1、第 9课时 基本不等式及其变形1.熟悉基本不等式的变形;并会用基本不等式及其变形来解题 .2 了解基本不等式的推广,并会应用 .重点:利用基本不等式及其变形来解题 .难点:基本不等式的推广的理解 .上一课时我们共同学习了基本不等式的基本概念以及利用基本不等式求最值,并了解了一正二定三相等四最值这些过程 .基本不等式是一种重要的数学工具,是集合、函数、不等式、三角函数、数列等知识的综合交汇点,地位重要,这一讲我们将共同探究基本不等式及其变形的应用 .问题 1:常见的基本不等式的变形(1)x+2( x0),x+ -2(x B.【答案】A2.已知 a1,b1,且 lg a+lg b=6,则 lg a
2、lg b 的最大值为( ).A.6 B.9 C.12 D.18【解析】 a 1,b1, lg a0,lg b0,又 lg a+lg b=6, lg alg b() 2=()2=9,故选 B.【答案】B3.已知 a,b 为正实数,如果 ab=36,那么 a+b 的最小值为 ;如果 a+b=18,那么 ab 的最大值为 . 【解析】根据基本不等式 a+b2 =2=12,得 a+b的最小值为 12.根据 =9,即 ab81,得 ab的最大值为 81.【答案】12 814.已知 a,b,c 为两两不相等的实数,求证: a2+b2+c2ab+bc+ca.【解析】 a ,b,c为两两不相等的实数,a 2+
3、b22ab,b2+c22bc,c2+a22ca,以上三式相加:2( a2+b2+c2)2ab+2bc+2ca,a 2+b2+c2ab+bc+ca.利用基本不等式判断不等关系若 a0,b0,a+b=2,则下列不等式对一切满足条件的 a,b 恒成立的是 (写出所有正确命题的编号) . ab 1; + ; a 2+b22; a 3+b33; + 2 .【方法指导】根据已知条件依次判断命题 .【解析】令 a=b=1,排除命题 ;由 2=a+b2 ab1,命题 正确;a2+b2=(a+b)2-2ab=4-2ab2,命题 正确;+=2,命题 正确 .故填 .【答案】 【小结】基本不等式常用于有条件的不等关
4、系的判断、比较代数式的大小等 .一般地,结合所给代数式的特征,将所给条件进行转换(利用基本不等式可将整式和根式相互转化),使其中的不等关系明晰即可解决问题 .基本不等式在证明题中的应用已知 a,b,c 都是正数,求证: + a+b+c.【方法指导】所证不等式的左边为分式,右边为整式,根据左边式子的特点,若要用基本不等式可在左边添项,变为( +b)+(+c)+(+a)的形式 .【解析】 a 0,b0,c0,+b 2 =2a.同理: +c2 b,+a2 c,三式相加得: + a+b+c.【小结】本题的求解关键是分析出要证不等式左、右两边都为和的形式,且左边为分式形式,联想 x+2,需添上相应分母形
5、式,即 a,b,c三项,这也正是本题的思维障碍点,需要有较强的观察、分析能力 .利用基本不等式求最值已知正数 x,y 满足 x2+=1,求 x 的最大值 .【方法指导】所求的最值是一个积式的形式,因此,应将条件转化为和的定值的形式,然后利用基本不等式建立待求和的关系 .【解析】 x 2+=1, 2x2+y2=2,x=x =,当且仅当时等号成立,x 的最大值是 .【小结】本题解题的关键是紧扣已知条件中和为定值展开思路,把代数式中的积利用不等式转化为和,解题障碍在于利用已知条件凑好系数 .当然,本题也可利用函数思想求解 .已知正数 02,a2+b22ab,所以最大的只能是 a2+b2与 a+b之一
6、 .而 a2+b2-(a+b)=a(a-1)+b(b-1),又 00,b0,c0,求证: + +.【解析】 + , +, +, 2(+) +,即 + +.下列说法: 对任意 x0,lg x+2; 对任意 xR, ax+2; 对任意 x(0,),tan x+2; 对任意 xR,sin x+2 .其中正确的是( ).A. B. C. D.【解析】任意 x0,无法确定 lg x0, 错;任意 xR, ax0,根据基本不等式 ax+2, 正确;对任意 x(0,),有 tan x0,根据基本不等式tan x+2 =2, 正确;存在 x=-,sin x+=-2, 错 .选 C.【答案】C1.已知 m,nR
7、, m2+n2=100,则 mn 的最大值是( ).A.100 B.50 C.20 D.10【解析】 mn =50,当且仅当 m=n=或 m=n=-时等号成立 .【答案】B2.若 0a2+b2,故 b最大 .【答案】B3.已知 x,y 都为正数,且 x+4y=1,则 xy 的最大值为 . 【解析】 x ,y都为正数, 1=x+4y2 =4,xy ,当且仅当 x=,y=时取等号 .【答案】4.已知 a,b,c,d 都是正数,求证:( ab+cd)(ac+bd)4 abcd.【解析】由 a,b,c,d都是正数,得: 0, 0, abcd, 即( ab+cd)(ac+bd)4 abcd,当且仅当 a=b=c=d时,取等号 .1.(2013 年福建卷)若 2x+2y=1,则 x+y 的取值范围是( ).A.0,2 B.-2,0C.-2,+ ) D.(- ,-2【解析】由基本不等式可得 1=2x+2y2 =2, 2x+y, x+y -2,选 D.【答案】D2.(2013 年四川卷)已知函数 f(x)=4x+(x0,a0)在 x=3 时取得最小值,则 a= . 【解析】 x 0,a0,f (x)=4x+2 =4,当且仅当 4x=,即 a=4x2=36时等号成立 .【答案】36
