1、190 题突破高中数学圆锥曲线答案及解析( 一)1.解：（1）易知 )0,1(,32Fb又 4122cbac42yxC的 方 程 为椭 圆（2） )0,(),1(2akF 先探索，当 m=0 时，直线 Lox 轴，则 ABED 为矩形，由对称性知，AE 与 BD 相交于 FK 中点 N ,且 ,。猜想：当 m 变化时，AE 与 BD 相交于定点 )0,21(aN证明：设 ),(),(),(),( 12221 yaDEyxBA， 当 m 变化时首先 AE 过定点 N22222122121221212 ()0.804()(1),()0()ANENANExmbbababayyKKaymyyyab即
2、分又而 这 是 222()()0ambK AN=KEN A、N、E 三点共线 同理可得 B、N、D 三点共线AE 与 BD 相交于定点 ),21(a(文)解：（1）易知 )0,(,3Fb又 4122cbac142yxC的 方 程 为椭 圆（2）(文) )0,(),1(2akF 设 212(,)(,)(,)AxyBEay222 04(1)0()xmybmbbbaa即21221212,()0ANENANEyyKKaamyy又而 21212222()()()0aymybaba这 是K AN=KEN A、N、E 三点共线 ANE2.解：（1） .0,2MPA NP 为 AM 的垂直平分线， |NA|=
3、|NM|又 |C .2|C动点 N 的轨迹是以点 C（1，0） ，A（1，0）为焦点的椭圆且椭圆长轴长为 .2,2ca焦 距 .1,2bca曲线 E 的方程为 .yx（2）当直线 GH 斜率存在时，设直线 GH 方程为 ,12,2yxkxy代 入 椭 圆 方 程得 .034)1(2kx由 .32得设 2122121 ,4),(, kxkyHxG则又 ,FH),(),(21xy,21 21221,)(x12x,3)(422kk整理得 22)1()(36k,32k.31642k3.31.36214解 得又 ,10 .13又当直线 GH 斜率不存在，方程为 .,FHGx,13即所求 的取值范围是 )
4、133. 解：设 Q（ x0，0） ，由 F（-c，0） （0，b）知 ),(),(0bxAQbccbcAF2020,设 PAyxP58),(1由 ，得21185,3yc因为点 P 在椭圆上，所以)35()18(22ba整理得 2b2=3ac，即 2(a2c 2)=3ac， 0e,故椭圆的离心率 e= 21由知 acb 21332， 得又；， 得 ，于是 F（ a，0） ， Q )0,23(AQF 的外接圆圆心为（ 21a，0） ，半径 r= 21|FQ|=a 所以 |5|，解得 a=2，c=1，b= ，所求椭圆方程为 34yx4.（1）椭圆的方程为 12（2）解: 过圆 上的一点 M（2,
5、）处的切线方程为 2x+ y6=0.2xyt22令 ， , 则 1()Q， 2()， 06byx化为 5x224x+362b 2=0, 由0 得： 5135418)(62,53,54 2211122121 bxxxx 由 知， ,O901by即 b=3（ ,+） ，故 b=305.解：（1）根据椭圆的定义，可知动点 M的轨迹为椭圆，其中 2a， 3c，则 21bac所以动点 M 的轨迹方程为214xy（2）当直线 l的斜率不存在时，不满足题意当直线 的斜率存在时，设直线 l的方程为 2ykx，设 1(,)Cxy， 2(,)Dxy， 0OCD， 120xy 1， 2k，4 21112()4ykx
6、x 2112()()40kxx 由方程组 ,4.ykx得 260则 1226k， 1224xk，代入，得 22214k即 24k，解得， k或 所以，直线 l的方程是 2yx或 2yx6. 解：（）设 F、B 、C 的坐标分别为（c，0） ， （0，b） ， （1 ，0） ，则 FC、BC 的中垂线分别为， 联立方程组，解出12cx1()2byx2,.cxyb，即 ，即（1b） （b c ）0 ， bc 20cmnb20bc从而 即有 ， 又 ， 22aeee2（）直线 AB 与P 不能相切由 ， ABkb210PBbc2(1)如果直线 AB 与P 相切，则 12()c解出 c0 或 2，与
7、0c 1 矛盾，所以直线 AB 与P 不能相切 7.【解】 （1）设 M 14,),(,34 12 yxMAyxBARt 的 方 程 为则点 M 在 MA 上 同理可得 1yx32t由知 AB 的方程为 )1(,3tyxt即易知右焦点 F（ ）满足式，故 AB 恒过椭圆 C 的右焦点 F（ ）0, 0,（2 ）把 AB 的方程 167,4)1(2 yyx化 简 得代 入 又 M 到 AB 的距离762831|AB 32|4|dABM 的面积 13|dABS8. 【解】 （）点 A 代入圆 C 方程，得 m3， m1 2(3)15圆 C： 设直线 PF1 的斜率为xy k，则 PF1： ，(4)
8、k 即 QPOyxF1AC F2540kxy直线 PF1 与圆 C 相切， 2|04|51k解得 ,2k或当 k 时，直线 PF1 与 x 轴的交点横坐标为 ，不合题意，舍去1 361当 k 时，直线 PF1 与 x 轴的交点横坐标为4，c4F 1（4，0） ，F 2（4，0） 22aAF 1AF 2 ， ，a 218，b 22椭圆 E 的方程为： 5623 218xy（） ，设 Q（x ，y） ， ， (,3)AP (,1)Axy(3)()36APQx ，即 ，而 ，186xy18218xy2(3)1823|y则 的取值范围是0 ，36 的取值范围是6，6 2(3)6yxy 3x 的取值范围
9、是12，0APQx9.【解】 （1）依题意，设椭圆方程为 ，则其右焦点坐标为)0(12bayax，由 ，得 ，2,)0(bacF|FB22(c即 ，解得 。24c又 ， ，即椭圆方程为 。 b122ba 142yx（2）由 知点 在线段 的垂直平分线上，|ANMMN由 消去 得 即 （*）142yxky12)(32kx 012)3(2kx由 ，得方程（*）的 ，即方程（*）有两个不相等的实数根。0k 04)(22设 、 ，线段 的中点 ，),(1yxM),(2yxNMN),(yxP则 ， ，2213k221036kx，即 220)(6kxy )312,6(kP6，直线 的斜率为 ，0kAPkk
10、6)31(2316222由 ，得 ，MN6)(22k ，解得： ，即 ，62k33tan又 ，故 ，或 ， 存在直线 满足题意，其倾斜角 ，或 。065l 6510.【解】 （1）设 ，依题意得 即 2bac3622abceb229bab ，即椭圆方程为 。32a 142yx（2） ，且点 线段 的中点，0,MNAPAPMNN由 消去 得 即 （*）142yxk12)(32kx 012)3(2kx由 ，得方程（*）的 ，显然方程（*）有两个不相等的实数根。0k 04)(22设 、 ，线段 的中点 ，),(1yxM),(2yxNMN),(yxP则 ，2213k221036kx ，即 220)(6
11、kxy )312,6(kP，直线 的斜率为 ，kAPk6)(31622由 ，得 ， ，解得： ，MN6)(22k2k3k11.【解】 （1）当 时， ， ，3e1a32c7F(-c,0)A(-1,0) C(1,0)B(0,b)yxo ， ，点 , ，22314bacb21(0)B3(,0)2F(1,)C设 的方程为 PA2()()xmynr由 过点 F,B,C 得 -221()nr-223m-22(1)nr由联立解得 ， ，341234n25r所求的 的方程为PA22()()4xy（2） 过点 F,B,C 三点，圆心 P 既在 FC 的垂直平分线上，也在 BC 的垂直平分线上，FC 的垂直平分
12、线方程为 - BC 的中点为 ，12cx1(,)2bBCkBC 的垂直平分线方程为 -()2byx由得 ，即1,2cx21,cbmnP 在直线 上，(,)mn0y20(1)0c 由 得10bc21bc2椭圆的方程为 2xy12.【解】 （）证明：设直线 与曲线 的交点为lC),(),(21yxBA 即：|OBA221yxyx2 在 上221yxB, ，2ba12ba8两式相减得： 即： )(21221ybax12ba2ba曲线 是一个圆C（）设直线 与曲线 的交点为 ，l ),(),(21xBA0曲线 是焦点在 轴上的椭圆 xO 即： 121yx2121y将 代入 整理得：02baxb)( 2
13、2 ab ， 221bx221)(bax在 上 BA,l 1)1(21211 xxy又 221xy02x2 2)(ba 01)(2ba22ba 2cc 024c 1)(22a 112)(22 aae 0,64,12a43,223,e13.【 解】 （1 ）由题设知 )0,(,)0(221FF由于 ，则有 ，所以点 A 的坐标为 ，02A21A),2(a故 所在直线方程为 ，1 )(2axy所以坐标原点 O 到直线 的距离为 ，1AF)2(12又 ，所以 ，解得 ，2|1aF322aa )2(a9所求椭圆的方程为 124yx（2 ）由题意知直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 ，则有 ，)
14、1(xky),0(kM设 ，由于 ， ，解得 ),(1yxQQPM,2),(1yx 3,211kyx又 Q 在椭圆 C 上，得 ，解得 ， 故直线 l 的方程为 或 ，2)34(k4k )(4)1(4x即 或 04yx0yx14. 【解】 （I）由题意可设抛物线的方程为 ,)0(2pyx过点 的切线方程为 ,)(,0p0xa00|2,xyaxp抛物线的方程为1.2a).(2y（II）直线 PA 的方程为 ,010xk010,().yxk2 1100,.AAkayxxa同理,可得 . 2B 1212100,.Bkk又 (,),MA线段 PM 的中点在 y 轴上.0).ABBMxxx（III）由
15、1,(,1.Pa可 知 221111(,(),(,).kkPAB 为钝角，且 P, A, B 不共线,212,4).k即0.A).k211(5).,0k或又点 A 的纵坐标 当 时， ；21(),Ayk21k1Ay当 10,.24时kPAB 为钝角时点 A 的坐标的取值范围为 (,)(,).415.【 解】 （1 ）设 ),0(,yxPbBa分为轨 迹 方 程点 即 由 题 意 知则 分即 41)(4)1(: )()(2| ,0,1)()( 2, 22222 tytxCPttbaABtytytxtPBtA（2）t=2 时， 69422C为1212 121212111194 8|3|3|7|3|
16、 , .,yxxS xyyxhMNQxMNQMN 分分距 离 为到点 的 方 程 为设 直 线 则则设10分的 最 大 值 为 等 号 成 立时即当 且 仅 当 分而又 122,439492164491912 1122 2121 QMNQMNSyxyxyxxySx16.解：（）23., 2,c3cabbea椭圆的方程为 142xy（）由题意，设 AB 的方程为 kxy2212123(4)3104 4,. 5 ykxxxkk分分由已知 0nm得： 1212122(3)()4() 6 4xyxkxbak分222133()0,244kkk解 得() （1）当直线 AB 斜率不存在时，即 122,xy
17、,由 0nm得2211044yxx又 1(,)Axy在椭圆上，所以 ,41112yx121sxy所以三角形的面积为定值（2 ） .当直线 AB 斜率存在时：设 AB 的方程为 y=kx+b 42042)4(14 1222 kbxbkxkxybk 得 到11421kbx :04)(0212112 代 入 整 理 得bkxxy 24bk22112 |416|()b kSABbk 1|4b所以三角形的面积为定值 . 17.【 解】 (1)F(-c，0) ，B(0, )，k BF= ，k BC=- ，C(3c ，0) 且圆 M 的方程为(x-c) 2+y2=4c2，圆 M 与直a33线 l1：x+ u
18、+3=0 相切，3 ，解得 c=1，所求的椭圆方程为cc20 1342yx(2) 点 A 的坐标为(-2，0)，圆 M 的方程为(x-1) 2+y2=4，过点 A 斜率不存在的直线与圆不相交，设直线 l2 的方程为 y=k(x+2)， ，又 ，cos=2QMPQP 21MQPPMQ=120 ，圆心 M 到直线 l2 的距离 d= ，所以 ，k=1r12k4所求直线的方程为 x2 +2=0y18.【 解】 （1 ）如图建系，设椭圆方程为 ,则2(0)xyabc又 即 FBA2()1acc 故椭圆方程为2a2xy（2）假设存在直线 交椭圆于 两点，且 恰为 的垂心，则设 ，lQP,FPQM12(,
19、)(,)PxyQ，故 ，(0,1),MF1k于是设直线 为 ，由 得lyxm2yx22340x 12210()()MPFQxy12又 得 即(1,2)iiyxm1221()()0xxm由韦达定理得12 024()3解得 或 （舍） 经检验 符合条件m143m19. 【解】 2 222(1),4,16(4,) 50.05xyeababMxy设 椭 圆 方 程 为 因 为 所 以又 椭 圆 过 点 所 以 解 得故 椭 圆 方 程 为 22222() 1840.8(4),5.ymxm将 代 入 并 整 理 得 得12121212212121213, 084(,)(),. ()()4()458()A
20、Bkkxyxxyykxmxm设 直 线 斜 率 分 别 为 和 只 要 证设 则分 子 00, . MABx因 此 与 轴 所 围 的 三 角 形 为 等 腰 三 角 形20.【 解】 （1）设 ，则由 得 为 中点，所以(,)Ny2MPN)2,0(,(yPxM又 得 ， ，PF0)2,1(),(yFyx所以 （ ）xy42（2 ）由（1 ）知 为曲线 的焦点，由抛物线定义知，抛物线上任一点 到 的距离等于其到)0,1(C),(0yxPF准线的距离，即 ，所以 ，2|0pxFP 2|2|,2| 31 pDpBFpxA根据 成等差数列，得 ， |,|DBA313直线 的斜率为 ，AD312313
21、 44yyx所以 中垂线方程为 ，)(31x又 中点 在直线上，代入上式得 ，即 ，AD)2,(3131yx132x12x所以点 . )2,B21.【 解】 （1 ）设 （5 分）.4,1)(|),( 22xyxyxCBPyxP 化 简 得得代 入（6 分）.,14),()2的 坐 标 为点得代 入将 AmmA,04,422tmytDE得代 入的 方 程 为设 直 线（9 分）（，则设 *), 21121 ttyx 4)(1()()( 21122 yyx5441212121yy )()(6)( 2122 y（11 分）mtmttmt 845605)4(41 22 化 简 得 )1(3(3892
22、22 t）即 （即（13 分）*,15 ） 式 检 验 均 满 足代 入 （或 tt 1)(yxyxDE或的 方 程 为直 线） (15 分)） 不 满 足 题 意，定 点 （过 定 点直 线 .2,22.【 解】 （1）设椭圆方程为 2(0,),mn将 、 、 代入椭圆 E 的方程，得(,0)A(,)B3(1,)C解得 . 椭圆 的方程 491mn,4n2143xy（2 ） ，设 边上的高为|FHDA12DFHShA当点 在椭圆的上顶点时， 最大为 ，所以 的最大值为 h3DFHA3设 的内切圆的半径为 ，因为 的周长为定值 6所以 ，R162RSDFHA所以 的最大值为 所以内切圆圆心的坐
23、标为R3(0,)314（3 ）法一：将直线 代入椭圆 的方程 并整理:(1)lykxE2143xy得 222(4)8430k设直线 与椭圆 的交点 ，lE12(,)(,)MxyN由根系数的关系，得 212124(3),3kxk直线 的方程为： ，它与直线 的交点坐标为A1()yx同理可求得直线 与直线 的交点坐标为 16(4,),2ypxBN4x2(4,)yQx下面证明 、 两点重合，即证明 、 两点的纵坐标相等：PQPQ，12(),(1)ykxykx22112166)()(kx2212121283)4085()(kkxxx因此结论成立综上可知直线 与直线 的交点住直线 上 （16 分） AM
24、BN4法二：直线 的方程为： 11()(2),2ykxxy即由直线 的方程为： ，即A2()2()x由直线 与直线 的方程消去 ，得MBNy1221212(3)3()44xxx2222228() 63344kkkxx15直线 与直线 的交点在直线 上AMBN4x23.解：（1）焦点 ，过抛物线的焦点且倾斜角为 的直线方程是0,1F42pxy由 2pxy432px,32pxxBABA BA4（ 或 )ABsin（2） 222222co BABABAyxyxBOA4132222 pxxpyxBABABAB 的大小是与 无关的定值，AOBpO413arcos24.解：（1）由于点 在椭圆上， 2 =
25、4, 3(,)222()ba椭圆 C 的方程为 焦点坐标分别为（-1，0） ， （1，0）214xy（2）设 的中点为 B（x, y）则点1KF(21,)Kxy把 K 的坐标代入椭圆 中得23x22(43线段 的中点 B 的轨迹方程为1 2()1yx（3）过原点的直线 L 与椭圆相交的两点 M，N 关于坐标原点对称 设 00(,)(,)(,)MxyNxypx，得P在 椭 圆 上 ， 应 满 足 椭 圆 方 程 22011xyxyabab，00MPNykKx= =PNK2000yx 2ba故： 的值与点 P 的位置无关，同时与直线 L 无关，MPk25.解：（）22231, ,3cbe aba直
26、线 220: byxyxl 与 圆 相16切， 2,2b 32a 椭圆 C1 的方程是 123yx （）MP=MF 2，动点 M 到定直线 :1xl的距离等于它到定点 F1（1 ，0）的距离，动点 M 的轨迹是 C 为 l1 准线，F 2 为焦点的抛物线 点 M 的轨迹 C2 的方程为 xy42（）Q（0 ，0） ，设 ),4(),(ySyR ),(),4( 1112RSyQ S 01612122 ,121y，化简得 )6(12yy 64325325612 y当且仅当 4,5121时等号成立 646)8()4(| 222 yyyQS ， 又当 |5|8,6min22 QSSy， 故时 ， 的取
27、值范围是 ),5826.解（1 ）设直线 与椭圆相交于 ， ，因为 ；/l ),(1ycP,(2ycmA0,(a故 ， ，由 得：),(11yacAP)2aA2)1cQP；222 ()() cc将 代入 得： ；cmyx12byax 0)4222 bmyba由题意得： 代入中，并化简得：2241mbayc 22)(bca因此， ， ；即椭圆的离心率的最小值为 ；0)(2ca1c 21（2）由 得： ；22bam 2224)(eca6)34(71)34()(6712ee；由于是 的单调增函数，2e因为 ，故 ，2,5,所以 的取值范围：m)3,6(),53(APQF1MN /llyO x17（3
28、 ） 的方程为 ；因为 ；AP)(1axcmycax2故 ，同理： ；)(21ayM )(22amyN所以 221212 )()()( ccaymcN （为定值）24b27.解（1 ）由题意 的中垂线方程分别为 ，BCF, 21,21xbycx于是圆心坐标为 = ，即 即 所bc2,1nmb0c0cb10以 ， 于是 即 ，所以 即 bca22e1e2（2）假设相切， 则 ，1PBAk， 22 2, 11()0PBAPBAbcbbck ka这与 矛盾. 22,0,cc即 0故直线 不能与圆 相切. AP28.解：（I）设点 、M、A 三点共线，PyyM),4(),(212,2121ykDA即
29、4,1421221 yy即.542121OPM(II)设POM=，则 .cos| OP由此可得 tan=1. 5in|,25SROM又 .4,4),0( 的 夹 角 为与故 向 量 M()设点 、B、Q 三点共线，y,32 ,QMBk183132213313,44(),40.1yyy 即 即 即 分即 , 32322yyy即 .(*)04)(3232yy,443232ykPQ )(232xyPQ的 方 程 是直 线即 .4)(,)( 3232232 xyyx即由（*）式， 代入上式，得4)(3y ).1(4)(32xy由此可知直线 PQ 过定点 E（1 ，4）. 29.解析：设 ，由 得 故,
30、pxy22214xy2224PMxm由于 且 故当 时， 的最小值22214m0m02PM为 此时 ，当 时， 取得最小值为 解得 不合2 42x241,3m题意舍去。综上所知当 是满足题意此时 M 的坐标为（1 ，0） 。1（2 ）由题意知条件 等价于 ，当 的斜率不存在时， 与 C 的交点为 ，OABOABll6,2此时 ，设 的方程为 ，代入椭圆方程整理得 ，由0l1ykx221440kxk于点 M 在椭圆内部故 恒成立，由 知 即 ，0120xy212x据韦达定理得 ， 代入上式得2124kx214kx得 不合题意。综上知这样的直线不存在。2221 0k230.解：依题意，直线 AB的斜率存在，设直线 AB的方程为 (1)ykx，将 (1)ykx代入 532y， 消去 y整理得 22(31)6350.kx 设 12() () AB， ， ， ， 则4212650 (). 31kx，19由线段 AB中点的横坐标是 12，得21231xk，解得 3k，适合 (1). 222 2114()3(61)533mkmkMAB m2164.3()mk注意到 是与 无关的常数，从而有 760， ， 此时 .9MAB 综上，在 x轴上存在定点 703M， ，使 BA为常数.
