1、数学（ 文 科）试题卷 第 1 页（共 4 页） 2015 届浙江省六校联考 数学（文科） 试 题 卷 一、选择题 （本题共有 8 小题，每小题 5 分，共 40 分） 1.已知集合 21,11 xyyNxxM ， 则 MN （ ） A ）（ 1,0 B 1,0 C )1,0 D 1,0( 2 若 a 是实数，则“ 2 4a ”是“ 2a ”的 （ ） A. 充要条件 B. 既不充分也不必要条件 C. 充分不必要条件 D. 必要不充分条件 3将函数 cos( )3yx的图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍 (纵坐标不变 ),再向左平移 3 个单位 ,所得函数图象的一个对称中心 为 （ ） A
2、 (0,0) B ( ,0)4 C ( ,0)2 D (,0) 4.下列命题中 错误 的是 （ ） A 如果平面 平面 ， 那么平面 内一定存在直线平行于平面 B 如果平面 不垂直于平面 ，那么平面 内一定不存在直线垂直于平面 C 如果平面 平面 ，平面 平面 ， l，那么 l 平面 D 如果平面 平面 ，那么平面 内 有且只有一条 直线垂直于平面 5.设实数列 nnab和 分别为等差数列与等比数列，且 1 1 4 48, 1a b a b ，则以下结论正确的是 （ ） A 22ab B 33ab C 55ab D 66ab 6. 设 1A ， 2A 分别为 椭圆 221xyab（ a b 0
3、） 的左、右 顶 点，若在 椭圆 上存在点 P ，使得1212PA PAkk ，则该 椭圆 的离心率的取值范围是 （ ） A 10,2B 20,2C 2,12D 1,12数学（ 文 科）试题卷 第 2 页（共 4 页） 7定义在 R 上的奇函数)(xf，当0x时， 2 , 0 , 11()1 3 , 1 ,x xxfxxx ，则函数 1( ) ( )F x f x 的所有零点之和为 （ ） A 121 B 112 C 41 D 14 8 如图 ,正方体 1 1 1 1ABCD A BC D 的棱长为 1, P 为 BC 的中点 ,Q 为线段 1CC 上的动点 ,过点A ,P ,Q 的平面截该正
4、方体所得的截面记为 S . 当 10 2CQ时 , S 为四边形 截面在底面上投影面积恒为定值 34 存在某个位置，使得截面 S 与平面 1ABD 垂直 当 34CQ 时 , S 与 11CD的交点 R 满足1113CR其中正确 命题 的 个数 为 （ ） A.1 B.2 C.3 D. 4 二 、 填空题 （第 9 题至第 12 题，每小题 6 分；第 13 题至第 15 题每小题 4 分，共 36 分） 9.函数 ( ) sin cosf x x x的 最小正 周期为 ， 单调增区间 为 ， ()12f . 10. 已知点 (2,1)M 及圆 224xy，则过 M 点的圆的切线方程为 ，若直
5、线40ax y与圆相交于 A 、 B 两点，且 23AB ，则 a . 11 某 空间几何体的三视图 （单位： cm ） 如图所示， 则其体积是 3cm , 表面 积 是 2cm 12设实数 yx, 满足,4,2xyxyxy 则 动 点( , )Pxy 所形成 区域 的面积为 ， | 2 2|z x y 的取值范围是 . （第 8 题图） （第 11 题图） 数学（ 文 科）试题卷 第 3 页（共 4 页） 13.已知 点 P 是双曲线 22 13xy 上任意一点，过点 P 分别作两渐近线的垂线，垂足分别为 A 、 B ，则线段 AB 的最小值为 . 14.已知 实数 x 、 y 满足 224
6、1x y xy ， 且 不等式20x y c 恒成立，则 c 的取值范围是 . 15. 如图， 圆 O 为 Rt ABC 的内切圆，已知3 , 4 , 5A C B C A B ，过圆心 O 的直线 l 交 圆 O 于P 、 Q 两点，则 BPCQ 的取值范围是 . 三 、 解答题 （第 16 题至第 19 题，每题 15 分；第 20 题 14 分，共 74 分） 16.如图， 在 ABC 中， D 为 AB 边上一点， DA DC ，已知 4B ， 1BC （） 若 ABC 是锐角三角形， 63DC ，求角 A 的大小 ； （） 若 BCD 的面积为 16 ，求边 AB 的长 . 17.已
7、知数列 na 的前 n 项和为 nS ，满足 )(22 *NnaS nn （） 求数列 na 的通项公式； （） 令 2lognnba ， 1212nnnbbbT a a a ，求满足 158nT 的最大正整数 n 的值 . P l Q A C O B . （ 第 14 题图 ） A D B C （ 第 16 题图 ） 数学（ 文 科）试题卷 第 4 页（共 4 页） 18.等腰梯形 ABCD ， / / , , , 2A B C D D E A B C F A B A E D E ，沿 DE ,CF 将梯形折叠使,AB重合于点 A （如图）， G 为 AC 上一点 ， FG 平面 ACE .
8、 （） 求证： AE AF ； （） 求 DG 与平面 ACE 所成角的正弦值 . 19.已知抛物线 :C 2 2 ( 0)y px p上的点 M 到直线 :1l y x的最小距离为 24 点 N 在直线 l上，过点 N 作直线与抛物线相切，切点分别为 A 、 B （） 求抛物线方程； （） 当原点 O 到直线 AB 的距离最大时，求三角形 OAB 的面积 20.已知函数 22( ) ( 1 ) 4 ( 5 ) , ( ) 5f x x a x a g x a x x ，其中 .Ra （） 若 函数 ()fx、 ()gx 存在 相同的零点，求 a 的值； （） 若存在 两个正整数 m 、 n
9、， 当 0 ( , )x mn 时，有 0( ) 0fx 与 0( ) 0gx 同时成立，求 n 的最大值及 n 取最大值时 a 的 取值 范围 . F E A D C B 2 2 G F E A D C 2 2 1 2015 届浙江省六校联考 数学（文科） 答案 一、选择题 DCADACBC 二、填空题 9.2 ， 312 , 2 ( )44k k k z ， 22 10.3 4 10 0xy 或 2x ， 15 11.23 ， 33 12.12， 0,18 13. 62 14. 26,315. 7,1 三、解答题 16. 解：（ 1）在 中，由正弦定理得： ，即 3 分 解得 5 分 7
10、分 （ 2）由已知得 10 分 2 13 分 15 分 17.解：（ 1）当 n=1 时 2 分 当 两式作差得： 5 分 7 分 （ 2） 8 分 得： 12 分 3 令 则 = 15 分 18. (1) 证明： 6 分 （ 2）解：（方法一） 连接 DF ,交 CE 与 O ，连接 OG ，则在等腰三角形 ACF 中， FG AC ，所以 G 为 AC 中点， 在等边三角形 DAC 中， DG AC ， DG GF G ， AC DFG平 面 ，A C E D G F平 面 平 面， OG 为交线，所以 DGO 即为直线 DG 与平面 ACE 所 成的角 12 分 在三角形 DOG 中，
11、1 , 3 , D G 6O G D O ，则 6cos 3DGO， 14 分 3sin 3DGO 15 分 （方法二） 设 D 到平面 ACE 的距离为 h，记 DG 与平面 ACE 所成角为 由 AE=AF=ED=CF=2 得 EF=CD=AD=AC= 8 分 4 得 11 分 13 分 15 分 19.解：（ 1）设 y x b与抛物线 2 2 ( 0)y px p相切，且与 :1l y x的距离为 24则 1 242b ，得 32b （舍去）或 12b - 3 分 21 (1)22 (2)yxy px （ 1）代入（ 2）整理得 2 1(1 2 ) 04x p x 2(1 2 ) 4
12、0p 得 p （舍去）或 1p - 6 分 故所 求抛物线方程 为 2 2yx . - 7 分 （ 2）设 1 , 1 2, 2 0, 0, , .A x y B x y N x y 则过点 A 的切线方程为 11yy x x - 9 分 点 N 在直线上 ,故有 1 0 0 1y y x x 同理： 2 0 0 2y y x x 故直线 AB 的方程为 00y y x x , - 11 分 又 001yx代入整理得 0( 1) 1 0y x x ，故 AB 恒过定点 (1,1) O 点到直线 AB 距离最大，显然直线 AB 方程为 2yx .- 13 分 5 222yxyx 整理得 2 6
13、4 0xx 1 2 1 26, 4x x x x 21 2 1 22 ( ) 4 2 1 0AB x x x x 1 2 2 1 0 2 52O A BS 最 大 值 - 15 分 （其它解法相应给分） 20解（ 1） 2( ) ( 1 ) 4 ( 5 )f x x a x a = ( 4) ( 5)x x a 124, 5x x a 9( 4 ) 1 6 9 0 , 16g a a ， 2( 5 ) ( 5 ) 1 0g a a a 046a a a 或 或， 经检验上述 a 的值均符合题意，所以 a 的值为 96, 4, ,016 5 分 （） 令 ( ) 0,fx 则 45xa ， ,m
14、n 为正整数， 5 0, 5aa 即 ， 6 分 记 )5,0( aN ， 令 2g ( ) 0 , 5 0x ax x 即 的解集为 M ， 则由题意得区间 ( , )m n M N . 7 分 当 0a 时， 因为 g(0) 5 0，故只能 2g ( 5 ) ( 5 ) 1 0a a a ， 即 4a 或 6a ， 又 因为 5a ，故 40a ，此时 55na . 又 nm, Z ， 所以 4nm . 9 分 当且仅当4 0,4 5 5,(3) 9 2 0,aaga 即 921 a 时 ， n 可以取 4， 所以， n 的最大整数为 4； 11 分 当 0a 时， MN ， 不合题意； 12 分 当 0a 时， 因为 g(0) 5 0， 2g ( 5 ) ( 5 ) 1 0a a a ， 6 故只能 10 5,21 20 0,aaa 无解； 综上， n 的最大整数为 4，此时 a 的取值范围为 921 a 14 分 按解答过程 分步给分能正确写出评分点相应步骤的给该步所注分值除本卷提供的参考答案外，其他正确解法根据本标准相应给分
