2018年福建省三明市第一中学高三上学期第二次月考数学（理）试题 PDF版.rar

高三理科数学试题第 1 页（共 6页）三明一中2017—2018学年上学期第二次月考试卷高三理科数学试题（考试时间：120分钟 满分：150分）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请把答案填在答题卷相应的位置上．1．已知集合  22 5 3 0A x x x    ，  2B x Z x   ，则A BA． 1 22x x      B． 3 2x x   C． 0,1,2 D． 1,22. 已知向量    1, , 3, 2a m b    ，且 a b b   ，则mA． 8 B． 6 C．6 D．83．已知双曲线  2 22 2: 1 0, 0x yC a ba b    的离心率为 52 ，则C的渐近线方程为A． 14y x B． 13y x C． 12y x D．y x4. 直线 0x y m   与圆 2 2 2 1 0x y x    有两个不同的交点，则m的取值范围为A． 3 1m   B． 3 1m   C．0 1m  D． 1m5．《张丘建算经》是我南北朝时期的一部重要数学著作，书中系统介绍了数列知识，同类结果在三百多年之后的印度才首次出现.书中有这样一个问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈（1匹 4 丈，1丈 10 尺），问日益几何？”大意为：某女善织布，后一天比前一天织得快，而且每天增加的数量相同，已知第一天织布5尺，一月（按30天计）共织九匹三丈布，问每天增加的数量是多少A． 829尺 B．1629尺 C．3229尺 D．12尺6．函数   | 1|ln xf x e  的图象大致是（ ）A． B． C． D．高三理科数学试题第 2 页（共 6页）7．将函数   sin2 3cos2f x x x  图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将图象上所有点向右平移 6 个单位长度，得到函数  g x 图象的一条对称轴方程为A． 23x  B． 6x  C． 6x  D． 524x 8．若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A．10 B．20 C．30 D．409．已知实数 ,x y满足条件 3 02 4 03x yx yx       ，则  22 1z x y  的最小值为A． 10 B． 5 C．10 D．510．在四面体S ABC 中，AB BC , 2AB BC  , 2SA SC  ,二面角S AC B  的余弦值是 33 ，则该四面体外接球的表面积是A．8 6 B．24 C．6 D． 611．函数    sin 2 , 02f x A x A       部分图象如图所示，且    0f a f b  ，对不同的  1 2, ,x x a b ，若    1 2f x f x ， 1 2 3f x x  ，则A．  f x 在 5 ,12 12    上是增函数 B．  f x 在 5 ,12 12    上是减函数C．  f x 在 5,3 6    上是增函数 D．  f x 在 5,3 6    上是减函数12．已知a为常数，函数  ( ) lnf x x x ax  有两个极值点  1 2 1 2,x x x x ，则A．    1 2 10, 2f x f x  B．    1 2 10, 2f x f x C．    1 2 10, 2f x f x  D．    1 2 10, 2f x f x 高三理科数学试题第 3 页（共 6页）第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题中，每小题5分，共20分.请把答案写在答题卷相应位置上．13．  1 21 x x dx   ******．14．在报名的5名男生和4名女生中，选取4人参加志愿服务，要求男生、女生都有，则不同的选取方法的种数为******．（用数字作答）15．已知椭圆  2 22 2: 1 0x yC a ba b    的左焦点为F,C与过原点的直线相交于 ,A B两点，连接 ,AF BF,若 410, 8,cos 5AB BF ABF    ,则椭圆C的离心率为******．16．已知各项均为正数的数列 na 满足 1 12 4nn aa    ， 1 72a  ， nS 为数列 na 的前n项和，若对于任意的 *n N ，不等式 12 2 312 2 nk nn S    恒成立，则实数k的取值范围为******.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）如图，在四边形ABCD中， 3A  ， : 2:3AC AB ， 7BC  ．（Ⅰ）求sin ABC 的值；（Ⅱ）若 3ABD   ， 1BD ，求sin CBD 的值及 BCD 的面积．高三理科数学试题第 4 页（共 6页）18．（本小题满分12分）已知数列 na 是等比数列，公比 0q ， 1 5 16a a  ， 4 8a  ．（Ⅰ）求数列 na 的通项公式；（Ⅱ）设  1 1 11 2 2 3 1n n n nb n n       ， n n nc a b  ，求数列 nc 的前n项和 nS ．19．（本小题满分12分）如图，已知长方形ABCD中， 2AB ， 1AD ，M 为DC的中点．将△ADM 沿AM 折起，使得平面ADM ⊥平面ABCM．（Ⅰ）求证：AD⊥BM；（Ⅱ）若点E为棱DB上的点，且 12DE EB ，求二面角E AM D  的大小．高三理科数学试题第 5 页（共 6页）20．（本小题满分12分）已知抛物线  2 2 0 4x py p   的焦点为F，直线 4x 与抛物线的交点为Q，且 5QF  .（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）过F的直线l与抛物线相交与 ,A D两点，与圆  22 1 1x y   相交于 ,B C两点（ ,A B两点相邻），过 ,A D两点分别作抛物线的切线，两条切线相交于点M ，求△ABM与△CDM 面积之积的最小值.21．（本小题满分12分）已知 2( ) 2xf x e ax x b    （e为自然对数的底数， Rba , ）， ( )f x 为 )(xf 的导函数.（Ⅰ）设   ( )g x f x ，讨论函数  g x 的单调区间；（Ⅱ）若 0a ， ( ) 0f x  恒成立，求符合条件的最小整数b.高三理科数学试题第 6 页（共 6页）注意：请考生在22、23题两题中任选一道．．．．题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22．（本小题满分10分）已知直线l的参数方程为 1 3x ty t   （t为参数），曲线C的极坐标方程为 2cos3sinxy   （为参数）.（Ⅰ）分别求直线l与曲线C的普通方程；（Ⅱ）已知  1,0P ，若l与曲线C交于 ,A B两点，M 为线段AB的中点，求 PM AB 的值.23．（本小题满分10分）设函数    4 0f x x x m mm     .（Ⅰ）求证:   4f x  恒成立；（Ⅱ）当 1m 时，不等式   2 2 7f x a a   对任意a R 恒成立，求实数x的取值范围.高三理科数学参考答案 第 1 页（共 8页）三明一中2017-2018学年第一学期第二次月考高三理科数学试卷参考答案一、选择题：每小题5分，共60分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 C D C A B C A B D C A B二、填空题：每小题5分，共20分.13. 1 14. 120 15._ 57 __ 16.__ 3,8  __.三、解答题：17.解：解析:（1）由 : 2:3AC AB ，可设 2AC x ， 3AB x ．又∵ 7BC ， 3A  ，∴由余弦定理，得 2 2 2( 7) (3 ) (2 ) 2 3 2 cos 3x x x x      ， …2分解得 1x ，∴ 2AC  ， 3AB ， …4分由正弦定理，得 32sin 212sin 77AC AABC BC     ． …6分（2）由（1）因为BC AC ，所以 3ABC BAC    ， …7分所以 221 2 7cos 1 7 7ABC         , …8分因为 ,3ABD  所以sin sin sin cos cos sin3 3 3CBD ABC ABC ABC            ……9分3 2 7 1 21 212 7 2 7 14     , ………10分高三理科数学参考答案 第 2 页（共 8页）又因为 1BD ,所以 1 1 21 3sin 1 72 2 14 4CBDS BC BD CBD           .………12分所以 21sin 14CBD  , 1 1 21 3sin 1 72 2 14 4CBDS BC BD CBD           .18.解： （Ⅰ）因为数列 na 是等比数列，所以 21 5 3 16a a a  ，则 3 4a  或4， …1分因为 0q ，所以 3 4a  ， ………2分故 43 2aq a  ， ……………3分则 31 2 1aa q  ，故 1 1 11 1 2 2n n nna a q       ，即数列 na 的通项公式为 12nna  ……………5分（Ⅱ）由条件知， )1( 132 121 1  nnnnnbn ))1( 132121 1)(1(  nnn )1113121211)(1(  nnn nnn  )111)(1( …………8分则 12nn na b n    ， …………9分故  0 1 2 2 11 2 2 2 3 2 1 2 2n nnS n n             ① 1 2 3 12 1 2 2 2 3 2 1 2 2n nnS n n            ②②①得    1 2 1 1 21 2 2 2 2 2 1 2 11 2nn n n nnS n n n              ………12分19.解：（Ⅰ）证明：因为长方形ABCD中， 2AB ， 1AD ，M 为DC的中点，所以 2AM BM  ，所以 2 2 4AM BM  ，即AM BM ， …………………1分因为平面ADM ⊥平面ABCM，平面ADM 平面ABCM AM ，BM 平面ABCM，所以BM 平面ADM . …………………4分又因为AD平面ADM ，所以AD⊥BM； …………………5分高三理科数学参考答案 第 3 页（共 8页）（Ⅱ）取AB中点为N，连接 ,ON OD，则OD AM ， / /ON BM，ON AM ，所以ON 平面ADM .因为OD平面ADM ，ON OD ，所以以O为坐标原点， , ,OA ON OD分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系O xyz ， …………………6分则 2 ,0,02A    ， 2 , 2,02B    ， 20,0, 2D    ，因为 12DE EB ，所以 13DE DB   1 2 2 2 2 2, 2, , ,3 2 2 6 3 6                ，所以 2 2 2 2 2 2 2 2 2,0, , , , ,2 2 6 3 6 3 3 3AE AD DE                                ，…7分设  , ,n x y z 为平面AEM的一个法向量，所以 2 2 2 2 03 3 32 02n AE x y zn OA x           ，取 0x ， 1y ， 1z ，所以  0,1, 1n  ， …………………9分显然  0,0,1m 为平面AMD的法向量， …………………10分所以 1 2cos , 22n mn m n m         ， …………………11分又因为二面角E AM D  是锐二面角，所以二面角E AM D  的大小为45. …12分20.解： （Ⅰ）法一：由 2 24x pyx   得 84y px   ，所以Q的坐标为 84, p   ， ……1分高三理科数学参考答案 第 4 页（共 8页）0, 2PF   ， 22 84 52pQF p       ，又因为0 4p  ，所以 2p ， ……3分所以抛物线方程为 2 4x y . ……4分法二：由 2 24x pyx   得 84y px   ，所以Q的坐标为 84, p   ， ……1分所以 8 52pp  即 2 10 16 0p p   ，所以 2p 或8.又因为0 4p  ，所以 2p ， …………3分所以抛物线方程为 2 4x y . …………4分（Ⅱ）依题意，直线l的斜率存在，设为k，设l的方程为： 1y kx  ，联立 2 14y kxx y   得 2 4 4 0x kx   . ……5分显然  24 16 0k    ，设    1 1 2 2, , ,A x y D x y ，则 1 2 1 24 , 4x x k x x   ， …………6分又 214y x 得 12y x .所以直线MA：  21 1 11 14 2y x x x x   ，即 21 12 4x xy x  ，同理直线MA： 22 22 4x xy x  ，由 21 1 22 22 42 4x xy xx xy x     得 1 21 2 22 14x xx kx xy      ，即  2 , 1M k  ， …………8分高三理科数学参考答案 第 5 页（共 8页）所以  2 , 1M k  到直线 1 0kx y   的距离为 2 222 2 2 11kd kk    ， …………9分所以    2 21 1 1 14 4ABM CDMS S AB CD d AF DF d          …………10分2 22 2 21 21 21 1 1 14 4 16x xy y d d k        ，当且仅当 0k  时取等号.所以△ABM与△CDM面积之积的最小值为1. …………………12分21.解：（Ⅰ）证明： ( ) ( ) 2 2xg x f x e ax    ,则 ( ) 2xg x e a   ………1分①当 0a 时， ( ) 0g x  ，  g x 的增区间为 ,  ，无减区间; …………3分②当 0a  时，令 ( ) 0g x  ， ln 2x a ；令 ( ) 0g x  ， ln 2x a .所以当 0a  时， ( )g x 的减区间为( ,ln2 )a ， ( )g x 的增区间为(ln2 , )a  .………5分（Ⅱ）证明： ( ) ( ) 2 2xg x f x e ax    ，则 ( ) 2xg x e a  因为 0a ，所以 ( ) 0g x  ，所以 ( )g x 单调递增，又 (0) 1 0g   ， 022)1(g  ae ，所以存在 0 (0,1)x  ，使得 0( ) 0g x  ，即0 02 2 0xe ax   ……6分则 0( , )x x  时， ( ) ( ) 0,g x f x  ( )f x 单调递减；0( , )x x  时， ( ) ( ) 0,g x f x  ( )f x 单调递增；所以 0 2min 0 0 0( ) ( ) 2 0xf x f x e ax x b      恒成立， ……7分而 0 02 2 0xe ax   ，所以00 0 02 00 0 0 0 02 ( 1) 2 ( 1)2 2xx x xxeb e ax x e x x e x          . …………8分令 ( ) ( 1) , (0,1)2 xxm x e x x   高三理科数学参考答案 第 6 页（共 8页）( )n x  1( ) ( 1) 12 xm x x e    …………9分1( ) 02 xn x xe   ，所以 021)0()( nxn ， 所以 ( )m x 单调递增， …………10分1)1()0()( 0  emxm ，1 1( ) (1) ( 1) 1 1 0.359 02 2m x m e e       所以 01 ( ) 0m x   ， ……………………11分所以符合条件的b最小整数为0. ………………………12分法2：令 0, (0) 1 0, 1x f b b     ， ………………………6分现证明当 0b 时， ( ) 0f x  恒成立.当 0b ， 2( ) 2 ,xf x e ax x   ( ) ( ) 2 2xg x f x e ax    ，则 ( ) 2xg x e a  因为 0a ，所以 ( ) 0g x  ，所以 ( )g x 单调递增，又 (0) 1 0g   ， 022)1(g  ae ，所以存在 0 (0,1)x  ，使得 0( ) 0g x  ，即 0 02 2 0xe ax   ……7分则 0( , )x x  时， ( ) ( ) 0,g x f x  ( )f x 单调递减；0( , )x x  时， ( ) ( ) 0,g x f x  ( )f x 单调递增；所以 0 2min 0 0 0( ) ( ) 2xf x f x e ax x    ， ……8分而 0 02 2 0xe ax   ，所以 00 0 02 2 0min 0 0 0 0 0 00 2( ) ( ) 2 2 12 2xx x xxef x f x e ax x e x x e xx              .…9分令 ( ) (1 ) , (0,1)2 xxm x e x x   ( )n x  1( ) (1 ) 12 xm x x e    …………10分高三理科数学参考答案 第 7 页（共 8页）1( ) 02 xn x xe   所以 ( )m x 单调递减，1 1( ) (1) (1 ) 1 1 02 2m x m e e       ， …………11分所以当 0b 时， ( ) 0f x  恒成立.所以符合条件的b最小整数为0. ………………………12分22.解： （Ⅰ）由 1 3x ty t   消去t得直线l的普通方程为 3 3 0x y   ， ……2分由 2cos3sinxy   消去t得直线l的普通方程为 2 2 14 3x y  ； ………4分（Ⅱ）l的参数方程 1 3x ty t   可化为 11 232x ty t    （t为参数）， ………5分代入 2 23 4 12 0x y   得： 25 4 12 0t t   ， …………………6分24 4 5 12 0     ，设 ,A B两点对应的参数t分别为 1 2,t t ，则 1 2 45t t  ， 1 2 125t t  ， …………………7分则 1 2 22 5t tPM   ， …………………8分  221 2 1 2 4 12 164 45 5 5AB t t t t                  ， …………………9分2 16 185 5 5PM AB    . …………………10分高三理科数学参考答案 第 8 页（共 8页）23.解： （Ⅰ）证明：因为 0m ，所以   4 4 4 4 42 4f x x x m x m x x m x m mm m m m m                 .即   4f x  恒成立； …………………4分（Ⅱ） 1m 时，   24 1 2 7f x x x a a       对任意a R 恒成立，而  22 2 7 1 6 6a a a      ，当且仅当 1a 时取等号， …………5分所以 4 1 6x x    ， …………6分即 42 3 6x x   或 4 15 6x    或 12 3 6xx   . …………9分解得 9 32 2x   ，所以原不等式的解集为 9 32 2x x     . …………………10分