1、2016 高考数学解题方法第 1 计 芝麻开门 点到成功计名释义七品芝麻官，说的是这个官很小，就是芝麻那么小的一点. 阿里巴巴用“芝麻开门” ，讲的是“以小见大”. 就是那点芝麻，竟把那个庞然大门给“点”开了. 数学中，以点成线、以点带面、两线交点、三线共点、还有顶点、焦点、极限点等等，这些足以说明“点”的重要性. 因此，以点破题，点到成功就成了自然之中、情理之中的事了. 典例示范例题将杨辉三角中的每一个数rnC都换成分数rnC)1(，就得到一个如下图所示的分数三角形，称来莱布尼茨三角形. 从莱布尼茨三角形可以看出 rnxrnC1)()1( ，其中 x . 令221)(6032nnn Ca，则
2、 nlim. 分析 一看此题，图文并举，篇幅很大，还有省略号省去的有无穷之多，真乃是个庞然大物. 从何处破门呢？我们仍然在“点”上打主意. 莱布三角形，它虽然没有底边，但有个顶点，我们就打这个顶点 1的主意. 解 将等式rnxrnCC1)()1( 与右边的顶点三角形对应（图右） ，自然有21)(rnC2)1(xnC1rn对此，心算可以得到：n =1，r =0，x=1对一般情况讲，就是 x = r+1 这就是本题第 1 空的答案. 插语 本题是填空题，只要结果，不讲道理. 因此没有必要就一般情况进行解析，而是以点带面，点到成功. 要点明的是，这个顶点也可以不选大三角形的顶点. 因为三角形中任一个
3、数，都等于对应的“脚下”两数之和，所以选择任何一个“一头两脚”式的小三角形，都能解出 x = r+1. 第 2 道填空，仍考虑以点带面，先抓无穷数列的首项 31. 解 在三角形中先找到了数列首项 31，并将和数列601312na中的各项依次“以点连线” （图右实线） ，实线所串各数之和就是 an . 这个 an，就等于首项 左上角的那个 21. 因为 在向下一分为二进行依次列项时，我们总是“取右舍左” ，而舍去的各项（虚线所串）所成数列的极限是 0. 因此得到nalim21这就是本题第 2 空的答案. 点评 解题的关键是“以点破门” ，这里的点是一个具体的数 31，采用的方法是以点串线三角形中
4、的实线，实线上端折线所对的那个数 21就是问题的答案. 事实上，三角形中的任何一个数（点）都有这个性质. 例如从 201这个数开始，向左下连线（无穷射线），所连各数之和（的极限）就是 201这个数的左上角的那个数 1. 用等式表示就是 1240612链接 本题型为填空题，若改编成解答题，那就不是只有 4 分的小题，而是一个 10 分以上的大题. 有关解答附录如下. 法 1 由rnrnrnCC11)()( 知，可用合项的办法，将 na的和式逐步合项. 221)(302nnna112212432 )()()(51 nnnn CCC1122432 )(nnn112)(nCC 1)(nC)(22法 2
5、 第二问实质上是求莱布尼茨三角形中从第三行起每一行的倒数的和，即 231241302 )(5 nnna根据第一问所推出的结论只需在原式基础上增加一项1)(nC，则由每一行中的任一数都等于其“脚下”两数的和，结合给出的数表可逐次向上求和为2，故1)(nna，从而21)1(2limli nnn Ca法 3 （2 ）将 1rx代入条件式，并变形得rnrnrn)1()(11取 ,1r令 ,3,n得 1223)1(3C13234)1(2C，143245)(0 1121)(nnnCC112)()( nnCC以上诸式两边分别相加，得 )1(2na2说明 以上三法，都是对解答题而言. 如果用在以上填空题中，则
6、是杀鸡动用了牛刀. 为此我们认识到“芝麻开门，点到成功”在使用对象上的真正意义. 对应训练1如图把椭圆1625yx的长轴 AB 分成 8 份，过每个分点作 x 轴的垂线交椭圆的上半部分于 P1，P2，P7 七个点，F 是椭圆的一个焦点，则|P1F|+|P2F|+ +|P7F|=_.2如图所示，直三棱柱 ABCA1B1C1 中，P，Q 分别是侧棱 AA1，CC1 上的点，且 A1P=CQ，则四棱锥B1A1PQC1 的体积与多面体 ABCPB1Q 的体积比值为 . 参考解答1找“点” 椭圆的另一个焦点 F2. 连接 P1F2 、P2F2 、P7F2，由椭圆的定义 FP5+P5 F2 = 2a =1
7、0如此类推 FP1+P1F2 = FP2 + P2F2 = =FP7 + P7F2 = 710 = 70由椭圆的对称性可知，本题的答案是 70 的一半即 35.2找“点”动点 P、Q 的极限点. 如图所示，令 A1P = CQ = 0. 即动点 P 与 A1 重合，动点 Q 与 C 重合.则多面体蜕变为四棱锥 CAA1B1B，四棱锥蜕化为三棱锥 CA1B1C1 .显然 31 1 CBAVV 棱柱. 1 BA BA1 = 2于是奇兵天降答案为 2.点评 “点到成功”的点，都是非一般的特殊点，它能以点带面，揭示整体，制约全局. 这些特殊点，在没被认识之前，往往是人们的盲点，只是在经过点示之后成为亮
8、点的. 这个“点”字，既是名词，又是动词，是“点亮”和“亮点”的合一.第 2 计 西瓜开门 滚到成功计名释义比起“ 芝麻 ”来， “西瓜”则不是一个 “点”，而一个球. 因为它能够“滚” ，所以靠“滚到成功”. 球能不断地变换碰撞面，在滚动中能选出有效的“触面”.数学命题是二维的. 一是知识内容，二是思想方法. 基本的数学思想并不多，只有五种：函数方程思想，数形结合思想，划分讨论思想， 等价交换思想， 特殊一般思想. 数学破题，不妨将这五种思想“滚动” 一遍，总有一种思想方法能与题目对上号.典例示范题 1 对于 R 上可导的任意函数 f（x） ，若满足（x1 ）f （x）0，则必有A. f（0
9、）f （2）0 （ f (1)对应选项 C，D（右图下拱曲线）. 则满足条件(x-1) f （x）0.探索 本题涉及的抽象函数 f (x)，没有给出解析式，只给出了它的一个性质：(x-1) f （x）0，并由此可以判定 f (0)+ f (2) f (1). 自然，有这种性质的具体函数是很多的，我们希望再找到一些这样的函数.变题 以下函数 f (x)，具有性质(x-1) f （x）0 从而有 f (0)+ f (2) 2 f (1)的函数是A. f（x ） = (x-1)3 B. f（x ）= (x-1) 21C. f（x ）= (x-1) 35D. f（x ）= (x-1) 2056解析 对
10、 A，f (0)= -1， f (2) =1，f (1)=0，不符合要求；对 B，f (0)无意义；对 C，f (0)= -1， f (2) =1，f (1)=0，不符合要求；答案只能是 D. 对 D， f (0)= 1， f (1) =0，f (2)=1.且 f （x）= 2056(x-1) 205 使得 (x-1) f(x) =(x-1) 2056(x-1) 20510.说明 以 x=1 为对称轴、开口向上的函数都属这类抽象函数. 如 f（x）=(x-1) 12mn，其中 m，n 都是正0整数，且 nm.点评 解决抽象函数的办法，切忌“一般解决”，只须按给定的具体性质“就事论事” ，抽象函
11、数具体化，这是“ 一般特殊思想” 在解题中具体应用.题 2 已知实数 x，y 满足等式 36942yx，试求分式 5xy的最值。分析 “最值”涉及函数， “等式”连接方程，函数方程思想最易想到.解一 （函数方程思想运用）令 kxy5y = k (x-5) 与方程2yx联立消 y，得： 036590)94(22 kx根据 x 的范围 3,应用根的分布得不等式组：3)49(203065)(9) )2(4022kkkf解得 12k即 1 5xy 21即所求的最小值为 21，最大值为 21.插语 解出 21 5xy 21，谈何易！十人九错，早就应该 “滚开” ，用别的思想方法试试.解二 （数形结合思想
12、运用）由 36942yx得椭圆方程 1492yx，5xk看成是过椭圆上的点（x，y） ，(5，0)的直线斜率（图右）.联立 )5(36942xky得 0362590)94(2 kxk令 0得 21，故 5xy的最小值为 21，最大值为 21.插语 这就是“滚动”的好处，解二比解一容易多了. 因此，滚动开门，不仅要善于“滚到” ，还要善于“滚开”.点评 “西瓜开门”把运动学带进了考场解题. 滚动能克服解题的思维定势.解题时，要打破思维固化，在思想方法上要“滚动” ，在知识链接上要“滚动” ，在基本技能技巧上也要“滚动”. 总之，面对考题，在看法、想法和办法上要注意“滚动”.对应训练1.若动点 P
13、 的坐标为 (x,y)，且 lgy，lg|x|，lg 2xy成等差数列，则动点 P 的轨迹应为图中的 ( )2.函数 y=1- 21x (-1x0,a+2b+cac C.b2ac 且 a0 D.b2ac 且 a0且 yx.选项 B 中无 x0 的图像，均应否定；当 x=yR+时， lg 2xy无意义，否定 A,选 C【点评】 上面的解法中条件与选项一并使用，滚滚碰碰中终于找到了正确的选项.本题的常规解法是：当 x0且 yx 时，由 lgy+lgxy=2lg|x|，化简可得(x+y)(2x-y)=0. y=-x 或 y=2x(x0,y0).2.【思考】 分析各选项，仅解析式符号有区别.定义域中等
14、号的位置有区别，所以拟从这两方面滚动着手排除错误的选项.原函数定义域为-1x0,a+2b+c0,f(1)=a+2b+c0,即 b2ac,故选 B.【点评】 在解题时易受题设条件的干扰,企图从已知不等式出发:4b0)与连结 A(1,2),B(3,4)两点的线段没有公共点,求 a 的取值范围.参考答案1.692命 sin2=sin2=sin2= 31,则 cos2=cos2=cos2= 32.、 为锐角时，cos=cos=cos= 32. coscoscos=6978.(注：根据解题常识，最大值应在 cos=cos =cos 时取得 ).2.解析 按常规,设椭圆中心为 (x0,y0),并列出过已知
15、点 P 的切线方程 ,联立消参可求得椭圆方程.若借极限思想,将点椭圆视为椭圆的极限情况, 则可简化运算过程.已知 e= 52,则 a2=5b2.设长轴平行于 y 轴且离心率 e= 52的椭圆系为(x+ky22)3(1)，把点 P(-)35,2看做当 k0 时的极限情形(点椭圆), 则与直线 l:2x-y+3=0 相切于该点的椭圆系即为过直线 l 与“点椭圆”的公共点的椭圆系方程:(x+)2()5()2 yxy又所求的椭圆过（1，0）点, 代入求得 =- 32.因此所求椭圆方程为 x2+ 52y=1.点评 将点椭圆视为椭圆的极限情况处理问题,减少了运算量,简化了运算过程.3.解析 若按常规,需分
16、两种情况考虑 :A,B 两点都在椭圆外; A,B 两点都在椭圆内.若借用补集思想则避免了分情况讨论,使计算简洁.设 a 的允许值的集合为全集 I=a|aR,a0,先求椭圆和线段 AB 有公共点时的取值范围.易得线段 AB 的方程为 y=x+1,x1,3, 由方程组123122xaxy得,x1,3 ,a2 的值在 1,3内递增,且 x=1 和 x=3 时分别得 a2= 29或 a2=41,故 29a241.a0, 23a 8.故当椭圆与线段 AB 无公共点时,a 的取值范围为 08.第 4 计 关羽开门 刀举成功计名释义关羽不同于诸葛. 诸葛是智星，靠着扇子；关羽是武士，用的大刀. “过关斩将”
17、用这大刀， “水淹七军”用这大刀. 数学上的“分析” 、 “分解” 、 “分割”等，讲的都是刀工. 关羽的“切瓜分片”是什么意思？切者，七刀也，分者，八刀也！再难的数学题，经过这七刀、八刀，最后不就粉碎了吗！典例示范例 1 如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，E、P 分别是 BC、A1D1 的 中点，M 、 N 分别是 AE、CD1 的中点，AD=AA1=a ，AB=2a.（）求证：MN面 ADD1A1；（）求二面角 PAED 的大小；（）求三棱锥 PDEN 的体积.分析 这是个长方体，而“长”正好是“宽”和“高”的 2 倍，这正是“关羽开门”的对象：用刀从中一劈，则分成 2 个相等
18、的正方体 . 对于正方体，我们该多么熟悉啊！有关线段的长度，各线段间的位置关系，我们都了如指掌.解 取 D1C1 的中点 Q ，过 Q 和 MN 作平面 QRST. 显然，M、N 都在这平面里.易知 QN 和 SM 都平行于平面 BCC1B1 MNBCC1B1 MN面 ADD1A1（证毕）.插语 其所以这么简单，是因为我们对正方体熟悉. 正方体从何而来，感谢关羽的大刀之功. 以后的（）和（） ，都可转化到正方体里进行（从略）.【例 2】 设 p0 是一常数，过点 Q（2p，0 ）的直线与抛物线 y2=2px 交于相异两点 A、B，以线段 AB 为直径作圆 H（H 为圆心）.（）试证：抛物线顶点
19、在圆 H 的圆周上；（）并求圆 H 的面积最小时直线 AB 的方程.【分析】 （）AB 是圆 H 的直径，欲证抛物线的顶点在圆上，有如下各种对策： （1）证|OH|= 21|AB|.(2)证|OA|2+|OB|2=|AB|2 （3 ）证AOB=90,即 OAOB，等.显然，利用向量知识证 OBA=0,当为明智之举.【解答】 （）当 ABx 轴时，直线 AB 的方程为 x=2p,代入 y2=2px;y2=4p2,y=2p,|AB|=|y1-y2|=4p. 显然，满足|OQ|= 21|AB|,此时 Q、H 重合,点 Q 在H 上.如直线 AB 与 x 轴不垂直，设直线 AB：y=tan(x-2p)
20、,x= py2,代入：y=tan py-2ptan. 即 tany2-2py-4p2tan=0.此方程有不同二实根 y1y2,y1+y2= tan2p,y1y2=-4p2. OBA =x1x2+y1y2= py21+y1y2=2416-4p2=0. ,故点 O 仍在以 AB 为直径的圆上.【分析】 ()为使圆面积最小只须圆半径取到最小值，为此不可避免的要给出直径 AB 之长的函数表达式，直观上我们已可推测到当 ABx 轴时，弦 AB 之长最短(这就是论证方向)，为此又有多种途径:(1)用直线的点斜式与抛物线方程联立，得关于 x（或 y）的一元二次方程，利用韦达定理写出|AB|2 的函数式，再用
21、二次函数或均值不等式的知识求其最值.(2)用直线的参数方程与抛物线方程联立，得关于参数 t 的一元二次方程，利用韦达定理写出|AB|2=（t1-t2）2 的函数表达式，再依正、余弦函数的有界性求其最值.这两种方法各有优长，但都须牵涉到两个变量 x,y,以下我们推荐，利用投影公式得出的 |AB|函数式，只牵涉一个变量.【解答】 （）直线 AB 的倾角为 ,当 =90时，H 的半径为 2p,SH=4p2.当 90时，不妨设 0, 2)，则ppyypxAB424tan1si216tansi1)(t2cocos|)(|cos|s| 2212111综上，|AB|min=4p, 当且仅当 =90时， （S
22、H）min=4p2,相应的直线 AB 的方程为：x=2p.别解：由（1）知恒有AOB=90.| AB|2=|22|OB= 12yx2x1x2+2p(x1+x2)2x1x2+4p 21.y1y2=-4p2,x1x2=24py于是| AB|216p2,| |min=4p.当且仅当 x1=x2=2p 时，SH=4p2.【点评】 斧子开门，只要你说要进去，直接在墙上打洞最直接了.对应训练1.已知函数 f(x)=a1x+a2x2+a3x3+anxn,nN+,且 a1,a2,， an 构成一个数列an,满足 f(1)=n2.(1)求数列an 的通项公式，并求 1limna之值.(2)证明 0 3l 5ln
23、旁白 才子一看，发现是个错解，于是有以下的评语. 评语 学了导数可糟糕，杀鸡到处用牛刀，单调区间不清楚，乱用函数比大小.解二 作差比较法 2ln- 3= 98ln61l8n32lln0旁白 才子一看，答案虽是对的，但解题人有点过于得意，因此得到以下评语.评语解题成本你不管，别人求近你走远，作差通分太费力，面对结果向回转.旁白 大家听才子这么说，纷纷要求才子本人拿出自己的解法来，于是有了以下的奇解.奇解 2ln 3l= 9ln81 3ln 2l 5ln旁白 大家一看，十分惊喜，但对解法的来历有点奇怪. 于是才子有了如下的自评.自评 标新本来在立意，别人作商我作积，结果可由心算出，不用花费纸和笔.
24、旁白 这时，上面那位提供解法一的人有点不服气：难道“求导法”就不能解出此题吗？才子回答：当然能！不过需要“统一单调区间” ，请看下解5ln2l3ln正解 f (x) = xlnf(x)= 21xlne4l 5l3lln 5l旁白 大家一看，齐声说妙，要求才子再评说一下. 于是又有了下面的奇文.评语 因为数 3 比 e 大，单调区间从 3 划，数 4 也在本区间，故把数 2 搬个家.【例 1】 已知向量 a=( ，1)，b 是不平行于 x 轴的单位向量，且 ab= 3，则 b= ( ) A( 23， ) B ( 21,3) C.( 431) D （1，0 ）【特解】 由|b|=1，排除 C；又
25、b 与 x 轴不平行，排除 D；易知 b 与 a 不平行，排除 A.答案只能为 B.【评说】 本解看似简单，但想时不易，要看出向量 b 与 A( 2)是平行向量，一般考生不能做到.【别解】 因为 b 是不平行于 x 轴的单位向量，可排除 C、D 两项. 又 ab= 3,将 A 代入不满足题意,所以答案只能为 B.【评说】 本题通过三次筛选才得出正确答案, 思维量很大 ,到 A、B 选项时还需动手计算，真是淘尽黄沙始是金啊！【另解】 设 b=(cos,sin ),则 ab=( 3,1)(cos,sin)= 3cos+sin = 3 sin(60+)= 23在区间（0，）上解 得： =60.故 b
26、=( 231).【评说】 本题涉及解三角方程，并确定解答区间，这不是一个小题的份量.【错解】 选 A 者,误在( 21)3a，选 C 者,误在|（ 4,1）a|=1.选 D 者，没有考虑到（1，0）与 x 轴平行.【评说】 本题三个假支的设计，其质量很高，各有各的错因，相信各有各的“选择人”.对应训练1.若奇函数 f(x)在(0,+ )上是增函数, 又 f(-3)=0,则x|xf(x)3 或-33 或 x0)的草图(如图（2 ）),x、f(x)均为 R 上的奇函数 ,x f(x)为偶函数,不等式 xf(x)0，且 g(-3)=0, 则不等式 f (x)g(x)0.F(x)在 R 上为增函数.F
27、(-x)= f (-x)g (-x)=-f (x)g (x). =-F(x).故 F(x)为 (-,0)(0,+) 上的奇函数.F(x)在 R 上亦为增函数.已知 g(-3)=0,必有 F(-3)=F(3)=0.构造如图的 F（ x）的图象，可知 例 3 题解图F(x)kMA=0;kMN(1-a) 2 B. log(1-a) (1+a)0 C. (1-a)3(1+a)2 D .(1-a)1+a 1【思考】 本题关键点在 a,我们一个特殊数值，作为本题的模特.令 a= 21,各选项依次化为： （ ）A2131B. 023log1C23D. 显然，有且仅有 A 是正确的，选 A .【点评】 本题是
28、一个选择题，因此可以选一个模特数代表一类数，一点动众.你还需要讲“道理”吗？xy21log为减函数，log 213log210, B 不对；xy)21(也是减函数，12103, D 不对；直接计算，C 也不对；只有 A 是对的.【例 2】 已知定义在实数集 R 上的函数 y=f (x)恒不为零，同时满足:f (x+y)=f (x)f (y),且当 x0 时，f (x)1,那么当 x1 D.00 时，f (x)1,根据指数函数的性质，当 x0.由条件：f (-x)1, 故 x0,由图（2 ）知 g(x)bc0, 且 a、b 、c 成等差数列，试证明： cba1,不能组成等差数列.4.求证：抛物线
29、 y=12x上不存在关于直线 y=x 对称的两点.参考答案1正难反收，先解决 k 为何值时，直线可以垂直平分该抛物线的某弦，再求它的补集，设弦两端点为 A(x1, y1), B(x2, y2), 那么: .1221212121 yxykxyxyAB设直线 l:y-1=k(x-1)垂直且平分 AB, 则 kAB= , 设 AB 之中点为 M(x0, y0), y1+y2=2y0, y0= 2k, 又由 y0-1= k(x0-1),得 x0= kky120, 而 M 在抛物线内部.y200, -2,在(0, )内 y=sinx 为增函数，必 sinsin0, 由条件： sin(cos -2) +c
30、ossin=0.1sinco2 cos+cos2，这是不可能的.故 不能成立，必有 bc0 矛盾. cba1,不能组成等差数列.4.假定抛物线 y= 2x上存在关于直线 y=x 对称的两点 A(a , b)与 B (b, a).kAB= -1, 知 ab. 有： 122ba-：b-a = 21(a+b) (a-b). ab, a+b=-2 代入：-2-a=a. 即 a2+2a+3=0.此方程无实根，故所设符合题设条件的点 A（a, b） ，B (b, a)不存在.也就是抛物线 y= 21x2-1 上不存在关于直线 y=x 对称的两点.第 9 计 瞎子开门 伸手摸缝计名释义命题人本来为解题人设计
31、了“题门” ，即所谓题目的入口处.但对“瞎子”来讲，他不是在看，而是用手去摸.在摸的过程中，他没有能力关心整个大门，而只是关心这个门的门缝.如果遇上了门缝，他便将手伸到门的后面，轻轻地把门闩拉掉，题门也就随之开了.典例示范例题 已知不等式log21321n，其中 n 为大于 2 的整数， log2n表示不超过 n2log的最大整数 奎 屯王 新 敞新 疆 设数列 na的各项为正，且满足 11,)0(naba， ,43 奎 屯王 新 敞新 疆（）证明： log22nbn， ,543；（）猜测数列 na是否有极限？如果有，写出极限的值；（）试确定一个正整数 N，使得当 nN 时，对任意 b0，都有
32、 51na 奎 屯王 新 敞新 疆分析 此题有 3 扇门，即题问（） ， （） ， （）.用手去摸，发现（）是个门缝，因为（）最轻便：一是“猜” ，二是“写出” （不要求说道理）.于是，可以把手伸到（）的后面，把（）当作门闩抽掉.解 因为 0 N 时，都有 5na 奎 屯王 新 敞新 疆插语 （） ， （）已破，题门大开，回师攻（）形势更好.解 问题简化为已知：log21321n 1nna求证： log22nban插语 先抓住求证式，其右边的分母中有变量 log2n，顺藤摸瓜，找到已知式中的 log2n，不过它却在“分子”上.至此，快摸到问题（）的“门闩”.续解 式变为abnan 212llo
33、g1得式 n21l.插语 式即为题（）的门闩.以下用式与式连接，从式中变出 na1.续解 由式得 annn111得式 n1依次令 n=2,3,4,得212a323a nan1两边相加得 n11代式 n2log32于得l12an.这就是要证的式.从而证得式： log2nbn，即问题（）得证.插语 变为，用的是分析法.变、为，用的是综合法.条件（，）不等式（）的证明，经常利用“分析综合法”进行两边夹攻.评论 本题是一道难度很高的压轴大题， “伸手摸缝”的策略，改变了命题人原来设定的解题顺序，即从（）到（） 、再到（）的一般顺序.从而使得易解的（）成为该大题的“题缝”.对于最难的题（） ，仍然采用了
34、中间突破的办法，成功的关键也是从中找到了题（）的题缝：nan21log，实际上，不等式的证明中，分析法与综合法的接头处，正是问题的题缝.对应训练对以上例题第（）问改为如下的问题：已知不等式log2132n，其中 n 为大于 2 的整数， log2n表示不超过 n2log的最大整数 奎 屯王 新 敞新 疆 设数列 na的各项为正，且满足 11,)0(naba， ,43 奎 屯王 新 敞新 疆（）设 f(n)= n312,用数学归纳法证明： bfn)(；（）求证： log2ban， ,543；参考答案分析 本题的（） 、 （）问，显然第（）问比第（）问容易.因此我们可以先解第（）问，这时必需把第（
35、）问的结果当作已知 题门从后面拨开.解（）： 由已知不等式log21321n得 bnfan)(1,543,llog122 bn解（）： 设f13，利用数学归纳法证不等式,54,)(1nbfan 奎 屯王 新 敞新 疆（）当 n=3 时，由bfaaa )3(1231312，知不等式成立 奎 屯王 新 敞新 疆（）假设当 n=k（k3）时，不等式成立，即 bkfk)(，则,)1()1(1)(1)( )()(11)(11 bkfbkfbkfk kfakkak 即当 n=k+1 时，不等式也成立 奎 屯王 新 敞新 疆由（） （）知，,543,)(1nbfan 奎 屯王 新 敞新 疆插语 数学归纳法证
36、题，在 k 到 k+1 之间，存在着一个 “题缝”.从 k 正推，属综合法；由 k+1 反推，属分析法.“题缝”就藏在综合与分析的“接头处”.从考场策略上讲，若在“接头处”遇上困难，可用“因为所以”的模糊法把前后的“裂缝拉拢” ，以便逃脱阅卷人的苛求.说明 这里的解答，把（）放在（）的前面，只是“草纸”上的思考顺序.真正在试卷上答题时，仍应把第（）问的解答放在前面，除非对（）没有解出.第 10 计 聋子开门 慧眼识钟计名释义一群人到庙里上香，其中有一个聋子，还有一个小孩.上香完毕，发现小孩不见了.半天找不到影子后，大家来“问”这聋子.聋子把手一指，发现小孩藏在大钟底下，而且还在用手拍钟.大家奇怪，连我们都没有听见小孩拍钟的声音，聋子怎么听着了呢？其实，大伙把事情想错了，聋子哪里听到了钟声，只是凭着他的亮眼，发现大钟底下是好藏小孩的地方. 聋子的直觉感往往超过常人.数学家黎曼是个聋子，据说，他所以能创立他的黎曼几何，主要受益于他的超人的直觉看图.为了增强直觉思维，建议大家在解数学题时，不妨装装聋子，此时，难题的入口处，可能闪出耀眼的灯光.
