1、单元测评(一) 计数原理(A 卷)(时间：90 分钟 满分：120 分)第卷(选择题，共 50 分)一、选择题：本大题共 10 小题，共 50 分1从甲、乙等 10 个同学中挑选 4 名参加某项公益活动，要求甲、乙中至少有 1 人参加，则不同的挑选方法共有( )A70 种 B112 种C 140 种 D168 种解析：方法一(直接法)：分类完成：第 1 类，甲参加或乙参加，有 C C 种挑选方法；12 38第 2 类，甲、乙都参加，有 C C 种挑选方法2 28所以不同的挑选方法共有 C C C C 140 种12 38 2 28方法二(间接法) ：从甲、乙等 10 人中挑选 4 人共有 C
2、种挑选方法，甲、乙两人都410不参加挑选方法有 C 种，所以甲、乙两人中至少有 1 人参加的不同的48挑选方法有 C C 140 种410 48答案：C2五本不同的书在书架上排成一排，其中甲，乙两本必须连排，而丙，丁两本不能连排，则不同的排法共有( )A12 种 B20 种C 24 种 D48 种解析：甲，乙看作一本，除去丙，丁后排列，再将丙，丁插入，共有 A A A 232224 种2 23 2答案：C3在二项式 5 的展开式中，含 x4 的项的系数是( )(x2 1x)A5 B5C10 D10解析：T k1 C (x2)5k kC x102k k(1)k5 ( 1x) k5 (1x)k C
3、 x103k (1) k.k5由 103k 4 知 k2，即含 x4 的项的系数为 C (1) 210.25答案：D4如图，要给，四块区域分别涂上五种不同颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同颜色，则不同的涂色方法种数为( )A320 B160C 96 D60解析：按的顺序涂色，有C C C C 5 444320 种不同的方法15 14 14 14答案：A5一次考试中，要求考生从试卷上的 9 个题目中选出 6 个进行答题，要求至少包含前 5 个题目中的 3 个，则考生答题的不同选法的种数是( )A40 B74C 84 D200解析：可按包括前 5 个题的个数分类，共有不同
4、的选法C C C C C C 74 种35 34 45 24 5 14答案：B6从 0,2 中选一个数字，从 1,3,5 中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为( )A24 B18C 12 D6解析：若选 0，则 0 只能在十位，此时组成的奇数的个数是A 6；若选 2，则 2 只能在十位或百位，此时组成的奇数的个数是232A 12，根据分类加法计数原理得总个数为 61218.23答案：B7若(2x )4a 0a 1xa 2x2a 3x3a 4x4，则(a 0a 2a 4)32( a1a 3)2 的值为( )A1 B1C 0 D2解析：(a 0a 2a 4)2( a1a 3)2(
5、a 0a 1a 2a 3a 4)(a0a 1a 2a 3a 4) (2 )4(2 )41.3 3答案：A84 名男歌手和 2 名女歌手联合举行一场音乐会，出场的顺序要求两名女歌手之间恰有一名男歌手，共有出场方案的种数是( )A6A B3A3 3C 2A DA A A3 2 14 4解析：先选一名男歌手排在两名女歌手之间，有 A 种选法，这两14名女歌手有 A 种排法，把这三人作为一个元素，与另外三名男歌手排2列有 A 种排法，根据分步乘法计数原理， 有 A A A 种出场方案4 14 2 4答案：D9有五名学生站成一排照毕业纪念照，其中甲不排在乙的左边，又不与乙相邻，则不同的站法有( )A24
6、 种 B36 种C 60 种 D66 种解析：先排甲、乙外的 3 人，有 A 种排法，再插入甲、乙两人，3有 A 种方法，又甲排在乙的左边和甲排在乙的右边各占 ，故所求不2412同的站法有 A A 36(种)12 3 24答案：B10由 1、2、3、4、5、6 组成没有重复数字且 1、3 都不与 5 相邻的六位偶数的个数是( )A72 B96C 108 D144解析：从 2,4,6 三个偶数中选一个数放在个位，有 C 种方法，将13其余两个偶数全排列，有 A 种排法，当 1,3 不相邻且不与 5 相邻时有2A 种方法，当 1,3 相邻且不与 5 相邻时有 A A 种方法，故满足题意3 2 23
7、的偶数个数有 C A (A A A )108 个13 2 3 2 23答案：C第卷(非选择题，共 70 分)二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分11从甲、乙、丙、丁四名同学中选出三名同学，分别参加三个不同科目的竞赛，其中甲同学必须参赛，则不同的参赛方案共有_种解析：从除甲外的乙，丙，丁三名同学中选出两人有 C 种选法，23再将 3 人安排到三个科目，有 A 种不同排法，因此共有 C A 18 种3 23 3不同方案答案：1812. 5 的展开式中的常数项为_( 用数字作答)(x2 1x 2)解析：(化简三项为二项)：原式 5 (x )2(x2 22x 22x ) 132
8、x5 25 (x )10.132x5 2求原式的展开式中的常数项，转化为求(x )10 的展开式中含 x52项的系数，即 C ( )5.510 2所以所求的常数项为 .C510 2532 6322答案：632213今有 2 个红球、3 个黄球、4 个白球，同色球不加以区分，将这 9 个球排成一列有_种不同的方法(用数字作答) 解析：只需找到不同颜色的球所在的位置即可，有 C C C 1 29 37 4260 种答案：1 26014某校邀请 6 位学生的父母共 12 人，请这 12 位家长中的 4 位介绍其对子女的教育情况，如果这 4 位家长中恰有一对是夫妻，那么不同的选择方法有_种解析：先从
9、6 对夫妻中任选出一对，有 C 种不同的选法，再从其16余的 10 人中任选出 2 人，有 C 种选法，其中这 2 人恰好是一对夫妻210的选法有 C 种，所以共有 C (C C )240 种不同选法15 16 210 15答案：240三、解答题：本大题共 4 小题，满分 50 分15(12 分) 已知二项式 n展开式中各项系数之和比各二项(5x 1x)式系数之和大 240，(1)求 n；(2)求展开式中含 x 项的系数；(3)求展开式中所有含 x 的有理项解：(1) 由已知得： 4n2 n240,2 n16，n4.(2 分 )(2)二项展开式的通项为：C (5x)4r rC 54r (1)
10、rx4 r，r4 ( 1x) r4 32令 4 r1r 232所以含 x 项的系数： C 52(1) 2150.(7 分)24(3)由(2)得： 4 rZ，( r0,1,2,3,4) ，32即 r 0,2,4.所以展开式中所有含 x 的有理项为：第 1 项 625x4，第 3 项 150x，第 5 项 x2 .(12 分 )16(12 分) 一栋 7 层的楼房备有电梯，在一楼有甲、乙、丙三人进了电梯，求满足有且仅有一人要上 7 楼，且甲不在 2 楼下电梯的所有可能情况的种数解：由题意知需要分两类：第 1 类，甲上 7 楼，乙和丙在 2,3,4,5,6层楼每个人有 5 种下法，共有 52 种；(
11、5 分 )第 2 类，甲不上 7 楼，则甲有 4 种下法，乙和丙选一人上 7 楼，另一人有 5 种下法，共有 425 种(10 分)根据分类加法计数原理知，共有 5242565 种可能情况(12 分 )17(12 分) 现有 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9 共十个数字(1)可以组成多少个无重复数字的三位数？(2)组成无重复数字的三位数中，315 是从小到大排列的第几个数？(3)可以组成多少个无重复数字的四位偶数？(4)选出一个偶数和三个奇数，组成无重复数字的四位数，这样的四位数共有多少个？(5)如果一个数各个数位上的数字从左到右按由大到小的顺序排列，则称此正整数为“渐减数” ，那么由这
12、十个数字组成的所有“渐减数”共有多少个？解：(1) 可以组成无重复数字的三位数 A A 648(个) ；(2 分)19 29(2)组成无重复数字的三位数中，315 是从小到大排列的第A A A A 156(个)；(4 分)12 29 18 14(3)可以组成无重复数字的四位偶数A A A A 2 296(个)( 分 0 占个位和 0 不占个位两种情况)39 14 18 28(6 分 )(4)选出一个偶数和三个奇数，组成无重复数字的四位数，这样的四位数有A A C C A 1 140(个)(分选出的偶数是 0 和不是 0 两种情13 35 14 35 4况)(9 分)(5)由这十个数字组成的所有
13、“渐减数”共有C C C C 2 10C C 1 013(个)(12 分)210 310 410 10 01 1018(14 分)10 双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出 4 只，试求出现如下结果时，各有多少种情况？(1)4 只鞋子没有成双的；(2)4 只鞋子恰成两双；(3)4 只鞋子有 2 只成双，另两只不成双解：(1) 从 10 双鞋子中选取 4 双，有 C 种不同的选法，每双鞋410子各取一只，分别有 2 种取法，根据分步乘法计数原理，选取种数为N C 24 3 360(种)(4 分)410(2)从 10 双鞋子中选取 2 双有 C 种取法，即 45 种不同取法(8210分)(3)先选取一双有 C 种选法，再从 9 双鞋子中选取 2 双鞋有 C10种选法，每双鞋只取一只各有 2 种取法，根据分步乘法计数原理，不29同取法为 NC C 221 440(种)10 29(14 分 )
