1、2.1.2 演绎推理演绎推理提出问题看下面两个问题:(1)一切奇数都不能被 2 整除,(2 2 0121)是奇数,所以(2 2 0121) 不能被 2 整除;(2)两个平面平行,则其中一个平面内的任意直线必平行于另一个平面,如果直线 a 是其中一个平面内的一条直线,那么 a 平行于另一个平面问题 1:这两个问题中的第一句都说的什么?提示:都说的一般原理问题 2:第二句又说的什么?提示:都说的特殊示例问题 3:第三句呢?提示:由一般原理对特殊示例作出判断导入新知1演绎推理的概念从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论的推理称为演绎推理简言之,演绎推理是由一般到特殊的推理2三段论“三段论”是演
2、绎推理的一般模式,包括:(1)大前提已知的一般原理;(2)小前提所研究的特殊情况;(3)结论根据一般原理,对特殊情况作出的判断“三段论”可以表示为:大前提:M 是 P.小前提:S 是 M.结论:S 是 P.化解疑难辨析演绎推理与合情推理(1)演绎推理是确定的、可靠的,而合情推理则带有一定的风险性严格的数学推理以演绎推理为基础,而数学结论、证明思路等的发现主要靠合情推理(2)合情推理和演绎推理分别在获取经验和辨别真伪两个环节中扮演重要角色因此,我们不仅要学会证明,而且要学会猜想把演绎推理写成三段论的形式例 1 将下列演绎推理写成三段论的形式(1)一切奇数都不能被 2 整除,75 不能被 2 整除
3、,所以 75 是奇数(2)三角形的内角和为 180,RtABC 的内角和为 180.(3)菱形对角线互相平分(4)通项公式为 an3n2(n 2)的数列a n为等差数列解 (1)一切奇数都不能被 2 整除(大前提)75 不能被 2 整除(小前提)75 是奇数(结论)(2)三角形的内角和为 180.(大前提)RtABC 是三角形(小前提)RtABC 的内角和为 180.(结论)(3)平行四边形对角线互相平分( 大前提)菱形是平行四边形(小前提 )菱形对角线互相平分(结论 )(4)数列a n中,如果当 n2 时,a na n1 为常数,则 an为等差数列( 大前提)通项公式 an3n2,n2 时,
4、ana n1 3n23(n1) 23(常数) (小前提)通项公式为 an3n2(n2)的数列a n为等差数列(结论 )类题通法三段论的推理形式三段论推理是演绎推理的主要模式,推理形式为“如果 bc,ab,则 ac.”其中,bc 为大前提,提供了已知的一般性原理;ab 为小前提,提供了一个特殊情况;ac为大前提和小前提联合产生的逻辑结果活学活用把下列推断写成三段论的形式:(1)ysin x (xR)是周期函数(2)若两个角是对顶角,则这两个角相等,所以若1 和 2 是对顶角,则1 和2 相等解:(1)三角函数是周期函数,大前提ysin x (xR)是三角函数,小前提ysin x (xR)是周期函
5、数结论(2)两个角是对顶角,则这两个角相等,大前提1 和2 是对顶角,小前提1 和2 相等结论三段论在证明几何问题中的应用例 2 已知 A,B,C,D 四点不共面, M,N 分别是ABD 和BCD 的重心,求证:MN平面 ACD.证明 如图所示,连接 BM,BN 并延长,分别交 AD,DC 于 P,Q 两点,连接 PQ.因为 M,N 分别是ABD 和BCD 的重心,所以 P,Q 分别是AD,DC 的中点又因为 ,所以 MNPQ ,又 MN平面BMMP BNNQADC,PQ 平面 ADC,所以 MN平面 ACD.类题通法三段论在几何问题中的应用(1)三段论是最重要且最常用的推理表现形式,我们以前
6、学过的平面几何与立体几何的证明,都不自觉地运用了这种推理,只不过在利用该推理时,往往省略了大前提(2)几何证明问题中,每一步都包含着一般性原理,都可以分析出大前提和小前提,将一般性原理应用于特殊情况,就能得出相应结论活学活用已知在梯形 ABCD 中,如图,ABCDAD,AC 和 BD 是梯形的对角线,求证:AC平分BCD,DB 平分CBA.证明:等腰三角形两底角相等,(大前提)DAC 是等腰三角形,1 和2 是两个底角,(小前提)12.(结论)两条平行线被第三条直线截得的内错角相等,(大前提)1 和3 是平行线 AD、BC 被 AC 截得的内错角,( 小前提)13.(结论)等于同一个角的两个角
7、相等,(大前提)21,31,(小前提 )23,即 AC 平分BCD .(结论)同理可证 DB 平分CBA.演绎推理在代数中的应用例 3 已知函数 f(x)a x (a1) ,求证:函数 f(x)在(1,) 上为增函x 2x 1数证明 设 x1,x 2 是( 1,)上的任意两实数,且 x1 x2,则 f(x1)f(x 2)ax 1 ax 2x1 2x1 1 x2 2x2 1ax 1ax 2 x1 2x1 1 x2 2x2 1ax 1ax 2 ,3x1 x2x1 1x2 1a1,且 x1x 2,ax 1ax 2,x 1x 20.又x 11,x 21,(x 11)(x 21)0.f(x 1)f(x
8、2)0.f(x 1)f(x 2)函数 f(x)在(1,)上为增函数类题通法使用三段论应注意的问题(1)应用三段论证明问题时,要充分挖掘题目外在和内在条件( 小前提),根据需要引入相关的适用的定理和性质(大前提 ),并保证每一步的推理都是正确的,严密的,才能得出正确的结论(2)证明中常见的错误:条件分析错误(小前提错)定理引入和应用错误(大前提错 )推理过程错误等活学活用已知 a,b,m 均为正实数, ba,用三段论形式证明 .ba b ma m证明:因为不等式(两边)同乘以一个正数,不等号不改变方向, (大前提)ba,m0,(小前提)所以,mbma.(结论)因为不等式两边同加上一个数,不等号不
9、改变方向,(大前提)mbma,( 小前提 )所以,mbabmaab,即 b(am)a( bm) (结论)因为不等式两边同除以一个正数,不等号不改变方向,(大前提)b(am) a(b m),a(am)0,(小前提)所以, ,即 .(结论)ba maa m ab maa m ba b ma m2.混 淆 三 段 论 的 大 小 前 提 而 致 误典例 定义在实数集 R 上的函数 f(x),对任意 x,yR,有 f(xy)f(x y)2f(x)f( y),且 f(0)0,求证:f( x)是偶函数证明:令 xy0,则有 f(0)f(0)2f(0) f(0),因为 f(0)0,所以 f(0)1,令 x0
10、,则有 f(y) f(y )2f(0)f(y )2f (y),所以 f(y) f(y ),因此,f(x) 是偶函数以上证明结论“f(x )是偶函数”运用了演绎推理的“三段论 ”,其中大前提是:_.解析 通过两次赋值先求得“f (0)1” ,再证得“f (y)f(y) ”,从而得到结论“f (x)是偶函数” 所以这个三段论推理的小前提是“f(y)f( y)”,结论是“f(x)是偶函数” ,显然大前提是“若对于定义域内任意一个 x,都有 f(x )f( x),则 f(x)是偶函数” 答案 若对于定义域内任意一个 x,都有 f(x) f (x),则 f(x)是偶函数易错防范解本题的关键是透彻理解三段
11、论推理的形式:大前提小前提结论,其中大前提是一个一般性的命题,即证明这个具体问题的理论依据因此结合 f(x)是偶函数的定义和证明过程容易确定本题答案本题易误认为题目的已知条件为大前提而导致答案错误成功破障所有眼睛近视的人都是聪明人,我近视得很厉害,所以我是聪明人下列各项中揭示了上述推理是明显错误的是_我是个笨人,因为所有的聪明人都是近视眼,而我的视力那么好所有的猪都有四条腿,但这种动物有八条腿,所以它不是猪小陈十分高兴,所以小陈一定长得很胖,因为高兴的人都长得很胖所有尖嘴的鸟都是鸡,这种总在树上待着的鸟是尖嘴的,因此这种鸟是鸡解析:根据中的推理可得:这种总在树上待着的鸟是鸡,这显然是错误的不符
12、合三段论的形式答案:随堂即时演练1 “四边形 ABCD 是矩形,所以四边形 ABCD 的对角线相等” ,补充该推理的大前提是( )A正方形的对角线相等B矩形的对角线相等C等腰梯形的对角线相等D矩形的对边平行且相等解析:选 B 得出“四边形 ABCD 的对角线相等”的大前提是“矩形的对角线相等” 2 “因为对数函数 ylog ax 是增函数(大前提) ,而 ylog x 是对数函数(小前提),所以13ylog x 是增函数(结论) ”上面推理错误的原因是( )13A大前提错导致结论错B小前提错导致结论错C推理形式错导致结论错D大前提和小前提都错导致结论错解析:选 A 大前提是错误的,因为对数函数
13、 ylog ax(0a1)是减函数3求函数 y 的定义域时,第一步推理中大前提是 有意义,即 a0,小log2x 2 a前提是 有意义,结论是 _log2x 2解析:由三段论的形式可知,结论是 log2x20.答案:log 2x2 04用三段论证明函数 f(x)x 在(1,) 上为增函数的过程如下,试将证明过程补1x充完整:_大前提_小前提_结论答案:如果函数 f(x)满足:在给定区间内任取自变量的两个值 x1,x 2,若 x1x 2,则f(x1)f (x2),那么函数 f(x)在给定区间内是增函数任取 x1,x 2(1,),x 1x 2,则 f(x1)f (x2) ,由于x1 x2x1x2 1x1x21x 1x 2,故 x1x 20,x 1x21,即 x1x210,所以 f(x1)f(x 2)函数 f(x)x 在(1 ,) 上为增函数1x5将下列推理写成“三段论”的形式(1)向量是既有大小又有方向的量,故零向量也有大小和方向;(2)矩形的对角线相等,正方形是矩形,所以正方形的对角线相等;(3)0.33 是有理数2 解:(1)向量是既有大小又有方向的量 大前提零向量是向量小前提零向量也有大小和方向结论(2)每一个矩形的对角线相等大前提正方形是矩形小前提正方形的对角线相等结论(3)所有的循环小数都是有理数大前提033 是循环小数小前提2 033 是有理数结论2