1、2.4 平面向量的数量积一、 平面向量的数量积的物理背景及其含义教学目的：1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；4.掌握向量垂直的条件.教学重点：平面向量的数量积定义教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用授课类型：新授课教 具：多媒体、实物投影仪内容分析：本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识.主要知识点：平面向量数量积的定义及几何意义；平面向量数量积的 5
2、个重要性质；平面向量数量积的运算律.教学过程：一、复习引入：1 向量共线定理 向量 与非零向量 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数 ，ba使 = .ba2平面向量基本定理：如果 ， 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面1e2内的任一向量 ，有且只有一对实数 1， 2 使 = 1 + 2aae3平面向量的坐标表示分别取与 轴、 轴方向相同的两个单位向量 、 作为基底.任作一个向量 ，由平面xyij a向量基本定理知，有且只有一对实数 、 ，使得xyyjxia把 叫做向量 的（直角）坐标，记作),(yxa),(4平面向量的坐标运算若 ， ，则 ，),(1yxa),(2yxbba),(
3、2121yx， .2),y若 ， ，则),(1yxA),(2yB1212,xA5 ( )的充要条件是 x1y2-x2y1=0ab06线段的定比分点及 P1， P2 是直线 l 上的两点，P 是 l 上不同于 P1， P2 的任一点，存在实数 ，使 = ， 叫做点 P 分 所成的比，有三种情况：12210(内分) (外分) 0，( a)b = |a|b|cos， (ab) = |a|b|cos，a( b) = |a|b|cos，若 0，( a)b =| a|b|cos() = |a|b|(cos) = |a|b|cos， (ab) = |a|b|cos，a( b) =|a| b|cos() =
4、|a|b|(cos) = |a|b|cos.3分配律：(a + b)c = ac + bc在平面内取一点 O，作 = a， = b， = c， a + b （即 ）在 c 方向上ABOCOB的投影等于 a、b 在 c 方向上的投影和，即 |a + b| cos = |a| cos1 + |b| cos2 | c | |a + b| cos =|c| |a| cos1 + |c| |b| cos2， c (a + b) = ca + cb 即：(a + b)c = ac + bc说明：（1）一般地，( ) （ ）（2） ，0 （3）有如下常用性质： ，（ ） （ ） ( ) 三、讲解范例：例 1
5、 已知 a、b 都是非零向量，且 a + 3b 与 7a 5b 垂直，a 4b 与 7a 2b 垂直，求 a 与b 的夹角.解：由(a + 3b)(7a 5b) = 0 7a2 + 16ab 15b2 = 0 (a 4b)(7a 2b) = 0 7a2 30ab + 8b2 = 0 两式相减：2ab = b 2代入或得：a 2 = b2设 a、b 的夹角为，则 cos = = 6021|ba例 2 求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和.解：如图：平行四边形 ABCD 中， ， ， =DCABBACD| |2=ACDB2|2而 = ，| |2= ADBA2|2| |2 + | |2
6、 = 2 = ACBD222| ADC例 3 四边形 ABCD 中， ， ， ， ，且 ，试问四边形 ABCD 是什么图形?分析：四边形的形状由边角关系确定，关键是由题设条件演变、推算该四边形的边角量.解：四边形 ABCD 是矩形，这是因为：一方面： 0， （ ） ，( ) （ ） 即 由于 ， 同理有 由可得 ，且 即四边形 ABCD 两组对边分别相等.四边形 ABCD 是平行四边形另一方面，由 ，有 （ ），而由平行四边形 ABCD 可得 ，代入上式得 (2 )，即 ， 也即 ABBC.综上所述，四边形 ABCD 是矩形.评述：(1)在四边形中， ， ， ， 是顺次首尾相接向量，则其和向量
7、是ABCDA零向量，即 0，应注意这一隐含条件应用；(2)由已知条件产生数量积的关键是构造数量积，因为数量积的定义式中含有边、角两种关系.四、课堂练习：1.下列叙述不正确的是（ ）A.向量的数量积满足交换律 B.向量的数量积满足分配律C.向量的数量积满足结合律 D.ab 是一个实数2.已知|a |=6，|b|=4，a 与 b 的夹角为，则(a+2b)(a-3b)等于（ ）A.72 B.-72 C.36 D.-363.|a|=3，|b|=4，向量 a+ b 与 a- b 的位置关系为（ ）43A.平行 B.垂直 C.夹角为 D.不平行也不垂直34.已知|a |=3，|b|=4，且 a 与 b 的
8、夹角为 150，则(a+b) .5.已知|a |=2，|b|=5，ab=-3，则 |a+b|=_，|a-b|= .6.设|a|=3，|b|=5，且 a+b 与 ab 垂直，则 .五、小结（略） 六、课后作业（略）七、板书设计（略）八、课后记：第 9 课时三、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角教学目的：要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示掌握向量垂直的坐标表示的充要条件，及平面内两点间的距离公式.能用所学知识解决有关综合问题.教学重点：平面向量数量积的坐标表示教学难点：平面向量数量积的坐标表示的综合运用授课类型：新授课教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1两个非零向量夹角的概念已知
9、非零向量 与 ，作 ， ，则 （ ）叫 与 的OAB夹角.2平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量 与 ，它们的夹角是 ，则数量|a |b|cos叫 与 的数量积，记作 ab，即有 ab = |a|b|cos，（ ）.并规定 0 与任何向量的数量积为 0. C3向量的数量积的几何意义：数量积 ab 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上投影|b|cos的乘积 .4两个向量的数量积的性质：设 a、b 为两个非零向量，e 是与 b 同向的单位向量.1 ea = ae =|a|cos； 2 ab ab = 03 当 a 与 b 同向时，ab = |a|b|；当 a 与 b 反向时，a b =
10、 |a|b|. 特别的 aa = |a|2 或|4 cos = ；5 |ab| |a|b|5平面向量数量积的运算律交换律：a b = b a数乘结合律：( a)b = (ab) = a( b)分配律：(a + b)c = ac + bc二、讲解新课： 平面两向量数量积的坐标表示已知两个非零向量 ， ，试用 和 的坐标表示 .),(1yxa),(2yxbabba设 是 轴上的单位向量， 是 轴上的单位向量，那么 ，ixj jyix1jyix2所以 )(21jyixjiba 2122121 jjijiyxi又 ， ， ，所以ij0bay这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即 ba21yx2. 平面内两点间的距离公式一、 设 ，则 或 .),(yxa22|yxa2|yxa（2）如果表示向量 的有向线段的起点和终点的坐标分别为 、 ，那么),(1),(2yx(平面内两点间的距离公式)2121()(| yxa二、 向量垂直的判定设 ， ，则),(1),(2xbba021yx
