1、第二章 圆锥曲线与方程(B)(时间：120 分钟 满分：150 分)一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分)1中心在原点，焦点在 x 轴上，若长轴长为 18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是( )A. 1 B. 1x281 y272 x281 y29C. 1 D. 1x281 y245 x281 y2362平面内有定点 A、B 及动点 P，设命题甲是“| PA|PB|是定值” ，命题乙是“点 P的轨迹是以 A、B 为焦点的椭圆” ，那么甲是乙的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件3设 a0，aR，则抛物线 yax 2 的焦点
2、坐标为( )A. B.(a2，0) (0，12a)C. D.(a4，0) (0，14a)4已知 M(2,0)，N (2,0)，则以 MN 为斜边的直角三角形的直角顶点 P 的轨迹方程是( )Ax 2y 22 Bx 2y 24Cx 2 y22(x 2) Dx 2y 24( x2)5已知椭圆 1 (ab0)有两个顶点在直线 x2y2 上，则此椭圆的焦点坐标x2a2 y2b2是( )A( ，0) B(0， )3 3C( ，0) D(0， )5 56设椭圆 1 (m1)上一点 P 到其左焦点的距离为 3，到右焦点的距离为x2m2 y2m2 11，则椭圆的离心率为( )A. B. C. D.22 12
3、2 12 347已知双曲线的方程为 1，点 A，B 在双曲线的右支上，线段 AB 经过双曲线x2a2 y2b2的右焦点 F2，|AB|m，F 1 为另一焦点，则ABF 1 的周长为 ( )A2a2m B4a2mCam D2a4m8已知抛物线 y24x 上的点 P 到抛物线的准线的距离为 d1，到直线 3x4y 90 的距离为 d2，则 d1d 2 的最小值是( )A. B. C2 D.125 65 559设点 A 为抛物线 y24x 上一点，点 B(1,0)，且| AB|1，则 A 的横坐标的值为( )A2 B0C2 或 0 D2 或 210从抛物线 y28x 上一点 P 引抛物线准线的垂线，
4、垂足为 M，且| PM|5，设抛物线的焦点为 F，则PFM 的面积为( )A5 B66 5C10 D52 211若直线 ykx2 与抛物线 y28x 交于 A，B 两个不同的点，且 AB 的中点的横坐标为 2，则 k 等于( )A2 或1 B1C2 D1 512设 F1、F 2 分别是双曲线 1 的左、右焦点若点 P 在双曲线上，且 x25 y24 1PF0，则| |等于( )2P1PA3 B6 C1 D2题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答 案二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)13以等腰直角ABC 的两个顶点为焦点，并且经过另一顶点的椭圆
5、的离心率为_14已知抛物线 C：y 22px (p0)，过焦点 F 且斜率为 k (k0)的直线与 C 相交于A、B 两点，若 3 ，则 k_.FB15已知抛物线 y22px (p0)，过点 M(p,0)的直线与抛物线交于 A、B 两点，则 OA_.O16已知过抛物线 y24x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A、B 两点，|AF|2，则|BF|_.三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分)17(10 分) 求与椭圆 1 有公共焦点，并且离心率为 的双曲线方程x29 y24 5218(12 分) 已知斜率为 1 的直线 l 过椭圆 y 21 的右焦点 F 交椭圆于 A、B 两点，x24求弦
6、 AB 的长19.(12 分) 已知两个定点 A(1,0)、B(2,0) ，求使MBA 2MAB 的点 M 的轨迹方程20(12 分) 已知点 A(0，2)，B(0,4) ，动点 P(x，y )满足 y 28.APB(1)求动点 P 的轨迹方程；(2)设(1)中所求轨迹与直线 yx2 交于 C、D 两点求证：OCOD (O 为原点)21.(12 分) 已知抛物线 C：y 22px(p0)过点 A(1，2)(1)求抛物线 C 的方程，并求其准线方程(2)是否存在平行于 OA(O 为坐标原点)的直线 l，使得直线 l 与抛物线 C 有公共点，且直线 OA 与 l 的距离等于 ？若存在，求出直线 l
7、 的方程；若不存在，说明理由5522(12 分) 已知椭圆 C 的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线 y x2 的焦点，离心率为 .14 255(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)过椭圆 C 的右焦点 F 作直线 l 交椭圆 C 于 A，B 两点，交 y 轴于点 M，若 mA， n ，求 mn 的值FAMB第二章 圆锥曲线与方程(B)1A 2a18，两焦点恰好将长轴三等分，2c 2a6，a9，c3，13b2a 2c 272，故椭圆的方程为 1.x281 y2722B 点 P 在线段 AB 上时| PA|PB |是定值，但点 P 轨迹不是椭圆，反之成立，故选 B.3D4D
8、 P 在以 MN 为直径的圆上5A6B 2a314.a2，又c 1，m2 m2 1离心率 e .ca 127B A，B 在双曲线的右支上，|BF 1| |BF2| 2a，|AF 1|AF 2|2a，| BF1| AF1|(|BF 2|AF 2|)4a，|BF 1|AF 1|4am，ABF 1 的周长为 4amm 4a2m .8A如图所示过点 F 作 FM 垂直于直线 3x4y90，当 P 点为直线 FM 与抛物线的交点时，d 1d 2 最小值为 .|3 9|5 1259B 由题意 B 为抛物线的焦点令 A 的横坐标为 x0，则|AB|x 011，x 00.10A11C 由Error!消去 y
9、得，k2x24(k2)x40，故 4( k2) 24k 2464(1k)0，解得 k1，由 x1x 2 4，4k 2k2解得 k1 或 k2，又 k 1，故 k2.12B 因为 0，所以 ，PF1 PF2 PF1 PF2 则| |2| |2| F1F2|24c 236，PF1 PF2 故| |2 | |22 | |236，所以| |6.故选 B.PF1 PF2 PF1 PF1 PF2 PF2 PF1 PF2 13. 或 122 2解析 设椭圆的长半轴长为 a，短半轴长为 b，半焦距为 c，当以两锐角顶点为焦点时，因为三角形为等腰直角三角形，故有 bc，此时可求得离心率 e ca cb2 c2
10、c2c；同理，当以一直角顶点和一锐角顶点为焦点时，22设直角边长为 m，故有 2cm, 2a(1 )m，2所以，离心率 e 1.ca 2c2a m1 2m 214. 3解析 设直线 l 为抛物线的准线，过 A，B 分别作 AA1，BB 1 垂直于 l，A 1，B 1 为垂足，过 B 作 BE 垂直于 AA1 与 E，则 |AA1| AF|，| BB1|BF |，由 3 ，cos BAEAF ，|AE|AB| 12BAE 60，tan BAE .3即 k .315p 2162解析 设点 A，B 的横坐标分别是 x1，x 2，则依题意有焦点 F(1,0)，|AF|x 112，x 11，直线 AF
11、的方程是 x1，故|BF| |AF|2.17解 由椭圆方程为 1，知长半轴长 a13，短半轴长 b12，焦距的一半x29 y24c1 ，a21 b21 5焦点是 F1( ，0)，F 2( ，0) ，因此双曲线的焦点也是 F1( ，0) ，F 2( ，0)，5 5 5 5设双曲线方程为 1 (a0，b0)，由题设条件及双曲线的性质，得Error!，解得x2a2 y2b2Error!，故所求双曲线的方程为 y 21.x2418解 设 A、B 的坐标分别为 A(x1，y 1)、B(x 2，y 2)由椭圆的方程知 a24，b 21，c 23，F( ， 0)3直线 l 的方程为 yx .3将代入 y 2
12、1，化简整理得x245x28 x80，3x 1x 2 ，x 1x2 ，835 85|AB| x1 x22 y1 y22 .1 1(835)2 485 8519解 设动点 M 的坐标为 (x，y )设MAB ，MBA，即 2，tan tan 2 ，则 tan .2tan 1 tan2(1)如图(1)，当点 M 在 x 轴上方时，tan ，tan ，yx 1 y2 x将其代入式并整理得 3x2y 23 (x0，y0)；(2)如图(2)，当点 M 在 x 轴的下方时，tan ，tan ， yx 1 y2 x将其代入式并整理得 3x2y 23 (x0，y0，设 C、D 两点的坐标分别为(x 1，y 1
13、)，( x2，y 2)，则有 x1x 22，x 1x24.而 y1x 12，y 2x 22，y 1y2(x 12)(x 22)x 1x22(x 1 x2)44，k OCkOD 1，y1x1y2x2 y1y2x1x2OCOD.21解 (1)将(1，2)代入 y22px，得(2) 22p1，所以 p2.故所求的抛物线 C 的方程为 y24x，其准线方程为 x1.(2)假设存在符合题意的直线 l，其方程为 y2x t.由Error! 得 y22y 2t0.因为直线 l 与抛物线 C 有公共点，所以 48t0，解得 t .12另一方面，由直线 OA 到 l 的距离 d55可得 ，解得 t1.|t|5
14、15因为1 ，)，1 ，) ，12 12所以符合题意的直线 l 存在，其方程为 2xy10.22解 (1)设椭圆 C 的方程为 1 (ab0)x2a2 y2b2抛物线方程可化为 x24y ，其焦点为(0,1)，则椭圆 C 的一个顶点为(0,1)，即 b1.由 e .ca a2 b2a2 255得 a25，所以椭圆 C 的标准方程为 y 21.x25(2)易求出椭圆 C 的右焦点 F(2,0)，设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，M(0，y 0)，显然直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为yk(x 2)，代入方程 y 21，x25得(15k 2)x2 20k2x20k 250.x 1x 2 ，x 1x2 .20k21 5k2 20k2 51 5k2又 (x 1，y 1y 0)， (x 2，y 2y 0)，MA MB ( x12， y1)， (x 22，y 2)FF m ， n ，MA MB m ，n ，x1x1 2 x2x2 2mn ，2x1x2 2x1 x24 2x1 x2 x1x2又 2x1x22(x 1 x2)40k2 10 40k21 5k2 ，101 5k242(x 1x 2) x1x24 ，40k21 5k2 20k2 51 5k2 11 5k2 m n10.
