1、第 3 讲 圆锥曲线中的热点问题考情解读 1.本部分主要以解答题形式考查，往往是试卷的压轴题之一，一般以椭圆或抛物线为背景，考查弦长、定点、定值、最值、范围问题或探索性问题，试题难度较大.2.求轨迹方程也是高考的热点与重点，若在客观题中出现通常用定义法，若在解答题中出现一般用直接法、代入法、参数法或待定系数法，往往出现在解答题的第(1)问中1直线与圆锥曲线的位置关系(1)直线与椭圆的位置关系的判定方法：将直线方程与椭圆方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程若 0，则直线与椭圆相交；若 0，则直线与椭圆相切；若 0 时，直线与双曲线相交；当 0 时，直线与双曲线相切；当 b0)x2a2
2、y2b2的一个顶点，C 1 的长轴是圆 C2：x 2y 24 的直径l 1，l 2 是过点 P且互相垂直的两条直线，其中 l1 交圆 C2 于 A，B 两点，l 2 交椭圆 C1于另一点 D.(1)求椭圆 C1 的方程；(2)求ABD 面积取最大值时直线 l1 的方程思维启迪 (1)P 点是椭圆上顶点，圆 C2 的直径等于椭圆长轴长；(2)设直线 l1 的斜率为 k，将ABD 的面积表示为关于 k 的函数解 (1)由题意得Error!所以椭圆 C1 的方程为 y 21.x24(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)由题意知直线 l1 的斜率存在，不妨设其为 k，则直线 l
3、1 的方程为 ykx1.又圆 C2：x2y 24，故点 O 到直线 l1 的距离d ，1k2 1所以|AB|2 2 .4 d24k2 3k2 1又 l2l 1，故直线 l2 的方程为 xkyk0.由Error!消去 y，整理得 (4k 2)x28kx0，故 x0 .8k4 k2所以|PD| .8k2 14 k2设ABD 的面积为 S，则 S |AB|PD| ，12 84k2 34 k2所以 S ，324k2 3 134k2 3322 4k2 3 134k2 3 161313当且仅当 k 时取等号102所以所求直线 l1 的方程为 y x1.102思维升华 求最值及参数范围的方法有两种：根据题目
4、给出的已知条件或图形特征列出一个关于参数的函数关系式，将其代入由题目列出的不等式 (即为消元)，然后求解不等式；由题目条件和结论建立目标函数， 进而转化为求函数的值域已知椭圆 C 的左，右焦点分别为 F1，F 2，椭圆的离心率为 ，且椭圆经过点12P(1， )32(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)线段 PQ 是椭圆过点 F2 的弦，且 ，求PF 1Q 内切圆面积最大时实数 的值PF2 F2Q 解 (1)e ，P(1， )满足 1，ca 12 32 1a2 322b2又 a2b 2c 2，a 24，b 23，椭圆标准方程为 1.x24 y23(2)显然直线 PQ 不与 x 轴重合，当直线 PQ
5、 与 x 轴垂直时，| PQ|3，|F 1F2|2，SPF 1Q3；当直线 PQ 不与 x 轴垂直时，设直线 PQ：yk(x1)，k 0 代入椭圆 C 的标准方程，整理，得(34k 2)y26ky9k 20，0，y1y 2 ，y1y2 . 6k3 4k2 9k23 4k2SPF 1Q |F1F2|y1y 2|12 ，12 k2 k43 4k22令 t34k 2，t3，k 2 ，t 34SPF 1Q3 ， 31t 132 4300.由根与系数的关系得，x 1x 2 ，8 2bkk2x1x2 ，b2k2x 轴是PBQ 的角平分线， ，y1x1 1 y2x2 1即 y1(x21) y 2(x11)0
6、，(kx1b)(x 21)( kx2b)( x11) 0，2kx1x2 (bk)(x 1x 2)2b0将代入得 2kb2( kb)(82bk)2k 2b0，kb，此时 0，直线 l 的方程为 yk(x1) ，即直 线 l 过定点(1,0)思维升华 (1)定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题 ，基本思想是使用参数表示要解决的问题，证明要解决的问题 与参数无关在 这类试题中选择 消元的方向是非常关键的(2)由直线方程确定定点，若得到了直线方程的点斜式：yy 0k( xx 0)，则直线必过定点(x0，y0)；若得到了直线方程的斜截式：ykxm ，则直线必过定点(0，m) 已知椭圆 C 的中点在原
7、点，焦点在 x 轴上，离心率等于 ，它的一个顶点恰好12是抛物线 x28 y 的焦点3(1)求椭圆 C 的方程；(2)已知点 P(2,3)，Q(2，3)在椭圆上，点 A、B 是椭圆上不同的两个动点，且满足APQBPQ，试问直线 AB 的斜率是否为定值，请说明理由解 (1)设椭圆 C 的方程为 1(ab0)，x2a2 y2b2则 b2 .由 ，a2c 2b 2，得 a4，3ca 12椭圆 C 的方程为 1.x216 y212(2)当APQBPQ 时，PA 、PB 的斜率之和为 0，设直线 PA 的斜率为 k，则 PB 的斜率为k ，PA 的直线方程为 y3k (x2)，由Error!整理得(34
8、k 2)x28(32k )kx4(3 2k)2480，x12 ，82k 3k3 4k2同理 PB 的直线方程为 y3k (x2) ，可得 x22 . 8k 2k 33 4k2 8k2k 33 4k2x 1x 2 ，x1x 2 ，16k2 123 4k2 48k3 4k2kAB y1 y2x1 x2 kx1 2 3 kx2 2 3x1 x2 ，kx1 x2 4kx1 x2 12直线 AB 的斜率为定值 .12热点三 圆锥曲线中的探索性问题例 3 已知椭圆 C1、抛物线 C2 的焦点均在 x 轴上，C 1 的中心和 C2 的顶点均为原点 O，从每条曲线上各取两个点，将其坐标记录于下表中：x 3 2
9、 4 2y 230 4 22(1)求 C1，C 2 的标准方程；(2)是否存在直线 l 满足条件：过 C2 的焦点 F；与 C1 交于不同的两点 M，N，且满足 ？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，说明理由OM ON 思维启迪 (1)比较椭圆及抛物线方程可知，C 2 的方程易求，确定其上两点，剩余两点，利用待定系数法求 C1 方程.(2) 联立方程，转化已知条件进行求解.解 (1)设抛物线 C2：y22px (p0)，则有 2p(x0)，y2x据此验证四个点知(3，2 )，(4， 4)在 C2 上，3易求得 C2 的标准方程为 y24x.设椭圆 C1： 1(ab0)，x2a2 y2b2把
10、点(2,0) ，( ， )代入得Error!，222解得Error!，所以 C1 的标准方程为 y 21.x24(2)容易验证当直线 l 的斜率不存在时，不满足题意当直线 l 的斜率存在时，设其方程为 yk(x1)，与 C1 的交点为 M(x1，y1)，N(x2，y2)由Error!消去 y 并整理得(1 4k 2)x28k 2x4(k 21)0，于是 x1x 2 ，8k21 4k2x1x2 .4k2 11 4k2所以 y1y2k 2(x11)( x21)k 2x1x2( x1x 2)1k 2 1 .4k2 11 4k2 8k21 4k2 3k21 4k2由 ，即 0，得 x1x2y 1y20
11、.(*)OM ON OM ON 将代入(*)式，得 0，4k2 11 4k2 3k21 4k2 k2 41 4k2解得 k2，所以存在直 线 l 满足条件，且直线 l 的方程为 2xy20 或 2xy20.思维升华 解析几何中的探索性问题，从 类型上看，主要是存在类型的相关题型解决问题的一般策略是先假设结论成立，然后 进行演绎推理或导出矛盾，即可否定假设或推出合理结论，验证后肯定结论，对于“存在 ”或“不存在”的问题，直接用条件证明或采用反证法证明解答时，不但需要熟练掌握圆锥 曲线的概念、性 质、方程及不等式、判别式等知识， 还要具备较强的审题能力、逻辑思维能力以及运用数形 结合的思想分析 问
12、题和解决问题的能力如图，抛物线 C：y 22px 的焦点为 F，抛物线上一定点 Q(1,2)(1)求抛物线 C 的方程及准线 l 的方程(2)过焦点 F 的直线(不经过 Q 点)与抛物线交于 A，B 两点，与准线 l交于点 M，记 QA，QB ，QM 的斜率分别为 k1，k 2，k 3，问是否存在常数 ，使得 k1k 2k 3 成立，若存在 ，求出 的值；若不存在，说明理由解 (1)把 Q(1,2)代入 y22px ，得 2p4，所以抛物线方程为 y24x ，准线 l 的方程：x 1.(2)由条件可设直线 AB 的方程为 yk(x1)，k 0.由抛物线准线 l：x1，可知 M(1，2k)又 Q
13、(1,2)，所以 k3 k1，2 2k1 1即 k3k1.把直线 AB 的方程 yk (x1)，代入抛物线方程 y24x，并整理，可得 k2x22(k 22)xk 20.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系，知x1x 2 ，x1x21.2k2 4k2又 Q(1,2)，则 k1 ，k2 .2 y11 x1 2 y21 x2因为 A，F，B 共线，所以 kAFk BFk ，即 k .y1x1 1 y2x2 1所以k1k 2 2k 2k2，2 y11 x1 2 y21 x2 y1x1 1 y2x2 1 2x1 x2 2x1x2 x1 x2 122k2 4k2 21 2k2 4k2
14、 1即 k1k 22k 2.又 k3k1，可得 k1k 22k 3.即存在常数 2，使得 k1k 2k 3 成立1圆锥曲线的最值与范围问题的常见求法(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑：利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；利用基本不等式求出参
15、数的取值范围；利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围2定点、定值问题的处理方法定值包括几何量的定值或曲线过定点等问题，处理时可以直接推理求出定值，也可以先通过特定位置猜测结论后进行一般性证明对于客观题，通过特殊值法探求定点、定值能达到事半功倍的效果3探索性问题的解法探索是否存在的问题，一般是先假设存在，然后寻找理由去确定结论，如果真的存在，则可以得出相应存在的结论；若不存在，则会由条件得出矛盾，再下结论不存在即可.真题感悟(2014北京)已知椭圆 C：x 22y 24.(1)求椭圆 C 的离心率；(2)设 O 为原点，若点 A 在椭圆 C 上，点 B 在直线 y2 上，且 OAOB，试判断直
16、线 AB 与圆 x2y 22 的位置关系，并证明你的结论解 (1)由题意，得椭圆 C 的标准方程为 1，x24 y22所以 a24，b 22，从而 c2a 2b 22.因此 a2，c .2故椭圆 C 的离心率 e .ca 22(2)直线 AB 与圆 x2y 22 相切证明如下：设点 A，B 的坐 标分别为( x0，y0)，(t,2)，其中 x00.因为 OAOB ，所以 0，OA OB 即 tx02y 00，解得 t .2y0x0当 x0t 时，y 0 ，代入椭圆 C 的方程，得 t ，t22 2故直线 AB 的方程为 x ，2圆心 O 到直线 AB 的距离 d .2此时直线 AB 与圆 x2
17、y 22 相切当 x0t 时，直线 AB 的方程为 y2 (xt)y0 2x0 t即(y 0 2)x(x 0t)y2x 0ty 00.圆心 O 到直线 AB 的距离d .|2x0 ty0|y0 22 x0 t2又 x 2y 4，t ，20 202y0x0故 d .|2x0 2y20x0|x20 y20 4y20x20 4|4 x20x0 |x40 8x20 162x20 2此时直线 AB 与圆 x2y 22 相切押题精练已知椭圆 C： 1(ab0)的离心率为 ，其左、右焦点分别是 F1、F 2，过点 F1 的直x2a2 y2b2 22线 l 交椭圆 C 于 E、G 两点，且 EGF 2 的周长
18、为 4 .2(1)求椭圆 C 的方程；(2)若过点 M(2,0)的直线与椭圆 C 相交于两点 A、B，设 P 为椭圆上一点，且满足 tOA OB (O 为坐标原点 )，当| |0，得 k20，k 2 . 0，b0)渐近线的距离为 ，点y2a2 x2b2 455P 是抛物线 y2 8x 上的一动点， P 到双曲线 C 的上焦点 F1(0，c )的距离与到直线 x2 的距离之和的最小值为 3，则该双曲线的方程为( )A. 1 By 2 1y22 x23 x24C. x 21 D. 1y24 y23 x22答案 C解析 由题意得，抛物线 y28x 的焦点 F(2,0)，双曲线 C： 1(a0，b0)
19、的一条渐近线的方程为 axby0，y2a2 x2b2抛物线 y28x 的焦点 F 到双曲 线 C： 1(a0 ，b0)渐近线的距离为 ，y2a2 x2b2 455 ，2aa2 b2 455a2b.P 到双曲线 C 的上焦点 F1(0，c)的距离与到直线 x2 的距离之和的最小值为 3，|FF 1| 3， c249，c ，5c 2a 2b 2，a2b，a2， b1.双曲线的方程为 x 21，故选 C.y244若点 O 和点 F 分别为椭圆 1 的中心和左焦点，点 P 为椭圆上的任意一点，x24 y23则 的最大值为( )OP FP A2 B3 C6 D8答案 C解析 设 P(x0，y0)，则 1
20、，即 y 3 ，x204 y203 20 3x204又因为 F(1,0)，所以 x 0(x01)y x x 03OP FP 20 1420 (x0 2)22，14又 x02,2，即 2,6，OP FP 所以( )max6.OP FP 5设 M(x0，y 0)为抛物线 C：x 28y 上一点，F 为抛物线 C 的焦点，以 F 为圆心，|FM| 为半径的圆和抛物线的准线相交，则 y0 的取值范围是( )A(0,2) B0,2C(2，) D2，)答案 C解析 依题意得 F(0,2)，准线方程为 y2，又以 F 为圆心，|FM|为半径的圆和抛物线的准线相交，且|FM| |y 02|，|FM |4，即|
21、y 02|4 ，又 y00，y 02.6已知双曲线 1(a0，b0)的左，右焦点分别为 F1(c,0)，F 2(c,0)，若双曲线上存x2a2 y2b2在点 P 满足 ，则该双曲线的离心率的取值范围为( )asin PF1F2 csin PF2F1A(1， 1) B(1 ， )2 3C( ，) D( 1，)3 2答案 A解析 根据正弦定理得 ，|PF2|sin PF1F2 |PF1|sin PF2F1所以由 asin PF1F2 csin PF2F1可得 ，a|PF2| c|PF1|即 e，|PF1|PF2| ca所以|PF 1|e| PF2|.因为 e1，所以|PF 1|PF2|，点 P 在
22、双曲线的右支上又|PF 1| |PF2| e|PF2| PF2|PF 2|(e1) 2a，解得|PF 2| ，2ae 1因为|PF 2|ca，所以 ca ，即 e1，2ae 1 2e 1即(e1) 21，所以 e(1， 1)，故选 A.2二、填空题7直线 ykx1 与椭圆 1 恒有公共点，则 m 的取值范围是_x25 y2m答案 m1 且 m5解析 方程 1 表示椭圆，x25 y2mm0 且 m5.直线 ykx1 恒过(0,1)点，要使直线与椭圆总有公共点， 应有： 1，m1，025 12mm 的取值范围是 m1 且 m5.8在直线 y2 上任取一点 Q，过 Q 作抛物线 x24y 的切线，切
23、点分别为 A、B，则直线AB 恒过定点_答案 (0,2)解析 设 Q(t，2)，A (x1，y1)，B(x2，y2)，抛物线方程变为 y x2，则 y x，则在点 A 处的14 12切线方程为 yy 1 x1(xx 1)，化简得， y x1xy 1，同理，在点 B 处的切线方程为12 12y x2xy 2.又点 Q(t，2)的坐标满足这两个方程，代入得：2 x1ty 1， 2 x2ty 2，则12 12 12说明 A(x1，y1)，B(x2，y2)都满足方程2 xty，即直线 AB 的方程为：y2 tx，因此直线12 12AB 恒过定点(0,2)9(2014辽宁)已知椭圆 C： 1，点 M 与
24、 C 的焦点不重合若 M 关于 C 的焦点的对x29 y24称点分别为 A，B，线段 MN 的中点在 C 上，则|AN| |BN|_.答案 12解析 椭圆 1 中，a3.x29 y24如图，设 MN 的中点为 D，则|DF 1|DF 2|2a6.D，F 1，F2 分 别为 MN，AM，BM 的中点，|BN | 2|DF2|，|AN|2|DF 1|，|AN | |BN| 2(|DF1|DF 2|)12.10(2013安徽)已知直线 ya 交抛物线 yx 2 于 A，B 两点若该抛物线上存在点 C，使得ACB 为直角，则 a 的取值范围为_答案 1，)解析 以 AB 为直径的圆的方程为 x2(ya
25、) 2a，由Error!得 y2(1 2a)y a 2a0.即(ya )y( a1) 0，由已知Error!解得 a1.三、解答题11.如图所示，椭圆 C1： 1(ab0)的离心率为 ，x 轴被曲线x2a2 y2b2 22C2：y x2b 截得的线段长等于 C1 的短轴长C 2 与 y 轴的交点为 M，过坐标原点 O 的直线 l 与 C2 相交于点 A，B ，直线 MA，MB 分别与 C1相交于点 D，E.(1)求 C1，C 2 的方程；(2)求证：MAMB；(3)记MAB，MDE 的面积分别为 S1，S 2，若 ，求 的取值范围S1S2(1)解 由题意，知 ，ca 22所以 a22b 2.又
26、 2 2b，得 b1.b所以曲线 C2 的方程 yx 21，椭圆 C1 的方程 y 21.x22(2)证明 设直线 AB：ykx，A( x1，y1)，B(x2，y2)，由题意，知 M(0，1) 则Error!x 2kx10， ( x1，y11)(x 2，y21)( k21)x 1x2k( x1x 2) 1(1k 2)k 210，MA MB 所以 MAMB.(3)解 设直线 MA：yk 1x1，MB：y k 2x1， k1k21，M(0，1)，由Error!解得Error!或Error!所以 A(k1，k 1)21同理，可得 B(k2，k 1)2故 S1 |MA|MB| |k1|k2|.12 1
27、21 k21 1 k2由Error!解得Error!或Error!所以 D( ， )4k11 2k21 2k21 11 2k21同理，可得 E( ， )4k21 2k2 2k2 11 2k2故 S2 |MD|ME|12 ，121 k21 1 k2 |16k1k2|1 2k211 2k2 ，S1S2 1 2k211 2k216 5 21k21 k2116 916则 的取值范围 是 ，)91612已知双曲线 C： 1(a0，b0)的焦距为 2 ，其一条渐近线的倾斜角为 ，且x2a2 y2b2 7tan .以双曲线 C 的实轴为长轴，虚轴为短轴的椭圆记为 E.32(1)求椭圆 E 的方程；(2)设点
28、 A 是椭圆 E 的左顶点，P、Q 为椭圆 E 上异于点 A 的两动点，若直线 AP、AQ 的斜率之积为 ，问直线 PQ 是否恒过定点？若恒过定点，求出该点坐标；若不恒过定点，说14明理由解 (1)双曲线 1 的焦距 2c2 ，x2a2 y2b2 7则 c ，a 2b 27.7渐近线方程 y x，ba由题意知 tan .ba 32由得 a24，b 23，所以椭圆 E 的方程为 1.x24 y23(2)在(1)的条件下，当直线 PQ 的斜率存在时，设直线 PQ 的方程为 ykxm，由Error!，消去 y 得(34k 2)x28kmx4m 2120.设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则 x
29、1x 2 ，x1x2 ， 8km3 4k2 4m2 123 4k2又 A(2,0) ，由题意知 kAPkAQ ，y1x1 2 y2x2 2 14则(x 1 2)(x22)4y 1y20，且 x1x22.则 x1x22(x 1 x2)44( kx1m)(kx 2m)(14k 2)x1x2(24km )(x1x 2)4m 240.则 m2km2k 20.(m2k)(mk)0.m2k 或 mk.当 m2k 时，直线 PQ 的方程是 ykx2k.此时直线 PQ 过定点(2,0) ，显然不符合题意当 mk 时，直线 PQ 的方程为 ykxk，此时直线 PQ 过定点(1,0) 当直线 PQ 的斜率不存在时，若直线 PQ 过定点，P，Q 点的坐标分别是(1， )，(1， )，32 32满足 kAPkAQ .14综上，直线 PQ 恒过定点(1,0)
