1、2.3.1 双曲线及其标准方程教学目标知识目标：了解双曲线的定义，几何图形和标准方程，并能初步应用。能力目标：通过与椭圆类比获得双曲线的知识，培养学生类比、分析、归纳、推理等能力和善于寻找数学规律的能力。德育目标：在类比探究过程中激发学生的求知欲，培养他们浓厚的学习兴趣及培养学生认真参与积极交流的主体意识，锻炼学生善于发现问题的规律和解决问题的态度。重点：双曲线的定义及其标方程和简单应用。难点：对双曲线定义的理解，正确运用双曲线定义推导方程。教学过程：一.复习提问，引入新课。问题 1.椭圆的定义是什么？问题 2.椭圆的标准方程是怎样的？ 关系如何？cba、问题 3.如果把上述定义中的“距离的和
2、”改为“距离的差”那么点的轨迹会发生怎样的变化？师：（多媒体演示动点轨迹） 。师：同学们观察一下，动点 所满足的几何条件是什么？M生： 长度在变，但 。21F， 常 数21F师：这个常数与 的大小关系如何？为什么？1生：小于 ，三角形中两边之差小于第三边。2师：用同样的方法，使 ，就得到另一条曲线，这两条曲线合起常 数12来叫做双曲线，每条叫做双曲线的一支。 （板书课题）二.形成概念，推导方程。师：双曲线上的点应满足的条件是什么？生： （小于 ） 。常 数21MF21F师：类比椭圆的定义，请同学概括双曲线的定义。1.双曲线的定义。 （投影）师：定义中的“绝对值”三字去掉，能否表示双曲线？生：不
3、能，为双曲线的一支。师：定义中的常数 ，轨迹是什么？常数 呢?21F21F生：以 为端点的两条射线。常数 无轨迹。21、2.标准方程的推导。生：建系。使 轴经过两定点 ， 轴为线段 的垂直平分线。x21,y21设点。设 是双曲线上任一点，),(yM焦距为 ，那么焦点 ， 。c2)0.(,(21cFaMF21列式。 aF21即 。aycxycx2)()(22化简。 )2a两边同除以 )(2c得122ayx， 令 （ ）代入式得02acc22bac0师：这个方程叫做双曲线的标准方程。它所表示的是焦点在 轴上，x、 。类比椭圆焦点在 轴上的标准方程，如何得到焦)0.(,(21cF22bay点在 轴上
4、双曲线的标准方程？y生：只要将方程中的 互换即可。yx,师：双曲线的标准方程有两种形式，下面做一下比较。3.两种标准方程的比较。 ”生：方程用“”号连接；分母是 ， （ ） ，但 大小不定；2,ba0,ba, ；2c如果 的系数是正的，焦点在 轴上，如果 地系数是正的，焦点在 轴上。xx2yy三.练习与例题（投影）练习 1.判断下列方程是否表示双曲线？若是，求出 及焦点坐标。cba、（1） （2）124yx 12yx（3） （4） )0,(2nmn),(122yax )0,(122 baba答案：（略）题后反思：先把非标准方程化成标准方程，再判断焦点所在坐标轴； 是否为双曲线的方程？)0(12
5、mnyx表示焦点在 轴上的双曲线；0nx表示焦点在 轴上的双曲线。y练习 2.若 表示双曲线，求 的范围。122mxm答案： .或例 1.已知双曲线的两个焦点分别为 ，双曲线上一点 到 距离的差)0,5(,(21FP21,F的绝对值等于 6，求双曲线的标准方程。解：（略） 师：若第一个条件改为 ，答案是否相同？021F生：不同， 或 。692yx69x师：求标准方程要做到先定型，后定量。练习 3.求适合下列条件的双曲线的标准方程。（1） 焦点在在 轴上， ；x3,4ba（2） 焦点在在 轴上，经过点 。)2,15(),2(师：提示用换元法解方程组。答案：（略）例 2.已知 两地相距 800 ，在 地听到炮弹爆炸声比在 地晚 2 ，且声速为 340BA,mABs，求炮弹爆炸点的轨迹方程。sm/分析：爆炸点距 地比 地远；设爆炸点为 ，则 ；爆炸点的轨迹P340A是靠近 处的双曲线的一支上。解：（略）四.归纳小结。五.布置作业。
