1、广东省中山一中、潮阳一中等 2015 届高三第一次七校联考数学（文）命题人：中山一中 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。满分为 150 分，考试用时为 120 分钟.第卷（选择题，共 50 分）一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1、已知全集 ，集合 ， ，则 等于（ ）UR|21xA|41BxABA. B. C. D. (0,)(,)(,)(,4)2、已知 为虚数单位，复数 的模 （ ）izizA. 1 B. C D.3353、在等差数列 中，已知 ，则 （ ）na1071a3aA. 7 B. 8 C
2、. 9 D. 104、设 ,b是两个非零向量，则“ ”是“ ,b夹角为锐角”的（ b ）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件5、在“魅力咸阳中学生歌手大赛”比赛现场上七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图如图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（ ）A.5 和 1.6 B.85 和 1.6 C. 85 和 0.4 D. 5 和 0.46、如果直线 与平面 满足： 那么必有（ ）ml, ,/mllA. B. C. D./ /7、如图所示，某几何体的正视图（主视图） ，侧视图（左视图）和俯视图分别是等腰梯形，等腰直角三角形和长方形
3、，则该几何体体积为（ ）A B C D5342371038、定义运算“ ”为：两个实数 的“ ”运 算原理如图所示，ba,若输人 ， 则输出 （ ）2,31cos2aPA.2 B0 C、2 D.49、在长为 12 厘米的线段 上任取一点 ，现作一矩形,邻边长分别AC等241正视图俯视图侧视图NMC ABO于线段 的长,则该矩形面积大于 20 平方厘米的概率为（ ）ACBA. B. C. D. 61325410、如图， 是函数 图像上一点，曲线)(,0xfP)(xfy在点 处的切线交 轴于点 ， 轴，垂足为 )(fyAPBB若 的面积为 ，则 与 满足关系式（ ） AB120fx()0()fA.
4、 B. C. D. 00fxf()()200ff()()00fxf()()200fxf()()第 II 卷（非选择题，共 100 分）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，其中 1415 题是选做题，考生只需选做其中一题，两题全答的，只以第 14 小题计分11函数 ，则 03log)(2xxf )41(f12. 若目标函数 在约束条件 下仅在点 处取得最小值，则实数 的取值范围是 .zky2xy(1,)k13. 已知 1cos7， 13cs()4，且 02，则 cos14.（坐标系与参数方程）在极坐标系中圆 的圆心到直线 ()6R的距离是 cos15 （几何证明选讲）如
5、图，点 B 在O 上， M 为直径 AC 上一点，BM 的延长线交O 于 N， 45A ，若O 的半径为 23，OA= OM ，则 MN 的长为 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16 （本题满分 12 分）已知向量 ， ，设函数 .(3sin,co)ax(cos,)bx()fxab（）求函数 单调增区间；()fx（）若 ，求函数 的最值，并指出 取得最值时 的取值.,63()fx()fxx17、 （本题满分 12 分）某小区在一次对 20 岁以上居民节能意识的问卷调查中，随机抽取了 100 份问卷进行统计，得到相关的数据如下表：节能意识弱 节
6、能意识强 总计20 至 50 岁 45 9 54大于 50 岁 10 36 46总计 55 45 100（1）由表中数据直观分析，节能意识强弱是否与人的年龄有关？（2）若全小区节能意识强的人共有 350 人，则估计这 350 人中，年龄大于 50 岁的有多少人？（3）按年龄分层抽样，从节能意识强的居民中抽 5 人，再是这 5 人中任取 2 人，求恰有 1 人年龄在 20 至50 岁的概率。18、 （本题满分 14 分）如图，在四棱锥 PABCD中， 平面 ABCD，底面 是菱形，点 O 是对角线 与 的交点, 是 的中点, 2,60. ACBDM（1）求证： 平面 ; （2）平面 平面/OP（
7、3）当四棱锥 的体积等于 时,求 的长.P3B19、 （本题满分 14 分）已知等差数列 na的公差为 1, 且 27126a,（1）求数列 na的通项公式 n与前 项和 S；（2）将数列 的前 4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列 nb的前 3 项,记nb的前 项和为 nT, 若存在 *Nm, 使对任意 nN总有 nmST恒成立, 求实数 的取值范围20、 （本题满分 14 分）已知抛物线 ，过点 的直线与抛物线交于 两点，且直线与 轴xy42)2,0(MBA,x交于点 C(1)求证： 成等比数列；|,|,|BMA(2)设 ， ，试问 是否为定值，若是，求出此定值；若不是，请说
8、明理C由21、 （本题满分 14 分）设函数 （ ） ， 2()fxa0()lngxb(1) 若函数 图象上的点到直线 距离的最小值为 ，求 的值；()yfx3y2a(2) 关于 的不等式 的解集中的整数恰有 3 个，求实数 的取值范围；21()fx(3) 对于函数 与 定义域上的任意实数 ，若存在常数 ，使得 和()fxgx,km()fxkm都成立，则称直线 为函数 与 的“分界线” 设 ， ，()gkmyk()fg2abe试探究 与 是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理fx()g由2015 届七校联考文科数学答案ACDBB ABADCB 11 12. 13.
9、 14、1 15、2 91(4,2)三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16 （12 分）解：（） 231cos()3sincosin2xfxabxx2 分311sin2coi()26当 ， Z， 3 分26kxk即 ， Z，233即 ， Z 时，函数 单调递增， 5 分kxk()fx所以，函数 的单调递增区间是 ， （ Z） ； 6 分()f,36kk（）当 时， ， ， 8 分,63x52x1sin(2)16x当 时，原函数取得最小值 0，此时 ， 10 分1sin(2)6x6x当 时，原函数取得最大值 ，此时 . 12 分3217、 （12
10、 分）解（1）因为 20 至 50 岁的 54 人有 9 人节能意识强，大于 50 岁的 46 人有 36 人节能意识强，与 相差较大， 所以节能意识强弱与年龄有关3 分54963（2）年龄大于 50 岁的有 （人）6 分（列式 2 分，结果 1 分）2803546(3)抽取节能意识强的 5 人中,年龄在 20 至 50 岁的有 人7 分9514年龄大于 50 岁的有 4 人8 分记这 5 人分别为 ,从这 5 人中任取 2 人,所有可能情况有 10 种,列举如下1234,AB10 分12121314232434, , ,BBB设 表示事件“这 5 人中任取 2 人，恰有 1 人年龄在 20
11、岁至 50 岁” ，则 中的基本事件有A共 4 种11 分123,ABAB故所求概率为 12 分4()105P18、 （14 分）解:（1） 在 中， 、 分别是 、 的中点,DOMBDP是 的中位线， ， 1 分OMBP/面 ， 面 3 分面 4 分/P（2） 底面 ACD是菱形， ，5 分BAC面 ， 面 ，B6 分P面 ， 面 ， ，7 分AAP面 8 分DC面 ，9 分B面 面 10 分P（3）因为底面 是菱形， ，所以 11 分A2,60BAD23ABCDS四棱锥 的高为 ， ，得 12 分BCDP13P面 ， 面 ， 13 分PABCDABCPAB在 中, . 14 分Rt2532
12、219、 （14 分）解：(1) 由 27126a得 7a，所以 14a 5na， 从而 (9)nS-6 分 (2)由题意知 1234,1b 设等比数列 nb的公比为 q，则 21b，()8()122mmmT1()随 递减， mT为递增数列，得 48mT 又 22(9) 981(9)()4nSnn， 故 ax45()10nSS， 若存在 *Nm, 使对任意 总有 nmST则 0，得 2-14 分20 （14 分） 解：(1)证明：设直线的方程为： ，2()ykx联立方程可得 得 24ykx24k设 ， ， ，则 ，1(,)Ax2(,)B(,0)C121244,kxx，21 2()Mkxkk而
13、， ，2224()(0)C0MCAB即 成等比数列,AB(2)由 ，得,C， ，1112(,)()xyxyk222(,)(,)xxyk即得： ，则 12,11224x由(1)中代入得 ，故 为定值且定值为1.21 （14 分）解：（1）因为 ，所以 ，令2()fxa2()fxa2()1fxa得： ，此时 ， 2 分2xa214y则点 到直线 的距离为 ，21(,)4a30xy2即 ，解之得 4 分2714a（2）解法一：不等式 的解集中的整数恰有 3 个，2()(xf等价于 恰有三个整数解，故 ， 6 分2(1)10a20a令 ，由 且 ， hxx()10h()()h所以函数 的一个零点在区间
14、 ，2(),1则另一个零点一定在区间 ， 8 分(3,)故 解之得 10 分(2)0,3h42a解法二： 恰有三个整数解，故 ，即 ，6 分2(1)10x210a1，2()()aax所以 ，又因为 ， 8 分1x1所以 ，解之得 10 分32a432（3）设 ，则 ()()lnFxfgxex2 ()()exexF所以当 时， ；当 时， 0e00因此 时， 取得最小值 ，x()x则 与 的图象在 处有公共点 12 分()fge(,)2e设 与 存在 “分界线”，方程为 ，xykx即 ，2eyk由 在 恒成立，则 在 恒成立 ()fxxR20xkexR所以 成立， 因此 22 24()484()kekeke下面证明 恒成立)0gxx设 ，则 ()ln2eGxex()()eexGx所以当 时， ；当 时， 00()0因此 时 取得最大值 ，则 成立xe()x()2efxx故所求“分界线”方程为： 14 分2ey
