1、双基限时练( 二十一)1若 n(2，3,1)是平面 的一个法向量，则下列向量中能作为平面 法向量的是( )A(0，3,1) B(2,0,1)C (2，3,1) D(2,3，1)答案 D2设平面 的法向量为(1,2，2)，平面 的法向量为(2， 4， k)，若 ，则 k( )A2 B4C 4 D2答案 C3若平面 与平面 的法向量分别是 a(4,0，2)，与b(1,0,2)，则平面 与平面 的位置关系是( )A平行 B垂直C相交不垂直 D无法判定答案 B4若直线 l1 的方向向量与 l2 的方向向量的夹角为 150，则 l1与 l2 这两条异面直线所成的角等于( )A30 B150C 30或 1
2、50 D以上均错答案 A5若直线 l 的方向向量与平面 的法向量的夹角等于 120，则直线 l 与平面 所成的角等于( )A120 B60C 30 D以上均错解析 如图所示，易知直线 l 与平面 所成的角为 30.答案 C6已知 A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则平面 ABC 的一个单位法向量是( )A. B.(33，33， 33) ( 33， 33，33)C. D.( 33，33，33) ( 33， 33， 33)解析 (1,1,0)， (1,0,1)，结合选项，验证知应AB AC 选 D.答案 D7已知棱长为 1 的正方体 ABCDA 1B1C1D1，则平面 ACB1
3、 的一个法向量为_解析 建立空间直角坐标系，如图所示，则 A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，B 1(1,1,1)， (1,1,0) ，AC (0,1,1)AB1 设平面 ACB1 的一个法向量为 n(x ，y，z)，则由 n ，n ，AC AB1 得Error!令 x1，得 n(1,1，1)答案 (1,1，1)8若两个平面 ， 的法向量分别等于 u(1,0,1)，v ( 1,1,0)则这两个平面所成的锐二面角的度数是_解析 a(1,0,1) ，v(1,1,0)，|u | ， |v| ，uv1.2 2cos u v .12u，v120，故两平面所成的锐二面角为 60. 答案
4、609已知直线 l1 的一个方向向量为 v1(1，1,2)，直线 l2 的一个方向向量为 v2(3 ，3,0)，则两直线所成角的余弦值为_解析 cos v 1，v 2 .v1v2|v1|v2| 3 36 18 33答案 3310给定下列命题：若 n1，n 2 分别是平面 ， 的法向量，则 n1n 2；若 n1，n 2 分别是平面 ， 的法向量，则 n 1n20；若 n 是平面 的法向量，且向量 a 与平面 共面，则an 0；若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直其中正确命题的序号是_答案 11设 a，b 分别是直线 l1 和 l2 的方向向量，根据下列条件判断l1 与 l2 的位置关
5、系(1)a (2,3，1)，b (6，9,3)；(2)a (5,0,2)，b(0,4,0)；(3)a (2,1,4) ，b(6,3,3)解 (1) a (2,3，1)，b(6，9,3)，a b，13ab，l 1l 2.(2)a (5,0,2)，b(0,4,0)，ab0，ab，l 1l 2.(3)a (2,1,4) ，b (6,3,3)，a 与 b 不共线，也不垂直，l 1 与 l2 的位置关系是相交或异面12设 u， v 分别是平面 ， 的法向量，根据下列条件判断， 的位置关系(1)u(1，1,2) ，v ；(3，2， 12)(2)u(0,3,0) ，v(0，5,0)；(3)u(2，3,4)
6、，v(4，2,1)解 (1) u(1，1,2)，v ，(3，2， 12)uv3210.uv，.(2)u(0,3,0) ，v(0，5,0)，u v，uv ，35 .(3)u(2，3,4) ，v(4，2,1)，u 与 v 既不共线，也不垂直，平面 与 相交(不垂直 )13设 u 是平面 的法向量， a 是直线 l 的方向向量，根据下列条件判断 与 l 的关系(1)u(2,2 ，1) ，a (3,4,2)；(2)u(0,2 ，3) ，a (0，8,12)；(3)u(4,1,5) ，a(2， 1,0)解 (1) u(2,2，1)，a( 3,4,2)，ua 6820.ua.直线 l 与平面 的位置关系是 l 或 l.(2)u(0,2，3) ，a (0 ，8,12)，u a.u a， l.14(3)u(4,1,5) ，a(2，1,0)，u 与 a 不共线也不垂直l 与 相交(斜交)14若直线 a 和 b 是两条异面直线，它们的方向向量分别是(1,1,1)，和 (2，3， 2)，求直线 a 和 b 的公垂线的一个方向向量解 设直线 a 与 b 的公垂线的一个方向向量为 n(x，y ，z)，则 n(1,1,1)，n(2 ，3，2)，Error!Error!令 z 5，得 x1，y4，故直线 a 和 b 的公垂线的一个法向量为(1,4，5)
