1、贵州省七校联盟 2015 届高三上学期第一次联考数学（理）试题本试卷分为第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分，满分 150 分，考试用时 120 分钟。注意事项：1. 答 卷 前 ， 考 生 务 必 在 答 题 卡 上 相 应 的 位 置 准 确 填 写 自 己 的 姓 名 、 准 考 证 号 ， 并 将 条 形码 粘 贴 在 指 定 位 置 。2 选 择 题 选 出 答 案 后 ， 用 2B 铅 笔 将 答 题 卡 上 对 应 题 目 的 答 案 标 号 按 要 求 涂 黑 。 如 需 改 动 ，用 橡 皮 擦 干 净 后 ， 再 选 涂 其 它 答 案 标 号 。 非 选
2、择 题 用 签 字 笔 直 接 答 在 答 题 卡 上 对 应 的 答 题 区 域内 。第 I 卷一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 ）1. 已知集合 则 的真子集个数为（ ）A=0,1234,BxnA， BA5 B6 C7 D82. 复数 （ 为虚数单位）在复平面上对应的点不可能在（ ）m-iZ+,RiA第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限3. 已知双曲线 的虚轴长是实轴长的两倍，则实数 的值是（ ）21xymA4 B 1-4C D-414. 如图所示，四面体 ABCD 的四个顶点是长方体的四个顶点（长
3、方体是虚拟图形，起辅助作用） ，则四面体 ABCD 的三视图是（用代表图形） （ ）A B C D5. 已知函数 的图像如右图所示，则 的解析式可以是（ ）fxfxA lnxfB xefC 21fxD6. 在 中， 是边 上的一点，且AB04,3,ABCDB则 的值为（ ）A0 B -4 C8 D4 7. 以下四个命题中，真命题的个数是（ ）“若 则 中至少有一个不小于 1”的逆命题。2ab,存在正实数 ，使得 lglgab“所有奇数都是素数”的否定是“至少有一个奇数不是素数” 。在 中， 是 的充分不必要条件。ABCsiniABA0 B1 C2 D38. 设实数 均为区间 内的随机数，则关于
4、 x 的不等式 有实数,ab0, 2104bax解的概率为（ ）A B 12 16C D3 239. 已知角 的顶点与原点重合，始边与 轴正半轴重合，终边在直线 上，则x2yx的值为（ ）sin24A B 7107210C D210. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）A-1 B1 C -2 D211. 一个平行四边形的三个顶点的坐标为 ，点 在这个平行四1,234,2,xy边形的内部或边上，则 的最大值是（ ）5zxyA16 B18 C 20 D3612. 已知圆 C 的方程 ，P 是椭圆 上一点，过 P 作圆的两条切21xy2143xy线，切点为 A、B ，则 的取值范围为（ ）
5、A B 3,2 23,C D56,9 56,9第卷2、 填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13. 已知扇形 AOB（ 为圆心角）的面积为 ，半径为 2，则 的面积为 AOB3ABC，14. 在我校 2015 届高三 11 月月考中理科数学成绩 ，统计结果显290,N:示 ，假设我校参加此次考试有 780 人，那么试估计此次考试60120.8P中，我校成绩高于 120 分的有 人.15. 的展开式中不含 的项的系数和为 . (结果化成最简形式). 5(1)xyx16. 已知函数若函数 有 3 个零点，则实数210lnfxyfxkk 的取值范围是 . 3、 解答题：解答应
6、写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. （本小题满分 12 分）已知 是等差数列， 是等比数列， 为数列 的前 n 项和， 且nanbnSa1,ab326,8bSN（1 ） 求 和n（2 ） 若 ，求数列 的前 n 项和1na1naT18. （本小题满分 12 分）如图，几何体 中， 为边长为 的正方形， 为直角梯形，EFABCDEF2ABCD， ， ， ， /AB24AB90（1 ）求证: （2 ）求二面角 的大小19. （本小题满分 12 分）交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥 堵 的 概 念 .记 交 通 指 数 为T， 其 范 围 为 0， 10， 分 别 有 5
7、 个 级 别 ： T 0， 2） 畅 通 ； T2 ，4）基本畅通；T 4，6）轻度拥堵；T6，8）中度拥堵；T 8，10 严重拥堵.早高峰时段（T3） ，从贵阳市交通指挥中心随机选取了二环以内 50 个交通路段，依据交通指数数据绘制的直方图如图所示：（1）据此直方图估算交通指数 T4，8）时的中位数和平均数（2）据此直方图求出早高峰二环以内的 3 个路段至少有两个严重拥堵的概率是多少？（3）某人上班路上所用时间若畅通时为 20 分钟，基本畅通为 30 分钟，轻度拥堵为 35 分钟；中度拥堵为 45 分钟；严重拥堵为 60 分钟，求此人所用时间的数学期望BFED CA20. （本小题满分 12
8、 分）函数 ，其中 是自然对数的底数， 2()xfxaeaR（1 ）当 时，解不等式 ；0()0f（2 ）当 时，求整数 t 的所有值，使方程 在 上有解；()2fx,1t（3 ）若 在 上是单调增函数，求 的取值范围()fx1,a21. （本小题满分 12 分）已知中心在原点 ，左焦点为 的椭圆 C 的左顶O1(,0)F点为 ，上顶点为 ， 到直线 的距离为 .AB1A7|OB(1) 求椭圆 C 的方程；(2) 若椭圆 方程为： （ ） ，椭121xymn0圆 方程为： （ ，且 ） ，则称椭圆 是椭圆 的 倍相似椭圆.已2202C1知 是椭圆 C 的 倍相似椭圆，若直线 与两椭圆 、C 交
9、于四点(依次为 、23ykxb2P、 、 )，且 ，试研究动点 的轨迹方程.QRS2PRSQ(,)E请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，解答时请写清题号.22. （本小题满分 10 分）选修 41：几何证明选讲如图 5，O 1 和O 2 公切线 AD 和 BC 相交于点 D，A、B、C 为切点，直线 DO1 与O 1 与E、G 两点，直线 DO2 交O 2 与 F、H 两点。（1 ）求证： ；DEG（2）若O 1 和O 2 的半径之比为 9：16，求 的值。DFExyRxSQPO23. （本小题满分 10 分）选修 44：极坐标与参数方程已知在一个极
10、坐标系中点 C 的极坐标为 。2,3（1 ）求出以 C 为圆心,半径长为 2 的圆的极坐标方程（写出解题过程）并画出图形（2 ）在直角坐标系中，以圆 C 所在极坐标系的极点为原点 , 极轴为 x轴的正半轴建立直角坐标系,点 P 是圆 C 上任意一点， ， 是线段 的中点，当点 P 在圆 C 上5,3QMPQ运动时，求点 的轨迹的普通方程。M24. （本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲已知函数 .21fxax()当 时,求不等式 的解集;3a2f()若 对 恒成立,求实数 a 的取值范围.5fxxR参考答案及评分细则一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。 ）
11、题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 C A B B A D C C D A C C二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 ）13、 14、 78 15、 -1024 17、3 1,2三、解答题：（ 共 70 分。 ）17、解：（1）由题意 3 分2236-386dqq或 所以 6 分112536nnab或或 （2 ）若 ，由（1）知 ， 8 分n21na 10 分1na n 12 分1235221nT 18、 （ 1）证明：由题意得， ， ，且 ，ADCFDC 平面 ， ， 2 分ADEF四边形 为正方形. C由 4 分B平A又四边形 为直
12、角梯形， ， ， ， B:24AB ， 则有 2222A由 6 分FFC平 面 FB（2 ） 解法一：由（1）知 所在直线相互垂直，故以 为原点，,DED所在直线分别为 轴建立如图所示的空间直角坐标系， ,DACExyz7 分可得 ，0,2,40,20,A2,0DFBEC由（1）知平面 FCB 的法向量为 ()AC ， 8 分(,)(,)E设平面 EFB 的法向量为 . ,nxyz则有: 0200nFyzxzB令 z=1 则 10 分(1,)设二面角 的大小为 EC201cos 2nA 12 分0,3解法二：（传统几何法）略19、解 :（1 ）由直方图知： 时交通指数的中位数为 5+1 = 2
13、 分4,8T0.24356 时交通指数的平均数为 .44,8T.502.46.57.1.7分（2 ）设事件 A 为“一条路段严重拥堵” ，则 5 分.1PA 则 3 条路段中至少有两条路段严重拥堵的概率为：7 分23231170025PCC 所以 3 条路段中至少有两条路段严重拥堵的概率为 8 分0 （3 ）由题意，所用时间 x 的分布列如下表：x 30 35 45 60P 0.1 0.44 0.36 0.1则 11 分0.135.40.36.14.6E 所以此人经过该路段所用时间的数学期望是 40.6 分钟 12 分 20、 解： (1)因为 ，所以不等式 即为 ， 2 分ex()fx20a
14、x 又因为 ，所以不等式可化为 ， 3 分0a10 所以不等式 的解集为 4 分()fx,a (2)当 时, 方程即为 ，由于 ，所以 不是方程的解，0ae2xe0x0x所以原方程等价于 ， 5 分10x BFED CAx yz令 ，因为 对于 恒成立，2()e1xh2()e0xh,0,x所以 在 和 内是单调增函数， 6 分,0, 又 ， ， ， ，所以方程(1)e3h2()e0h31()e0h2()e0h有且只有两个实数根，且分别在区间 和 上，2fx2， ，7 分 所以整数 t 的所有值为 3,18 分 (3) ， 22()2)e()e(1)exx xfxaa9 分 当 时， ， 在 上
15、恒成立，当且仅当 时取0()1xf()0f ， 1x等号，故 符合要求； a 10 分 当 时，令 ，因为 ， 02()(1)gxax22(1)410aa所以 有两个不相等的实数根 ， ，不妨设 ，因此 有极大值又有()x2x()fx极小值若 ，因为 ，所以 在 内有极值点，0a(1)0ga()f1)，故 在 上不单调 11 分()fx， 若 ，可知 ，12x因为 的图象开口向下，要使 在 上单调，因为 ，必须满足()gx()fx1， (0)1g即 所以 . 10,. 30,.a 03a综上可知， 的取值范围是 12 分2, 21、解：(1)设椭圆 方程为： （ ） ，1C21xyab0a所以
16、直线 方程为： 1 分AB 到直线 距离为 2 分1(,0)F2|7dba27(1)a又 ，解得： ， 4 分2ba3b故：椭圆 方程为： . 5 分1C2143xy(2) 椭圆 的 倍相似椭圆 的方程为： 612C219xy分设 、 、 、 各点坐标依次为 、 、 、QRPS1(,)xy2(,)3(,)xy4(,)将 代人椭圆 方程，得：ykxb1 234810kb （*）7 分2221(8)4(3)()kb此时： ，1228x1234xk8 分221211()|()b将 代人椭圆 方程，得：ykxb2C22(34)84360kx ， 93428k2346bx234(19)|kb分 ，可得线段 、 中点相同，所以 101234xPSQR|PQRS分由 ，所以 ，可得：PSRQ|3|3412|xx （满足(*)式）. 112243(19)43()kbkb2219kb分故：动点 的轨迹方程为 . 12 分(,)Ekb29322 （本小题满分 10 分） 【选修 41：几何证明选讲】（1 ）证明：AD 是两圆的公切线，AD 2=DEDG，AD 2=DFDH,DE DG= DFDH, ，DFHG又EDF=HDG，DEFDHG。4 分
