1、专练 18 带电粒子在磁场中的运动(限时：45 分钟)1如图 1 所示，在某种装置中有一匀强磁场，磁感应强度为 B，方向垂直于 xOy 所在的平面向外某时刻在 A 点(xl 0，y 0) 处，一质子沿 y 轴的负方向进入磁场已知质子的质量为 m，电量为 e.图 1(1)如果质子经过坐标原点 O，它的速度为多大？(2)如果质子从 A 点进入磁场的同一时刻，一个 粒子(q 2e，m 4m)从 C 点(xl 0，y0)进入磁场，并且与质子在坐标原点 O 处相遇，求 粒子的速度大小和方向答案 (1) (2) 方向斜向上且与 x 轴正方向夹角为 或eBl02m 2Bel04m 4 34解析 (1)质子进
2、入磁场后做圆周运动， 圆心在 x 轴上的 Op点，其轨道半径 rp l0，12设质子的速度为 vp，由牛顿定律得：eBvpmv2prp解出 vp .eBl02m(2) 粒子从 C 点射入磁场，要想经过 O 点，速度方向必与磁场垂直，并在 xOy 平面内做圆周运动，C 点及 O 点都在这个圆 周上质子在磁场中作圆周运动的周期为 Tp2meB因 粒子的 q2e，m 4m， 粒子在磁场中作圆周运动的周期为 T 2T p4meB若 粒子从 C 点出发，如果第一次 经过 O 点时不与质子相遇，则二者永远不会在 O 点相遇，即二者只能在 粒子第一次经过 O 点时相遇，而质子却有两种可能，或者是第一次 经过
3、 O 点，或者是第二次经过 O 点即 粒子和质子相遇是在 t Tp或 t Tp时刻12 32当 粒子在 t1 时刻经过 O 点，其轨道半径由几何知识得 r l0Tp2 T4 22由 r4mv12eB得 v12Bel04m方向斜向上且与 x 轴正方向夹角为 14当 粒子在 t2 时刻经过 O 点，其轨道半径由几何知识可知仍然为 r l03Tp2 3T4 22故 v2v 12Bel04m方向斜向上且与 x 轴正方向夹角为 2 .342图 2 甲是中国自行设计、研制的最大的受控核聚变实验装置：其原理如图乙，带电粒子被强电流线圈产生的磁场约束在一个半经为 r 的“容器”中，通电线圈产生的圆形磁场可看作
4、匀强磁场，磁场圆半径为 R，Rr 且两圆同心，磁感应强度为 B，它们的截面如图丙所示 “容器”中有质量均为 m，带电量均为 q 的带电粒子，在“容器”内运动，有些粒子会运动到“容器”的边缘，观察到在“容器”的边缘各处，有向各个方向离开“容器”的粒子，且每个方向的粒子的速度都从 0 到 v 分布不久，所有粒子都能返回“容器” (本题只考虑运动方向与磁场垂直的粒子，不计粒子重力和粒子间相互作用和碰撞)图 2(1)要产生如图乙所示的磁场，逆着磁场方向看，线圈中的电流方向如何？不改变装置结构，要改变磁场，可采取什么方法？(2)为保证所有粒子从“容器”边缘处离开又能返回，求带电粒子的最大速度 v；(3)
5、如果“容器”中带电粒子是核聚变的原料 H、 H，它们具有相同的动能，但被该装置约1 21束后，它们的“容器”半径会不同现用该装置约束这两种粒子，设它们“容器”的最大的半径分别为 r1、r 2，试推导 r1、r 2 和 R 应满足的关系式答案 (1)逆时针方向；改变线圈中电流方向，就改变磁场方向，改变线圈中电流大小，就改变磁感应强度大小 (2) (3) r1r 2( 1)RBqR r2m 2 2解析 (1)由安培定则可知，电流为逆时针方向改 变线圈中的 电流方向，就可以改 变磁场方向；改变线圈中的电流大小，就可以改 变磁感应强度大小(2)从“容器”边缘切线方向离开，最大速率为 v 的粒子，在磁场
6、中做圆周运动的轨迹刚好与磁场圆内切，那么其他粒子都返回 “容器”中，设这个轨迹圆半径为 r，由几何关系，Rr2r粒子做圆周运动向心力由洛伦兹力提供 Bqvm v2r由得 Rr2r2mvqB所以 v .BqR r2m(3) H、 H 两粒子， 电量相同，动能相同，1 21所以 m1v1m 2v2 1 m1 m2 2由(2)得 Rr 1 2m1v1qBRr 2 2m2v2qB由得 r1r 2( 1)R.2 23在真空室内取坐标系 xOy，在 x 轴上方存在二个方向都垂直于纸面向外的磁场区域和(如图 3)，平行于 x 轴的直线 aa和 bb是区域的边界线，两个区域在 y 方向上的宽度都为 d，在 x
7、 方向上都足够长区和区内分别充满磁感应强度为 B 和 B 的匀强磁场，边23界 bb上装有足够长的平面感光板一质量为 m、电荷量为q 的带电粒子，从坐标原点O 以大小为 v 的速度沿 y 轴正方向射入区的磁场中不计粒子的重力作用图 3(1)粒子射入的速度 v 大小满足什么条件时可使粒子只在 区内运动而不会进入区？(2)粒子射入的速度 v 大小满足什么条件时可使粒子击中 bb上的感光板？并求感光板可能被粒子击中的范围？答案 (1)v (2) v 0x dqBdm 5qBd3m 73解析 (1)粒子在区内做匀速圆周运动，有 qvBmv2r1得粒子运动的轨道半径 r1mvqB粒子只在区内运动而不会进
8、入区， 则 r1d解得速度 v 满足的条件 v .qBdm(2)粒子在区内做匀速圆周运动，有 qv Bm23 v2r2得粒子运动的轨道半径 r2 r13mv2qB 32粒子恰好能运动到感光板的运动情况如图所示粒子在区中运动的圆心为 A1、在区中运动的圆心为 A2，在图中A 1CD 相似于CA 2E，因此 CDA1C A2ECA2即 ，解得 r1 d，vdr1 r2 dr2 53 5qBd3m因此，要使粒子击中感光板，粒子射入的速度应满足 v5qBd3m在A 1CD 中，可得 cos dr1 35粒子经过感光板上的 F 点的横坐标xFr 1(r 2r 1)sin 解得 xF d73因此，感光板可
9、能被粒子击中的横坐 标范围 0x d.734如图 4 所示，圆形区域中，圆心角为 30的扇面 MON 之外分布着垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为 B，一质量为 m、带电量为q 的粒子，自圆心 O 点垂直于 OM 以速度v 射入磁场，粒子能两次经过边界 OM，不计粒子重力图 4(1)求粒子从射入到第一次穿过边界 ON，在磁场中运动的时间；(2)求圆形区域的最小半径；(3)若圆形区域无限大，现保持其它条件不变而将MON 变为 10，粒子射出后穿越磁场边界的次数答案 (1) (2) (3)152m3qB 1 7mvqB解析 (1)粒子第一次穿过边界，偏转角 120时间 t T，其中 T ，得
10、t .120360 2mqB 2m3qB(2)粒子在磁场中运动轨迹如图qvBmv2R半径 RmvqB要保证粒子两次穿过 OM，磁场最小区域应与粒子圆周运动在E 点相切在O 1AB 中，O 1B2R在O 2BD 中，BDR2在ODO 2 中，ODOBBD R52O2D R32得 OO2 R7OE RR( 1)R7 7最小半径 rOE( 1)R .71 7mvqB(3)MON 变为 10，首次从 ON 边界向下穿出时与之夹角 为 80，首次向上穿出 OM 时与之夹角为 70，每次从边界向扇面区穿出，均比上次 夹角减小 10，直到向上穿出时，与 OM 夹角为 10，不再进入磁场，故穿越 边界的次数为
11、 15 次【必考模型 3】 带电粒子在磁场中的临界、极值问题1.模型特点：一群粒子在磁场中做圆周运动或一个粒子在磁场中做圆周运动，不论是一群粒子，还是一个粒子，研究的问题往往都是粒子的速度的大小、方向或磁感应强度变化时的极值问题或临界问题或边界问题.,2.表现形式：1 同源粒子发射问题 .此形式常有两类情况，一 类是粒子的速率相同，发射方向各异，另一类是速率不同，但发射方向唯一.2自某一边界射入磁场.这种形式也常有两类情况：一类是射入磁 场的位置不同，但速度的大小、方向唯一；另一类是位置相同，速度大小一定，但速度方向各异.,3.应对模式：不论哪种模型，都是研究一系列的圆周运 动问题， 这时要抓住不变量采用 动态圆的方法找到临界点或极值.
