1、浙江省嘉兴市第一中学等五校 2015 届高三上学期第一次联考数学（理）试题【试卷综析】本试卷是高三理科试卷，以基础知识和基本技能为载体，以能力测试为主导，在注重考查学科核心知识的同时，突出考查考纲要求的基本能力，重视学生科学素养的考查.知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：集合、不等式、函数的性质及图象、三角函数、解三角形、数列、平面向量、立体几何等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷.【题文】一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的【题文】1已知全集为 ，集合 ，则 （ ）R22
2、1,680xABxRACB（A） （B） （C） （D）0x4x04或 24xx或【知识点】集合的运算 A1【答案】 【解析】C 解析：因为 ，所以2210,682xBxx，则选 C.4, 4RRBAC或 或【思路点拨】遇到不等式解集之间的关系时，可先对不等式求解，再对集合进行运算.【题文】2在等差数列 中， ，则此数列 的前 6 项和为（ ）na432ana（A） （B） （C） （D） 1【知识点】等差数列 D2【答案】 【解析】D 解析：因为 ，所以 ，所以选 D43 436432,Sa【思路点拨】遇到等差数列问题，可先观察其项数，根据项数之间的关系判断有无性质特征，有性质特征的用性质解
3、答.【题文】3已知函数 是偶函数，且 ，则 （ ）()yfx()1f()f（A） （B） （C） （D）1155【知识点】偶函数 B4【答案】 【解析】D 解析：因为函数 是偶函数，所以 ，()yfx223,5fff所以选 D.【思路点拨】抓住偶函数的性质，即可得到 f(2)与 f(2) 的关系，求值即可.【题文】4已知直线 ，平面 满足 ，则“ ”是“ ”的（ ） ,lm,lml/（A）充要条件 （B）充分不必要条件 （C ）必要不充分条件 （D）既不充分也不必要条件【知识点】充分、必要条件 A2【答案】 【解析】C 解析：因为 ，若 ，两面 、 可能平行可能相交，所以充分性,ll不满足，若
4、 ，则 l,由线面垂直的性质可得 ，所以必要性满足，综上知选 C./m【思路点拨】判断充分条件与必要条件时，可先分清条件与结论，若由条件能推出结论则充分性满足，若由结论能推出条件，则必要性满足.【题文】5函数 的最小正周期为 ，为了得到 的图象，只需cos3fx(,0)xRfx将函数 的图象（ ）sing（A）向左平移 个单位长度 （B）向右平移 个单位长度22（C ）向左平移 个单位长度 （D）向右平移 个单位长度44【知识点】三角函数的图像 C3【答案】 【解析】C 解析：因为函数 的最小正周期为 ，所以 ，则cos3fx2， ，则用cos23fxin22cos43gxx换 x 即可得到
5、f(x)的图像，所以向左平移 个单位长度，则选 C.4 4【思路点拨】判断两个函数图象的平移情况，关键是抓住解析式中的 x 的变化规律.【题文】6.如图为一个几何体的侧视图和俯视图，若该几何体的体积为 ，则它的正视图为( )43【知识点】三视图 G2【答案】 【解析】B 解析：由几何体的侧视图和俯视图，可知几何体为组合体，上方为棱锥，下方为正方体，由俯视图可得，棱锥顶点在底面上的射影为正方形一边上的中点，顶点到正方体上底面的距离为1，所以选 B.【思路点拨】熟悉常见的几何体的三视图特征是解答本题的关键.【题文】7如图，在正四棱锥 中， 分别是 的中点，动点 在线段ABCDSNME,SCDB,P
6、上运动时，下列四个结论： ； ； ； 中恒成MNP/EP面/SACE面立的为（ ）（A） （B ） （C） （D）【知识点】平行、垂直的位置关系 G4 G5【答案】 【解析】A 解析：如图所示，连接 AC、BD 相交于点 O，连接 EM，EN 由正四棱锥 S-ABCD，可得 SO底面 ABCD，ACBD，SOACSOBD=O，AC平面 SBD，E，M，N 分别是 BC，CD，SC的中点，EMBD，MNSD，而 EMMN=N，平面 EMN平面 SBD，AC平面 EMN，ACEP故正确由异面直线的定义可知：EP 与 BD 是异面直线，不可能 EPBD，因此不正确；由（1）可知：平面 EMN平面 S
7、BD，EP平面 SBD，因此正确由（1）同理可得：EM平面 SAC，若 EP平面 SAC，则 EPEM，与 EPEM=E 相矛盾，因此当 P 与 M 不重合时，EP 与平面 SAC 不垂直即不正确综上可知：正确所以选 A .【思路点拨】判断线线、线面位置关系能直接利用定理或性质进行推导的可直接推导，不能推导的可用反例法排除.【题文】8已知数列 满足： ， 若na112nna()N11(2)(nnba， ，且数列 是单调递增数列，则实数 的取值范围是（ ）()nN1bnb（A） （B） （C） （D） 2332332【知识点】数列的表示 D1【答案】 【解析】C 解析：由 得 ，所以1nna11
8、2,21nnaa，则 ，则 若数列 是112nna1()()nnb2bnb单调递增数列，则 ，整理得 ，则排除 A,B,D，所以选 C.21b23【思路点拨】由递推关系求通项公式时，通常构造等差数列或等比数列进行解答,本题也可直接用排除法解答.【题文】9定义 ，设实数 满足约束条件 ，则,max,ab,xy2xy的取值范围是（ ）a4,3zy（A） （B） （C） （D） 8107,106,87,8【知识点】简单的线性规划 B5【答案】【解析】B 解析：如图,令 z1=4x+y,点(x,y)在四边形 ABCD 上及其内部,求得-7z 110;令 z2=3x-y,点(x,y)在四边形 ABEF
9、上及其内部(除 AB 边),求得-7z 28.综上可知,z 的取值范围为-7,10.故选 B.【思路点拨】由线性约束条件求最值问题，通常结合目标函数的几何意义数形结合进行解答.【题文】10已知函数 ，则关于 的方程 的实根个数不52log(1)(1)()xfxx1(2)fax可能为（ ）（A） 个 （B ） 个 （C） 个 （D） 个5678【知识点】函数与方程 B9【答案】 【解析】A 解析：因为 f(x)=1 时，x=1 或 x=3 或 x= 或 x=-4，则当 a=1 时 或 1 或45425x3 或4,又因为 ,则当 时只有一个11202-4xx或 12=-xx=2 与之对应其它情况都
10、有两个 x 值与之对应，所以此时所求方程有 7 个根，当 1a2 时因为函数f(x)与 y=a 有 4 个交点，每个交点对应两个 x，则此时所求方程有 8 个解，当 a=2 时函数 f(x)与 y=a 有 3个交点，每个交点对应两个 x，则此时所求方程有 6 个解，所以 B,C,D 都有可能，则选 A.【思路点拨】一般判断方程根的个数问题通常转化为函数的图象的交点个数问题进行解答非选择题部分（共 100 分）【题文】二、填空题 本大题共 7 小题, 每小题 4 分, 共 28 分【题文】11函数 的定义域为_)2(log1)(xf【知识点】函数的定义域 B1【答案】 【解析】xx 2 且 x3
11、 解析：由题意得 ，2x-0log解得 x 2 且 x3.所以函数的定义域为 xx2 且 x3.【思路点拨】求函数的定义域就是求使函数解析式有意义的自变量构成的集合.【题文】12已知三棱锥 中， ， ，则直线 与ABCDABDC2ADAD底面 所成角为_BCD【知识点】线面所成的角 G11【答案】 【解析】60 解析：取 BC 中点 E，连接 AE,DE，因为 ，所以 BC平BC面 AED，得平面 AED平面 BCD，所以ADE 即为直线 与底面 所成角，又， ，所以AED 为等边三角形，则42AE2ADADE=60.【思路点拨】求线面所成角时，可利用线面所成角的定义寻求直线在平面内的射影，进
12、而得到其平面角，再利用其所在的三角形解答.【题文】13已知 ， ，则 _3cos()452cos2【知识点】诱导公式 倍角公式 C2 C6【答案】 【解析】 解析：因为 ，所以 ，则237,444sin5.32cosinsincos25【思路点拨】遇到给值求值问题，通常从角入手，观察所求角与已知角之间是否具有和差倍角关系，再利用相应的公式计算.【题文】14定义在 上的奇函数 满足 ，且 ，则R()fx(3)(ffx(1)2f_(2013)(5)ff【知识点】奇函数 函数的周期性 B4【答案】 【解析】2 解析：因为 ，又函数为奇函数，(3)(,f63fxxfxf则 f(0)=0，所以 .(20
13、13)51012ff【思路点拨】熟悉常见的周期性条件是解答本题的关键，先利用周期性把所求值向已知条件靠拢，再利用已知条件转化成已知函数值.【题文】15设 是按先后顺序排列的一列向量，若 ，12na, 1(4,3)a且 ，则其中模最小的一个向量的序号 _()nn【知识点】向量的坐标运算 F2【答案】 【解析】1002 或 1001 解析：因为 ，所以1,205,1nan，因为二次函数22220154065nan的对称轴方程为 ，又 n 为正整数，所以当 n=1002 或 1001246y x时模最小.【思路点拨】可以借助于等差数列的通项公式求出向量的一般形式，再借助于二次函数求最值.【题文】16
14、设向量 ， ，其中 为实数若2(,3cos)a(,sico)2mb=,m，则 的取值范围为_ _2abm【知识点】三角函数的性质 向量相等 函数的单调性 F1 C3 B3【答案】 【解析】6,1 解析：由 得 ，得2ab23cossin2m,解得 ，则 ，所2sin2324,0tt以函数在区间上单调递增，当 时得最小值为6,当 x=2 时得最大值为 1,所以所求的范围是2x6,1.【思路点拨】利用向量相等等到变量之间的关系，再利用三角函数的性质求出 的范围，再利用导数判断单调性，利用单调性求函数的值域.【题文】17若实数 满足 ，则 的最大值为_,abc221c23abc【知识点】基本不等式
15、E6【答案】 【解析】3 解析： 2 2363 bc2221abc23abc【思路点拨】可结合基本不等式对所求式子用基本不等式凑出已知条件中的定值进行解答.【题文】三、解答题：本大题共 5 小题，共 72 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤【题文】18 （本题满分 14 分）在 中，角 的对边分别为 ，已知 ,ABC,abc30B的面积为 ABC32（）当 成等差数列时，求 ；,abcb（）求 边上的中线 的最小值BD【知识点】解三角形 C8【答案】 【解析】 （） ；（）13b32解析：（）由已知得 a+c+2b,ac=6,而 ，223463bacacacb得 ；13b（）因为22,2
16、 4BACBACBACD= ，当 时等号成立.2331632acac 6ac【思路点拨】计算中线的长度时，可利用向量巧妙的转化为三角形边之间的关系进行解答.【题文】19 （本题满分 14 分）四棱锥 如图放置， , ，PABCD/,ABCD2ABC， 为等边三角形1CDPAB（）证明： ；面（）求二面角 的平面角的余弦值C【知识点】线面垂直 二面角 G5 G11【答案】 【解析】 （）略；（） 27解析：（）易知在梯形 中， ，而 ，则ABCD=512，PDAPDA同理 ，故 ；PD面 P（）取 中点 ,连 ，M,作 ,垂足为 ,再作 ,连 。NNHBCMDPA BCNH易得 ，则面ABDPM
17、面 面ABCDPM于是 ，面N面 NH即 二面角 的平面角。H在 中， ，P37,1,2,P27cos=NP故二面角 的平面角的余弦值为 .ABC2【思路点拨】证明直线与平面垂直通常利用其判定定理进行证明，求二面角一般先结合二面角的平面角的定义作出其平面角，再利用其所在的三角形求值，本题也可以用向量解答.【题文】20本题满分 15 分）已知函数 ，其中 2()fxxaR（）求函数 的单调区间；()fx（）若不等式 在 上恒成立，求 的取值范围416,2x【知识点】函数的单调性 函数的最值 B3【答案】 【解析】 （）当 时，在 上递增 ，当 时，在 和 上递增，在在0aR0a(,)a(,)3上
18、递减（） 或 .(,)3a125a解析：（） 2()()3xxf当 时， 在 和 上均递增， ，则 在 上递增0a()fx,)a(,)2()fa()fxR当 时， 在 和 上递增，在在 上递减3,3（）由题意只需 minax()4,()16ff首先，由（）可知， 在 上恒递增,2则 ，解得 或min()12fxf52a其次，当 时， 在 上递增，故 ，解得5a()fxRmax()416ff52a当 时， 在 上递增，故 ，解得2, 1综上： 或 .152a【思路点拨】一般遇到由不等式恒成立求参数范围问题，通常转化为函数的最值问题进行解答.【题文】21 （本题满分 15 分）已知数列 的前 项和
19、 满足 nanS2na（）求数列 的通项公式；na（）设 ，记数列 的前 和为 ，证明： 1nbnbnT1032nT【知识点】数列的通项公式 数列求和 D1 D4【答案】 【解析】 （） ；（）略 21na解析：（）因为 ，当 n=1 时 ，又 与nS112,Sa121nSa两边分别相减得 得 ，又 ，所以2n nn n ，得 ；1a21na（）因为 ，所以1nnb，得 ，又2342111, 02nnn nT 02nT，所以 ，23nnnn 211333n nnT所以 .10nT【思路点拨】遇到由数列的 n 项和与通项之间的递推公式可先转化为通项之间的递推关系再进行解答.【题文】22 （本题满
20、分 14 分）给定函数 和常数 ，若 恒成立，则称 为()fx,ab(2)(fxafb(,)ab函数 的一个“好数对” ；若 恒成立，则称 为函数 的一个“类好数对”()fx2f,)x已知函数 的定义域为 1,)（）若 是函数 的一个“好数对” ，且 ，求 ；(1,)(fx(1)3f(6)f（）若 是函数 的一个“好数对” ，且当 时， ，求证：2,0) 2x2x函数 在区间 上无零点；()yfx(1,（）若 是函数 的一个“类好数对” ， ，且函数 单调递增，比较 与,)fx(1)3f()fx()fx的大小，并说明理由2【知识点】函数的单调性 函数与方程 不等式的证明 B9 B3 E7【答案
21、】 【解析】 （）7；（ ）略；（） 2xf【解析】 （）由题意， ，且 ，则(2)1fxf()31()nnff则数列 成等差数列，公差为 ，首项 ，于是 (2)nf df67（）当 时， ，则由题意得1x2n2 212()()=()()nnnxxffff x由 得， ，解得 或 均不符合条件0fx12n0即当 时，函数 在区间 上无零点；12nn()yfx(1,)注意到 2(,)(,n 故函数 在区间 上无零点； yfx(1)（）由题意得 ，则 ，即 ，得22fx12nnff122nnff，即 ，而对任1 02nnff 意 x1,必存在 ，使得 ,由 f(x)单调递增得 ，则*N1nnx1nnffxf，所以 .122nff2xf【思路点拨】对于新定义函数，理解其含义是解题的关键，再多步问答问题中，解下一问时注意上一问的结论或过程的应用.
