1、第一章 1.3 1.3.2 第一课时基础巩固一、选择题1对于定义域是 R 的任意奇函数 f(x)，都有( )Af(x)f(x)0 Bf (x)f (x ) 0Cf(x)f(x) 0 Df (x)f(x)0答案 C解析 f(x)为奇函数，f(x)f(x)，f(x)f(x)f(x) 2.又 f(0)0，f(x) 20，故选 C.2下列函数是偶函数的是( )Ay2x 23 By x 3Cy x2，x0,1 Dyx答案 A解析 对 A 项：f(x)2(x) 232x 23f (x)，f(x)是偶函数，B、D 项都为奇函数，C 项中定义域不关于原点对称，函数不具有奇偶性，故选 A.3下列说法正确的是(
2、)A偶函数的图象一定与 y 轴相交B奇函数 y f(x)在 x0 处有定义，则 f(0)0C奇函数 y f(x)的图象一定过原点D图象过原点的奇函数必是单调函数答案 B解析 A 项中若定义域不含 0，则图象与 y 轴不相交，C 项中定义域不含 0，则图象不过原点，D 项中奇函数不一定单调，故选 B.4函数 f(x) x 的图象关于( )1xAy 轴对称 B直线 yx 对称C坐标原点对称 D直线 yx 对称答案 C解析 f(x) x(x0)，1xf(x ) xf( x)，f (x)为奇函数，1x所以 f(x) x 的图象关于原点对称，故选 C.1x5若函数 f(x) 为奇函数，则 a 等于( )
3、x2x 1x aA. B.12 23C. D134答案 A解析 方法一：f(x) 为奇函数，f(x)f(x)， ， x 2x 1 x a x2x 1x a即(2x 1)(xa)(2x 1)(x a)恒成立，整理得(2a1)x 0，必须有 2a10，a ，故选 A.12方法二：由于函数 f(x)是奇函数，所以必有 f(1)f(1)，即 ，1 1 a 131 a即 1a3(1a)，解得 a ，故选 A.126若 f(x)ax 2bx c (c0)是偶函数，则 g(x)ax 3bx 2cx( )A是奇函数但不是偶函数B是偶函数但不是奇函数C既是奇函数又是偶函数D既非奇函数又非偶函数答案 A解析 f(
4、x) f(x) ，a(x )2bx cax 2bx c 对 xR 恒成立b0.g(x)ax 3cx.g(x )g(x )二、填空题7(2015广东深圳期末)设函数 f(x)Error!若 f(x)是奇函数，则 g(2)的值是_答案 4解析 f(x)是奇函数，g(2)f(2)f(2)4.8定义在(1,1)上的奇函数 f(x) ，则常数 m、n 的值分别为_x mx2 nx 1答案 0、0解析 由题意知 f(0)0，故得 m0.由 f(x)是奇函数知 f(x)f(x) ，即 ， x 0x2 nx 1 x 0x2 nx 1x 2nx1x 2nx1，n0.三、解答题9已知 f(x)是偶函数，g(x)是
5、奇函数，且 f(x)g(x)x 2x2，求 f(x)，g(x )的表达式解析 f(x)g(x )x 2 x2，由 f(x)是偶函数，g( x)是奇函数得，f (x)g(x)x 2x2又 f(x)g(x) x 2x2，两式联立得：f(x)x 22，g( x)x.10已知 f(x)是定义在 R 上的函数，对任意的 x，yR 都有 f(xy )f(xy)2f(x )f(y)，且 f(0)0.(1)求证：f(0)1.(2)判断函数的奇偶性解析 (1)令 xy0,2f(0) 2f(0)2，因 f(0)0，则 f(0)1.(2)令 x0，有 f(y)f(y )2f(0)f (y)，则 f(y)f(y)，f
6、(x)是偶函数能力提升一、选择题1设 f(x)是定义在 R 上的任意函数，则下列叙述正确的是( )Af(x)f(x) 是奇函数Bf(x)|f(x)|是奇函数Cf(x)f( x )是偶函数Df(x)f(x)是偶函数答案 D解析 由函数奇、偶性的定义知 D 项正确2若函数 f(x)(x1)( xa) 为偶函数，则 a 的值为( )A2 B1C1 D2答案 C解析 f(x)是定义在 R 上的偶函数， f (1)f(1) ，2(1a) 0，a1，故选C.3(2015河北衡水中学期中) 已知 f(x)x 52ax 33bx2 ，且 f(2)3，则 f(2)( )A3 B5C7 D1答案 C解析 令 g(
7、x)x 52ax 33bx，则 g(x)为奇函数，f(x)g( x)2，f(2)g( 2)2g(2) 23，g(2) 5，f(2)g(2) 27.4若定义在 R 上的函数 f(x)满足：对任意 x1，x 2R，有 f(x1x 2)f(x 1)f(x 2)1，则下列说法一定正确的是( )Af(x)为奇函数Bf(x)为偶函数Cf(x)1 为奇函数Df(x)1 为偶函数答案 C解析 令 x1x 20，得 f(00)f (0)f (0)1，f(0)1.令 x1x，x 2 x，得 f(xx) f (x)f (x)1，f(x )1f(x )1，f(x)1 为奇函数二、填空题5已知 yf(x)是定义在 R
8、上的奇函数，则下列函数：yf(|x|)；yf(x)；yxf (x)；y f(x )x 中奇函数为 _(填序号)答案 解析 f(| x|)f(|x|)，为偶函数；f(x )f(x )，令 g(x) f(x)，则 g(x)f(x)f(x )g(x) ，为奇函数；令 F(x)xf( x)，则 F(x) ( x)f(x )xf(x)F(x) ，故是偶函数；令 h(x)f(x)x，则h(x)f( x) x f(x)xh( x)，故是奇函数6已知函数 yf( x)是偶函数，其图象与 x 轴有四个交点，则方程 f(x)0 的所有实根之和是_答案 0解析 偶函数的图象关于 y 轴对称，f (x)与 x 轴的四
9、个交点也关于 y 轴对称若y 轴右侧的两根为 x1，x 2，则 y 轴左侧的两根为x 1，x 2，四根和为 0.三、解答题7函数 f(x) 是定义在(1,1) 上的奇函数，且 f( ) .ax b1 x2 12 25(1)确定函数 f(x)的解析式；(2)用定义证明 f(x)在( 1,1)上是增函数分析 利用奇函数的性质：若在原点有定义，则 f(0)0，以及已知条件 f( ) ，求12 25得 a、b 的值，从而确定解析式解析 (1)根据题意得 Error!即 Error!解得Error!f(x ) .x1 x2(2)证明：任取 x1，x 2( 1,1) ，且令 x1x 2，f(x1)f (x
10、2) .x11 x21 x21 x2 x1 x21 x1x21 x211 x21x 1x 21，x 1x 20,1x 0,1x 0,1x 1x20，21 2f(x 1)f(x 2)0，即 f(x1)f(x 2)，f(x)在(1,1)上是增函数点拨 (1)函数的奇偶性、单调性是函数的两个重要性质，在解答问题时，要善于应用函数的观点，挖掘函数的奇偶性和单调性，并注意两者的联系(2)函数的单调性、奇偶性常与其他性质结合在一起进行命题，此类考查形式是常考点，应引起足够的重视8已知 f(x)是定义在 R 上的不恒为零的函数，且对于任意的 a，bR 都满足 f(ab)af( b)bf(a) (1)求 f(0)，f(1)的值；(2)判断 f(x)的奇偶性，并证明仍然的结论解析 (1)令 ab0，则 f(00)0f (0)0f(0)0，f(0)0.令 ab1，则 f(11)f(1)f(1)f (1)，f (1)0.(2)f(x)是奇函数证明：f(1)f(1) 2f( 1)f (1)0，f(1)0.令 a1，bx，则 f(x )f(1x)f(x) xf(1)f(x)故 f(x)为奇函数
