1、福建省三明市第一中学 2015 届高三上学期第二次月考数学（理）试题第 I 卷(选择题 共 50 分)一、选择题：（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 请将答案填在答题卡的相应位置）1. 复数 ( )534iA 34i C 345i D 345i2.已知随机变量 服从正态分布 ， ,则 （ 2,N0.8P2P）A C D0.680.34.17.163. 已知三个数 2,m，构成一个等比数列 ,则圆锥曲线2xym的离心率为（ ） （ C ）AB 3 C 2或 3 D 2或 64. 若 ，则“ ”是“方程 表示双曲线”的（ ）kR4
2、k1xykA充分不必要条件 必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 5. 某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是 ，则 的可能值为 ( )95aA B C D45676. 从某高中随机选取 5 名高三男生，其身高和体重的数据如下表所示：由下表可得回归直线方程 ，据此模型预报身高为 的男生的体重大约为（ 0.yxa172cm）A69.5 B70 C70.5 D71 kgkgkgkg7.一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了 10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如上图） 。为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽
3、出 100人作进一步调查，则在 （元）月收入250,3)段应抽出的人数为( ).A B C D2524238已知直线 经过抛物线 的焦点，则直线与抛物线相交弦弦长为10axy4yx（ ）A C D67899. 已知直线 与曲线 有公共点，则 的取值范围为（ :lyxb2:34yxb）A B C D3,121,12,310. 设 分别为 和椭圆 上的点，则 两点间的最大距离是QP,62yx02yxQP,（ ）A B. C. D.54726第 II 卷（非选择题共 100 分）二、填空题：（本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分，请将答案填在答题卡的相应位置 ）11. 已知 则 _；,)
4、31( 72107 xaxax 721a12. 已知直线 过圆 的圆心，且与直线 垂直，则 的方程l2650y0xyl是_ _；13. 不同的五种商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，丙、丁两种不能排在一起，则不同的排法种数共有 ；（用数字作答）14. 在区间 内随机的取两个数 ，则满足 的概率是 ；（用数字0,1,ab102ab作答）15.若 是过圆锥曲线中心的任意一条弦， 是圆锥曲线上异于 、 的任意一点，且ABMAB、 均与坐标轴不平行，则对于椭圆 有 ，类似地，M21xyab2Mbka对于双曲线 ，有 .21xyabAMBk三、解答题：（本大题共 6 小题，共 80 分，请
5、将答案写在答题卡的相应位置 ）16. （本小题满分 13分） 已知 ， ， ，1cos,2axsinco,1bxfxab()若 ， ，求 的值；0if（）求函数 的最小正周期及单调递增区间.fx17. （本小题满分 13分） 我国政府对 PM25 采用如下标准：PM2.5日均值 m（微克/立方米）空气质量等级30一级75二级m超标三明市环保局从 180天的市区 PM25 监测数据中，随机抽取 l0天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示(十位为茎，个位为叶)() 求这 10天数据的中位数.（）从这已检测到的 l0天数据中任取 3天数据，记 表示空气质量达到一级的天数，求的分布列；（）以这 10天的
6、 PM25 日均值估计这 180天的空气质量情况，其中大约有多少天的空气质量达到一级18. （本小题满分 13分） 设数列 的前 项和为 ，并且满足 ， nanS2nSa0nN() 求 ；123,2 8 23 8 2 1 4 4 56 3 87 7（）猜想 的通项公式，并用数学归纳法加以证明.na19. （本小题满分 13分）如图，在四棱锥 PABCD中， 平面 ABCD，底面 是菱形， 2,60.() 求证： 平面 ;（）若 ,求 与 所成角的余弦值；（）当平面 PBC与平面 垂直时，求 PA的长. 20. （本小题满分 14分）如图，已知椭圆 的离心率为 ，以该椭圆上的点和椭圆的左、右21
7、(0)xyab 2焦点 为顶点的三角形的周长为 .一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设12,F4(1为该双曲线上异于顶点的任一点，直线 和 与椭圆的交点分别为 和 .PPF2 BA、 CD、（）求椭圆和双曲线的标准方程；（）设直线 、 的斜率分别为 、 ，证明 ；12PF1k212k（）探究 是否是个定值，若是，求出这个定值；ABCD若不是，请说明理由.ADCBP一、选择题题目 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 C B C A A B A C D D二、填空题11、 12、 13、 14、 15、12930xy24182ba三、解答题16、解(I) ， ， ， -022sincos
8、2-2分-121cosicsfab-5分(II) ，csincs2fxxx 1oab21incosxx1cssin22xisin4-9分所以 的最小正周期 , -fxT-10分由 得， ，22,4kkZ3,88kxkZ所以 的的单调增区间为 . -fx3,8Z-13分17解(I)10 天的中位数为 （微克/立方米） -4122分(II)由 , 的可能值为 0，1，2，3 -10,3NMn-3分利用 即得分布列： -46310()kCP ), (-7分0 1 2 3p601-10分(III)一年中每天空气质量达到一级的概率为 ，由 , 得到 -5221805B-12分 (天) ，218075E故
9、一年中空气质量达到一级的天数为 72天. -13分18. 解：分别令 n1,2,3，得Error! an0， a11， a22， a33. -4分(2)解 猜想： an n， -5分由 2Sn a n， 2n可知，当 n2 时，2 Sn1 a ( n1)， 2n 1，得 2an a a 1，即 a 2 an a 1. -2n 2n 1 2n 2n 1-6分()当 n2 时， a 2 a21 21， a20， a22； -2-7分()假设当 n k(k2)时， ak k.那么当 n k1 时，ak1 ( k1) ak1 ( k1)0， ak1 0， k2， ak1 ( k1)0， ak1 k1.
10、这就是说，当 n k1 时也成立， an n(n2)显然 n1 时，也适合综合（1） （2）可知对于 nN *， an n都成立。 -13分19.解：证明：（）因为四边形 ABCD 是菱形，所以 ACBD. -1分又因为 PA平面 ABCD. 所以 PABD. 又因为 -PAC-2分所以 BD平面 PAC. -3分（）设 ACBD=O.因为BAD=60 ，PA=AB=2, 所以 BO=1，AO=CO= . -3-4分以 O 为坐标原点， OB 为 X 轴， OC 为 Y 轴建立空间直角坐标系 Oxyz，则 P（0， ，2） ，A （0， ，0 ） ，B（1，0 ，0） ，C（0， ，0 ）.
11、3所以 -).,32(),3,1(CB-5分设 PB 与 AC 所成角为 ，则. -4632|cosAPB-8分（）由（）知 ).0,1(C设 P（0， ，t） （t0） ，则 -3),3(tBP-9分设平面 PBC 的法向量 ,)(zyxm则 0,BPC所以 取 则 所以 -3,tzyx,3y.6,tzx)6,3(tm-10分同理，平面 PDC 的法向量 -),(tn-11分因为平面 PCB平面 PDC,所以 =0，即m0362t解得 ，所以 PA= -6t6-13分20.解（）设椭圆的半焦距为 c，由题意知： ，2a+2c=4( +1)所以2ca2a=2 ，c=2，2又 = ，因此 b=2
12、。故 椭圆的标准方程为 -abc2184xy-2分由题意设等轴双曲线的标准方程为 ，因为等轴双曲线的顶点是椭圆2xym0的焦点。所以 m=2，因此 双曲线的标准方程为 -214xy-4分（）设 P（ ） ，0,xy12,0,F则 = ， 。 -1k020k-6分因为点 P在双曲线 上，所以 。24xy204xy因此 ，即 -20012 1k2k-8分（III）设 A（ ， ） ，B（ ） ，由于 的方程为 ，将其代入椭圆方1xy2,xy1PF12ykx程得-21180kk-9分所以 ，所以 -2211128,kxxk-10分-22112121124884ABxkk-11分同理可得 . -214kCD-12分则 ，22111()4kAB又 ，12k所以 .2211()4kABCD22113()88k故 恒成立. -138-14分21 解：（ 1）定义域 ),0(), -1分 （2 ）,0)1ln()(2 时当 xxxf )(xf单调递减。 -4分当 )0,1(x，令0)1()1()l(1)( 22xxgxg-6分故 )(g在（1，0 ）上是减函数，即 0)(， -7分故此时)1ln()(2 xxf,在（1 ，0）和（0 ，+ ）上都是减函数 -8分
