x12，于是 ： x31 + x32+ x33 = 1.1x21+ 1.25x12第四年：年初的资金为1.1x31+1.25x22，于是： x41 + x42 = 1.1x31+ 1.25x22第五年：年初的资金为1.1x41+1.25x32，于是： x51 = 1.1x41+ 1.25x32B、C、D的投资限制： xi2 30 ( i=1，2，3，4 )，x33 80，x24 100,投资问题,a) Max z=1.1x51+1.25x42+1.4x33+1.55x24s.t.x11+ x12 = 200x21 + x22+ x24 = 1.1x11x31 + x32+
25、x33 = 1.1x21+ 1.25x12x41 + x42 = 1.1x31+ 1.25x22x51 = 1.1x41+ 1.25x32xi2 30 ( i =1、2、3、4 )， x33 80，x24 100 xij0(i=1,2,3,4,5；j=1,2,3,4）,3）目标函数及模型：,投资问题,b) Min f = （x11+x21+x31+x41+x51)+ 3(x12+x22+x32+x42)+4x33+5.5x24 s.t. x11+ x12 200x21 + x22+ x24 1.1x11x31 + x32+ x33 1.1x21+ 1.25x12x41 + x42 1.1x31+ 1.25x22 x51 1.1x41+ 1.25x32xi2 30 ( i =1、2、3、4 )，x33 80，x24 100 1.1x51 + 1.25x42+ 1.4x33+ 1.55x24 330 xij0(i=1,2,3,4,5；j = 1,2,3,4）,投资问题,
