1、8. 表 1.15 是一个求极大值线性规划的单纯形表，其中 x4，x 5，x 6 是松弛变量。表 1.15cj 2 2CB XB b x1 x2 x3 x4 x5 x602x5x2x12141-12a21-1-1-2-a+8 j -1（1）把表中缺少的项目填上适当的数或式子。（2）要使上表成为最优表，a 应满足什么条件？（3）何时有无穷多最优解？（4）何时无最优解？（5）何时应以 x3 替换 x1？8. 答案（1）把表中缺少的项目填上适当的数或式子。cj 1 2 2 0 0 0CB XB b x1 x2 x3 x4 x5 x6021x5x2x12140010101-12a21-1100-1-2
2、-a+8 j 0 0 4-2a -1 0 a-4（2）要使上表成为最优表，a 应满足 2a4 （3）当 a=2 或 a=4 时有无穷多最优解（4）当 a8 时无最优解（5）当 1a2 时应以 x3 替换 x19. 已知某线性规划的初始单纯形表和最终单纯形表如表 1.16，请把表中空白处的数字填上，并指出最优基 B 及 B1 。表 1.16C 2 -1 1 0 0 0CB XB b x1 x2 x3 x4 x5 x600x4x5311-1121001000 x6 1 1 -1 0 0 1 j 2 -1 1 0 0 002-1x4x1x210155-11/2-1/2-21/21/2 j9答案 第一
3、表的右端常数向量为 ，第二表前四列构成矩阵20160 23/- 10 最优基 ， 1 - B1/2 - 0 1B10. 已知某线性规划问题，用单纯形法计算时得到的中间某两步的计算见表 1.17，试将空白处填上数字。表 1.17C 3 5 4 0 0 0CB XB b x1 x2 x3 x4 x5 x6x2x5x68/314/320/32/34/35/31000541/32/32/3010001 j 1/3 0 4 5/3 0 0x2x3x115/416/412/418/415/4112/4110/414/4115/41 j10答案 41/50/83/21/4/51/24/6/0/8/152bB
4、所以表中的数字填写如下表。C 3 5 4 0 0 0CB XB b x1 x2 x3 x4 x5 x6500x2x5x68/314/320/32/34/35/31000541/32/32/3010001 j 1/3 0 4 5/3 0 0543x2x3x180/4150/4144/4100110001015/416/412/418/415/4112/4110/414/4115/41 j 0 0 0 45/41 24/41 11/411某个线性规划的最终表是表 1.18。表 1.18cj 0 1 -2 0 0CB XB b x1 x2 x3 x4 x501-2x1x2x313/25/21/210
5、0010001-1/2-1/2-1/25/23/21/2 j 0 0 0 -1/2 -1/2初始基变量是 x1，x 4，x 5。（1）求最优基 B=（P 1， P2，P 3） ；（2）求初始表。11答案 初始基变量是 x1，x 4，x 5。（1）最优基 ，- 03 B（2）初始表为：C 0 1 -2 0 0CB XB b x1 x2 x3 x4 x5000x1x4x5212100-2111-3-1010001 j 0 1 -2 0 03. 写出下列线性规划的对偶问题：无 约 束321321321,0,4 max)(xxxz无 约 束432132144,0,1 min(2)xxz无4321321
6、4321,0,1ma)3(xxxz无2312312,0,515467ma)4(xxz无432143214321,0,98576max)5( xxxz3答案（1） ； （2）无321321,0,14minyyyw0,012324max31131yyyyw无（3） （4）21minw3524i yy无 约 束23121,0,1yy 无 约 束32121,0,46457yy无1233123131,0,4957685min)(yyw一、 下面是某公司关于三个产品生产组合问题的线性规划，其中（2，5，8）为产品的价格， （96，40，60）为三个生产车间的能力，其目标函数、约束条件及最优单纯形表如下：m
7、ax Z=2x1+5x2+8x3 6x1+8x2+4x3962x1+ x2 +2x3405x1+3x2+2x360xi, I=1,2,3基变量 x1 x2 x3 x4 x5 x6 解fx2x3x61/6 -1/3 -1/12 2/3-1/3 -1/3（1）填完上表，指出原问题与对偶问题最优解。（2）评论每个车间的追加能力对公司的价值。（3）若设计部门又提出一个新产品，其预测价格为 7，生产单位产品消耗三个车间工时数据为（10，2，2） ，试问公司是否该考虑其投产，为什么？（答案）：（1）基变量 x1 x2 x3 x4 x5 x6 解f 19/3 0 0 1/6 11/3 0x2x3x61/3
8、1 0 1/6 -1/3 05/6 0 1 -1/12 2/3 07/3 0 0 -1/3 -1/3 18/356/344/3x*=(0,8/3,56/3,0,0,44/3), y*=(1/6,11/3,0)(2) 1/6,11/3,0(3) 40,不投产。二、 有一工厂，由三个车间生产四种产品，三个车间的生产能力分别为（4，3，3）（百小时） ，四种产品价格分别为（2，4，1，1/2 ） （千元） ，其产品组合的线性规划为max Z=2x1+4x2+x3+1/2x4 x1+3x2 +x442x1+x2 3x2+4x3+x43xi, i=1,2,3,4设 x5,x6,x7 依次为以上三个不等式
9、的松弛变量，以下是该问题的不完全表：基变量 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 解f x2x1x32/5 -1/5 0-1/5 3/5 0-1/10 -1/20 1/4(1)完成上表；(2)在保持最优基不变的情况下，产品 1 的价格可以增加多少？(3)从外厂调剂给而车间 2 百小时的生产能力，但每百小时需支付 0.4 千元，这种调剂可以接受吗？若可以接受，能净增加多少收入？（答案）：（1）基变量 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 解f 0 0 0 17/20 11/10 9/20 1/4x2x1x30 1 0 2/5 2/5 -1/5 01 0 0 -1/5 -1/5 3/5 0
10、0 0 1 3/20 -1/10 1/20 1/4(2) 5/4c 115/2；(3)可以接受，净增 0.1 千元。八、已知线性规划问题为min Z=8x1+6x2+3x3+6x4 （1）写出其对偶问题x1+2x2 +x43 （2）已知原问题的最优解为 x*=(1,1,2,0)试根据对偶3x1 +x2 + x3+x46 理论直接求出对偶问题的最优解。x3+x42x1 + x3 2xi0, i=1,2,3,4解：(1)对偶问题为 (2)根据互补松弛定理，由 x1 ，x 2 ， x30 有max W=3y1+6y2+2y3+2y4 y1+3y2 +y4=8 y1+3y2 +y48 2y1+y2 =
11、62y1+y2 6 y2 + y3 + y4=3y2 + y3 + y43 解得 Y=(2,2,1,0),此解也满足对偶约束条件 4，因此 y1 +y2 +y3 6 为对偶问题可行解其对应的目标函数为 yi0, i=1,2,3,4 w=32+62+2=20=Z *所以 Y=(2,2,1,0)为对偶问题的最优解。九、已知线性规划问题为max Z=2x1+4x2+x3+x4 （1）写出其对偶问题x1+3x2 + x48 （2）已知原问题的最优解为 x*=(2,2,4,0)试根据对偶2x1 +x2 6 理论直接求出对偶问题的最优解。x2 + x3 + x46x1 + x2 + x3 9xi0, i=
12、1,2,3,4解：(1)对偶问题为 (2)根据互补松弛定理，由 x1 ，x 2 ， x30 有min W=8y1+6y2+6y3+9y4 y1+ 2y2 +y4=2 y1+2y2 +y48 3y1+y2 + y3 + y4=43y1+y2 +y3 + y46 y3 + y4=1y3 + y43 因为 x1 + x2 + x3 =8 9，所以 y4=0y1 + y3 6 解得 Y=(4/5,3/5,1,0),此解也满足对偶约束条件 4， yi0, i=1,2,3,4 因此为对偶问题可行解其对应的目标函数为 w=84/5+63/5+6=16=Z *所以 Y=(4/5,3/5,1,0),为对偶问题的最优解。
