1、7.5 数列的前 n 项和一、学习目标：1熟练掌握等差数列与等比数列的求和公式；2能运用倒序相加、错位相减、拆项相消等重要的数学方法进行求和运算；3熟记一些常用的数列的和的公式二、自主学习：【课前检测】1.（09 年东城一模理 15）已知递增的等比数列 na满足 28432a,且 23a是 4,的等差中项.()求数列 na的通项公式;()若 1lognb,S是数列 nb的前 项和,求使 24nS成立的 的最小值.解:（）设等比数列 a的公比为 q,依题意有 423)(a, (1)又 8432,将(1)代入得 8a.所以 0.于是有 ,2013qa解得 ,21q或 .1,又 n是递增的,故 ,1
2、. 所以 na. () 2log1bn, 23nSn. 故由题意可得 34,解得 1或 7.又 Nn, 所以满足条件的 n的最小值为 13. 2.在数列a n中，a n ，又 bn ，求数列b n的前 n 项的1n 1 2n 1 nn 1 2anan 1和解：由已知得：a n (123n) ，1n 1 n2bn 8( ) 数列b n的前 n 项和为2n2n 12 1n 1n 1Sn8(1 )( )( )( )8(1 ) .12 12 13 13 14 1n 1n 1 1n 1 8nn 13已知在各项不为零的数列 na中， ),2(0, *1 Naa。（1）求数列 na的通项；（2）若数列 b满
3、足 1na，数列 nb的前 项的和为 nS，求 .解：（1）依题意， 0n，故可将 )2(01a整理得：)2(1an所以 nan)(1 即 n1，上式也成立，所以 （2） 1nab 1)(11nnbn )(43)2()(321 Snn 【考点梳理】（一）前 n 项和公式 Sn的定义：S n=a1+a2+an。（二）数列求和的方法（共 8 种）1.公式法：1）等差数列求和公式；2）等比数列求和公式；3）可转化为等差、等比数列的数列；4）常用公式:（1） 1nk1223()n；（2） k 6(21)n ；（3） 31nk33()n；（4） (2)k2-.5。2.分组求和法：把数列的每一项分成多个项
4、或把数列的项重新组合，使其转化成等差数列或等比数列，然后由等差、等比数列求和公式求解。3.倒序相加法：如果一个数列a n，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前 n 项和即可用倒序相加法。如：等差数列的前 n 项和即是用此法推导的。4.裂项相消法：即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求和。适用于 1nac其中 n是各项不为 0 的等差数列，c 为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。如：1） 1n和 1na（其中 na等差）可裂项为：11()nnada ；2） 11()nnnad。 （根式在分母上时可考虑利用分母有理化，因式相消 求和）常见裂项公
5、式：（1） 1()nn；（2） ()kk；（3） 11()2()()2nnn；（4） !（5）常见放缩公式： 121 11() ()n nnn.5.错位相减法：适用于差比数列（如果 a等差， b等比，那么 ab叫做差比数列）即把每一项都乘以 nb的公比 q，向后错一项，再对应同次项相减，转化为等比数列求和。如：等比数列的前 n 项和就是用此法推导的. 解读：6.累加（乘）法7.并项求和法：一个数列的前 n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如 an(1) nf(n)类型，可采用两项合并求。8.其它方法：归纳、猜想、证明；周期数列的求和等等。解读：三、合作探究：题型 1 公式法例 1
6、（2005 年春季北京 17 改编）数列b n的通项公式为 bn=3n1.（1）求数列b n的前 n 项和 Sn的公式；（2）设 Pn=b1+b4+b7+b3n2 ，Q n=b10+b12+b14+b2n+8，其中 n=1，2，试比较 Pn与 Qn的大小，并证明你的结论.解:（1）S n= )(nb= 3n2+ 1n.（2）b 1，b 4，b 7，b 3n2 组成以 3d 为公差的等差数列，所以 Pn=nb1+ )(3d= 9n2 5n；b10，b 12，b 14，b 2n+8组成以 2d 为公差的等差数列，b 10=29，所以 Qn=nb10+ 2)(2d=3n2+26n.PnQ n=（ 9
7、n2 5n）（3n 2+26n）= 3n（n19）.所以，对于正整数 n，当 n20 时，P nQ n；当 n=19 时，P n=Qn；当 n18 时，P nQ n.变式训练 1 等比数列 na的前项和 S 2 p，则 22321naa _.解：1）当 n=1 时， p-21；2）当 n时， 1-n1-nn1-n )()(。因为数列 na为等比数列，所以 p2pa-从而等比数列 为首项为 1，公比为 2 的等比数列。故等比数列 2na为首项为 1，公比为 4q的等比数列。 1)-(3-)(nn22321n小结与拓展：1）等差数列求和公式；2）等比数列求和公式；3）可转化为等差、等比数列的数列；
8、4）常用公式:（见知识点部分） 。5）等比数列的性质：若数列 na为等比数列，则数列 2na及 1也为等比数列，首项分别为 21a、 ，公比分别为 2q、 1。题型 2 分组求和法例 2 在数列 n中，已知 a1=2， an+1=4an3 n1， n N.（1）设 b，求数列 b的通项公式;（ 2） 设 数 列 n的 前 n 项 和 为 Sn， 求 Sn。解：（1） nnbaaa 4)()1(34)1(1 且 bn为以 1 为首项，以 4 为公比的等比数列 11nq（2） na 2)(3Sn变式训练 2 （2010 年丰台期末 18）数列 na中， 1，且点 1, )na()N在函数 ()fx
9、的图象上.（）求数列 的通项公式；（）在数列 中，依次抽取第 3，4，6， 12n，项，组成新数列 nb，试求数列 nb的通项 n及前 项和 nS.解：（）点 1(, )na在函数 ()2fx的图象上， 12na。 12na，即数列 n是以 1a为首项，2 为公差的等差数列， 1()21nan。（）依题意知： 12(2)3n nb 12nnS = 113)niii=112n.小结与拓展：把数列的每一项分成多个项，再把数列的项重新组合，使其转化成等差数列或等比数列，然后由等差、等比数列求和公式求解。题型 3 裂项相消法例 3 (武汉市 2008 届高三调研测试文科) 设数列 na的前 n 项和)
10、N(n1,-42n-1)Sn 。 （1）求数列 的通项公式 na；(2)记(nba，求数列 nb前 n 项和 T解：（1）数列 n的前 n 项之和 1-)4n(2-1)Sn在 n=1 时， 11()248s在 2n时， 1nna2()4)()(1)n1(n而 n=1 时， 18a满足 (1)4)nn故所求数列 n通项 （2） ()()4(1)1nban因此数列 n的前 n 项和 )4()-Tn变式训练 3 （2010 年东城二模 19 改编）已知数列 na的前 项和为 nS， 1a，14nSa，设 12nnba （）证明数列 b是等比数列；（）数列 nc满足 2log3nn*()N，求 123
11、41n nTccc 。证明：（）由于 14nSa， 当 2时， 得 11nn 所以 112()nnaa 又 nba， 所以 b因为 1，且 1214a，所以 2134所以 2故数列 n是首项为 ，公比为 2的等比数列 解：（）由（）可知 2nb，则 2log3nncb（ n*N） 12341n nTcc 114567(3)44()小结与拓展：裂项相消法是把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求和。它适用于 1nac其中 n是各项不为 0 的等差数列，c 为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。如：1） 1n和 1na（其中 na等差）可裂项为：11()nnada；2） 1()nn
12、d。 （根式在分母上时可考虑利用分母有理化，因式相消求和）题型 4 错位相减法例 4 求数列 ,2,6,23n前 n 项的和.解：由题可知 n的通项是等差数列2n的通项与等比数列 n21的通项之积设 nnS432 14261 （设制错位）得 1432)2( nn （错位相减）12n 4nS变式训练 4 (2010昌平模拟)设数列a n满足 a13a 23 2a33 n1 an ，nN *.n3(1)求数列a n的通项公式；(2)设 bn ，求数列b n的前 n 项和 Sn.nan解：(1)a 13a 23 2a33 n1 an ， n3当 n2 时，a 13a 23 2a33 n2 an1 .
13、 n 13得 3n1 an ，a n .13 13n在中，令 n1，得 a1 ，适合 an ， a n .13 13n 13n(2)b n ，b nn3 n.nanS n323 233 3n 3n， 3S n3 223 333 4n 3n1 . 得 2Snn 3n1 (33 23 33 n)，即 2Snn 3n1 ， S n .3(1 3n)1 3 (2n 1)3n 14 34题型 5 并项求和法例 5 求 10S100 299 298 297 22 21 2解： 100 299 298 297 22 21 2(100 99)(9897)(21)5050.变式训练 2 数列(1) nn的前 2
14、010 项的和 S2 010为( D )A.2010 B.1005 C.2010 D.1005解：S 2 010123452 0082 0092 010(21)(43)(65)(2 0102 009)1 005.题型 5 累加（乘）法及其它方法：归纳、猜想、证明；周期数列的求和等等例 6 （1）求 1个n之和.（2）已知各项均为正数的数列a n的前 n 项的乘积等于 Tn= 261()4n (nN *)，2lognnba，则数列b n的前 n 项和 Sn中最大的一项是（ D ）AS 6 BS 5 CS 4 DS 3解：（1）由于 )10(9911 kkk个个 （找通项及特征） 1个n )10(
15、9)10(9)()( 32 n（分组求和） )1()00(932 个nn n )10(8nn（2）D变式训练 6 （1） （2009 福州八中）已知数列1,na为 奇 数为 偶 数则 10a , 1234910aa。答案：100 5000。（2）数列 n中， 11nn，且 201a，则前 2010 项的和等于（ A ）A1005 B2010 C1 D0小结与拓展：四、课堂总结：以上一个 8 种方法虽然各有其特点，但总的原则是要善于改变原数列的形式结构，使其能进行消项处理或能使用等差数列或等比数列的求和公式以及其它已知的基本求和公式来解决，只要很好地把握这一规律，就能使数列求和化难为易，迎刃而解
16、。五、检测巩固：1求下列数列的前 n项和 nS：（1）5，55，555，5555， 5(10)9n，； （2） 11,3245(2)n ；（3） 1na； （4） 23,naa ；（5） ,2435,(2),n ；（6） 2222sin1isisin89 解：（1） 5nnS 个 (99)n 个235(10)(1)(0)(10)9n3589n（2） ()(2)2n， 111 ()34352Sn 1()2n（3） ()()na 11232nSn()()() 1（4） 23nnSaa ，当 1时， n ()2，当 时， 23 n ， 234naSa 1n，两式相减得 23(1)nSa 11()nn
17、a，212()naS（5） n， 原式 22(13 2)(13 )n(1)276n（6）设 2siisisi89S ，又 222n89n87 ， ， 2已知数列 na的通项65()2nn为 奇 数为 偶 数，求其前 n项和 nS解：奇数项组成以 1a为首项，公差为 12 的等差数列，偶数项组成以 24为首项，公比为 4 的等比数列；当 n为奇数时，奇数项有 n项，偶数项有 12n项，1 121(65)4()()34()2 3n nnS ，当 为偶数时，奇数项和偶数项分别有 项， 2(165)4(1)(3)4(21)2nnnS，所以，1()3()24()nn为 奇 数为 偶 数3数列 na前 项和 ()nSpR，数列 nb满足 2lognna，若 n是等比数列，（1） 求 p的值及通项 na；（2）求和 2213()()nTbb 12*()()nbN4设数列 , , 的前 项和为 nS，则 等于（ ）()An()B2n ()C12n ()D12六、学习反思：
