浙江省六校2015年高三联考数学（文）试卷 PDF版含答案.zip

数学（ 文 科）试题卷 · 第 1 页（共 4 页） 2015 届浙江省六校联考 数学（文科） 试 题 卷 一、选择题 （本题共有 8 小题，每小题 5 分，共 40 分） 1.已知集合  21,11 xyyNxxM  ， 则 MN （ ▲ ） A． ）（ 1,0 B． ]1,0[ C． )1,0[ D． ]1,0( 2． 若 a 是实数，则“ 2 4a ”是“ 2a ”的 （ ▲ ） A. 充要条件 B. 既不充分也不必要条件 C. 充分不必要条件 D. 必要不充分条件 3．将函数 cos( )3yx的图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍 (纵坐标不变 ),再向左平移 3 个单位 ,所得函数图象的一个对称中心 为 （ ▲ ） A． (0,0) B． ( ,0)4 C． ( ,0)2 D． (,0) 4.下列命题中 错误 ． ． 的是 （ ▲ ） A． 如果平面  平面  ， 那么平面  内一定存在直线平行于平面  B． 如果平面  不垂直于平面  ，那么平面  内一定不存在直线垂直于平面  C． 如果平面  平面  ，平面  平面  ， l，那么 l 平面  D． 如果平面  平面  ，那么平面  内 有且只有一条 直线垂直于平面  5.设实数列 { } { }nnab和 分别为等差数列与等比数列，且 1 1 4 48, 1a b a b   ，则以下结论正确的是 （ ▲ ） A． 22ab B． 33ab C． 55ab D． 66ab 6. 设 1A ， 2A 分别为 椭圆 221xyab（ a ＞ b ＞ 0） 的左、右 顶 点，若在 椭圆 上存在点 P ，使得1212PA PAkk  ，则该 椭圆 的离心率的取值范围是 （ ▲ ） A． 10,2B． 20,2C． 2,12D． 1,12数学（ 文 科）试题卷 · 第 2 页（共 4 页） 7．定义在 R 上的奇函数)(xf，当0x时，   2 , 0 , 11()1 3 , 1 ,x xxfxxx     ，则函数 1( ) ( )F x f x 的所有零点之和为 （ ▲ ） A． 121 B． 112 C． 41 D． 14 8． 如图 ,正方体 1 1 1 1ABCD A BC D 的棱长为 1, P 为 BC 的中点 ,Q 为线段 1CC 上的动点 ,过点A ,P ,Q 的平面截该正方体所得的截面记为 S . ① 当 10 2CQ时 , S 为四边形 ② 截面在底面上投影面积恒为定值 34 ③ 存在某个位置，使得截面 S 与平面 1ABD 垂直 ④ 当 34CQ 时 , S 与 11CD的交点 R 满足1113CR其中正确 命题 的 个数 为 （ ▲ ） A.1 B.2 C.3 D. 4 二 、 填空题 （第 9 题至第 12 题，每小题 6 分；第 13 题至第 15 题每小题 4 分，共 36 分） 9.函数 ( ) sin cosf x x x的 最小正 周期为 ▲ ， 单调增区间 为 ▲ ， ()12πf  ▲ . 10. 已知点 (2,1)M 及圆 224xy，则过 M 点的圆的切线方程为 ▲ ，若直线40ax y与圆相交于 A 、 B 两点，且 23AB ，则 a ▲ . 11． 某 空间几何体的三视图 （单位： cm ） 如图所示， 则其体积是 ▲ 3cm , 表面 积 是 ▲ 2cm ． 12．设实数 yx, 满足,4,,2xyxyxy 则 动 点( , )Pxy 所形成 区域 的面积为 ▲ ， | 2 2|z x y   的取值范围是 ▲ . （第 8 题图） （第 11 题图） 数学（ 文 科）试题卷 · 第 3 页（共 4 页） 13.已知 点 P 是双曲线 22 13xy 上任意一点，过点 P 分别作两渐近线的垂线，垂足分别为 A 、 B ，则线段 AB 的最小值为 ▲ . 14.已知 实数 x 、 y 满足 2241x y xy  ， 且 不等式20x y c   恒成立，则 c 的取值范围是 ▲ . 15. 如图， 圆 O 为 Rt ABC 的内切圆，已知3 , 4 , 5A C B C A B  ，过圆心 O 的直线 l 交 圆 O 于P 、 Q 两点，则 BPCQ 的取值范围是 ▲ . 三 、 解答题 （第 16 题至第 19 题，每题 15 分；第 20 题 14 分，共 74 分） 16.如图， 在 ABC 中， D 为 AB 边上一点， DA DC ，已知 4B ， 1BC （Ⅰ） 若 ABC 是锐角三角形， 63DC ，求角 A 的大小 ； （Ⅱ） 若 BCD 的面积为 16 ，求边 AB 的长 . 17.已知数列 na 的前 n 项和为 nS ，满足 )(22 *NnaS nn  （Ⅰ） 求数列 na 的通项公式； （Ⅱ） 令 2lognnba ， 1212nnnbbbT a a a   ，求满足 158nT 的最大正整数 n 的值 . P l Q A C O B . （ 第 14 题图 ） A D B C （ 第 16 题图 ） 数学（ 文 科）试题卷 · 第 4 页（共 4 页） 18.等腰梯形 ABCD ， / / , , , 2A B C D D E A B C F A B A E D E   ，沿 DE ,CF 将梯形折叠使,AB重合于点 A （如图）， G 为 AC 上一点 ， FG 平面 ACE . （Ⅰ） 求证： AE AF ； （Ⅱ） 求 DG 与平面 ACE 所成角的正弦值 . 19.已知抛物线 :C 2 2 ( 0)y px p上的点 M 到直线 :1l y x的最小距离为 24 ．点 N 在直线 l上，过点 N 作直线与抛物线相切，切点分别为 A 、 B ． （Ⅰ） 求抛物线方程； （Ⅱ） 当原点 O 到直线 AB 的距离最大时，求三角形 OAB 的面积． 20.已知函数 22( ) ( 1 ) 4 ( 5 ) , ( ) 5f x x a x a g x a x x       ，其中 .Ra （Ⅰ） 若 函数 ()fx、 ()gx 存在 相同的零点，求 a 的值； （Ⅱ） 若存在 两个正整数 m 、 n ， 当 0 ( , )x mn 时，有 0( ) 0fx 与 0( ) 0gx 同时成立，求 n 的最大值及 n 取最大值时 a 的 取值 范围 . F E A D C B 2 2 G F E A D C 2 2 1 2015 届浙江省六校联考 数学（文科） 答案 一、选择题 DCADACBC 二、填空题 9.2 ， 312 , 2 ( )44k k k z     ， 22 10.3 4 10 0xy   或 2x ， 15 11.23 ， 33 12.12，  0,18 13. 62 14. 26,315.  7,1 三、解答题 16. 解：（ 1）在 中，由正弦定理得： ，即 …… 3 分 解得 …… 5 分 …… 7 分 （ 2）由已知得 …… 10 分 2 …… 13 分 …… 15 分 17.解：（ 1）当 n=1 时 …… 2 分 当 两式作差得： …… 5 分 …… 7 分 （ 2） …… 8 分 … ① ① … ② ① ② 得： …… 12 分 3 令 则 = …… 15 分 18. (1) 证明： …… 6 分 （ 2）解：（方法一） 连接 DF ,交 CE 与 O ，连接 OG ，则在等腰三角形 ACF 中， FG AC ，所以 G 为 AC 中点， 在等边三角形 DAC 中， DG AC ， DG GF G ， AC DFG平 面 ，A C E D G F平 面 平 面， OG 为交线，所以 DGO 即为直线 DG 与平面 ACE 所 成的角…… 12 分 在三角形 DOG 中， 1 , 3 , D G 6O G D O  ，则 6cos 3DGO，…… 14 分 3sin 3DGO  …… 15 分 （方法二） 设 D 到平面 ACE 的距离为 h，记 DG 与平面 ACE 所成角为 由 AE=AF=ED=CF=2 得 EF=CD=AD=AC= …… 8 分 4 得 …… 11 分 …… 13 分 …… 15 分 19.解：（ 1）设 y x b与抛物线 2 2 ( 0)y px p相切，且与 :1l y x的距离为 24则 1 242b ，得 32b （舍去）或 12b -------------------- 3 分 21 (1)22 (2)yxy px   （ 1）代入（ 2）整理得 2 1(1 2 ) 04x p x    2(1 2 ) 4 0p     得 p （舍去）或 1p -------------------- 6 分 故所 求抛物线方程 为 2 2yx . -------------------- 7 分 （ 2）设      1 , 1 2, 2 0, 0, , .A x y B x y N x y 则过点 A 的切线方程为 11yy x x -------------------- 9 分 点 N 在直线上 ,故有 1 0 0 1y y x x 同理： 2 0 0 2y y x x 故直线 AB 的方程为 00y y x x , -------------------- 11 分 又 001yx代入整理得 0( 1) 1 0y x x   ，故 AB 恒过定点 (1,1) O 点到直线 AB 距离最大，显然直线 AB 方程为 2yx  .---------------- 13 分 5 222yxyx  整理得 2 6 4 0xx   1 2 1 26, 4x x x x     21 2 1 22 ( ) 4 2 1 0AB x x x x    1 2 2 1 0 2 52O A BS     最 大 值 ------------------ 15 分 （其它解法相应给分） 20．解（ 1） 2( ) ( 1 ) 4 ( 5 )f x x a x a    = ( 4)[ ( 5)]x x a   124, 5x x a     9( 4 ) 1 6 9 0 , 16g a a      ， 2( 5 ) [( 5 ) 1] 0g a a a     046a a a     或 或， 经检验上述 a 的值均符合题意，所以 a 的值为 96, 4, ,016 …… 5 分 （Ⅱ） 令 ( ) 0,fx 则 45xa    ， ,mn 为正整数， 5 0, 5aa    即 ， …… 6 分 记 )5,0(  aN ， 令 2g ( ) 0 , 5 0x ax x   即 的解集为 M ， 则由题意得区间 ( , )m n M N . …… 7 分 ① 当 0a 时， 因为 g(0) 5 0，故只能 2g ( 5 ) [( 5 ) 1] 0a a a    ， 即 4a 或 6a ， 又 因为 5a ，故 40a   ，此时 55na   . 又 nm, Z ， 所以 4nm . ……… 9 分 当且仅当4 0,4 5 5,(3) 9 2 0,aaga      即 921  a 时 ， n 可以取 4， 所以， n 的最大整数为 4； ……… 11 分 ②当 0a 时， MN ， 不合题意； ……… 12 分 ③当 0a 时， 因为 g(0) 5 0， 2g ( 5 ) [( 5 ) 1] 0a a a    ， 6 故只能 10 5,21 20 0,aaa      无解； 综上， n 的最大整数为 4，此时 a 的取值范围为 921  a ． ……… 14 分 按解答过程 分步给分．能正确写出评分点相应步骤的给该步所注分值．除本卷提供的参考答案外，其他正确解法根据本标准相应给分．