1、学业水平训练1下列四个函数中，能在 x0 处取得极值的函数是( )yx 3 y x21 y| x| y2 xA BC D解析：选 B.为单调函数，不存在极值2已知函数 yx ln(1x 2)，则函数 y 的极值情况是( )A有极小值 B有极大值C既有极大值又有极小值 D无极值解析：选 Dy1 (x21) 1 ，11 x2 2xx2 1 x 12x2 1令 y0，得 x1，当 x1 时，y0，当 x1 时，y0，函数无极值3(2014高考课标全国卷) 函数 f(x)在 xx 0 处导数存在若 p：f(x 0)0；q：xx 0 是 f(x)的极值点，则 ( )Ap 是 q 的充分必要条件Bp 是
2、q 的充分条件，但不是 q 的必要条件Cp 是 q 的必要条件，但不是 q 的充分条件Dp 既不是 q 的充分条件，也不是 q 的必要条件解析：选 C当 f(x 0)0 时，x x 0 不一定是 f(x)的极值点，比如，yx 3 在 x0 时，f(0)0，但在 x0 的左右两侧f(x)的符号相同，因而 x0 不是 yx 3 的极值点由极值的定义知，xx 0 是 f(x)的极值点必有 f(x 0)0.综上知，p 是 q 的必要条件，但不是充分条件4已知函数 f(x)，xR 有唯一极值，且当 x1 时，f(x)存在极小值，则( )A当 x( ，1)时，f(x)0；当 x(1，) 时，f(x) 0B
3、当 x(，1) 时，f(x)0；当 x(1，) 时，f( x)0C当 x(，1) 时，f(x)0；当 x(1，) 时，f( x)0D当 x( ，1)时，f(x)0；当 x(1，) 时，f(x) 0解析：选 Cf(x )在 x1 时存在极小值，则当 x1 时，f(x )0；当 x1 时，f(x)0.5已知函数 f(x)2x 3ax 2 36x24 在 x2 处有极值，则该函数的一个递增区间是( )A(2,3) B(3 ，)C(2，) D(，3)解析：选 B.因为函数 f(x)2x 3ax 236x24 在 x2 处有极值，所以有 f(2) 0，而 f(x )6x 2 2ax36，代入得 a15.
4、现令 f(x) 0，解得 x3 或 x2，所以函数的一个增区间是(3，)6函数 y3x 39x 5 的极大值为 _解析：y9x 29.令 y0 ，得 x1.当 x 变化时，y，y 的变化情况如下表：x (，1) 1 (1,1) 1 (1，)y 0 0 y 单调递增 极大 值 单调递减极小值单调递增从上表可以看出，当 x1 时，函数 y 有极大值3(1) 39( 1)511.答案：117已知函数 f(x)ax 3bx 2 c，其导数 f(x)的图象如图所示，则函数的极小值是_解析：由图象可知，当 x0 时，f ( x)0，当 0x2 时，f( x)0，故 x0 时函数 f(x)取极小值 f(0)
5、C 答案：c8已知 f(x)x 3ax 2bx c 在 x1 与 x 时都取得极值，则23a_，b_.解析：f(x)3x 22ax b ，令 f(x )0，由题设知 x11 与 x2 为 f(x) 0 的解23Error!，Error!.答案： 2129求下列函数的极值：(1)f(x)x 2ex ；(2) f(x) .ln xx解：(1)函数的定义域为 R.f(x)2xe x x 2ex x (2x)e x .令 f(x )0，得 x0 或 x 2.当 x 变化时，f( x)，f( x)的变化情况如表：x (，0) 0 (0,2) 2 (2，)f(x ) 0 0 f(x) 0 4e2 由上表可
6、以看出，当 x0 时，函数有极小值，且 f(0)0.当 x2 时，函数有极大值，且 f(2) .4e2(2)函数 f(x) 的定义域为(0 ，)，ln xxf(x) .令 f(x )0，即 0，得 xe.1 ln xx2 1 ln xx2当 x 变化时，f( x)，f( x)的变化情况如表：X (0，e) e (e，)f(x ) 0 f(x) 1e 由表可知，当 xe 时，函数的极大值是 .1e10已知函数 yax 3bx 2，当 x1 时，有极大值 3.(1)求 a，b 的值；(2)求函数 y 的极小值解：(1)y3ax 22bx ，由题意，得当 x1 时，y| x1 3a2b0，y |x1
7、 ab3，即Error!解得 a6，b9.(2)由(1)知 y 6x39x 2，则 y18x 218x .令 y0，得 x0 或 x1，经检验知 x0 是函数的极小值点，故 y 极小值 y| x0 0.高考水平训练1若函数 yx 33ax a 在(1,2)内有极小值，则实数 a 的取值范围是 ( )A1a2 B1a4C2a4 Da4 或 a1解析：选 B.y 3x 23a.当 a0 时，f(x)0，函数 y x33axa 为单调函数，不合题意，舍去；当 a0 时，y3x 23a0x ，不难分析当 1 2，即 1a4 时，函数a ayx 33axa 在(1,2) 内有极小值2(2014绵阳高二检
8、测)函数 yf(x)的导函数的图象如图所示，给出下面四个判断f(x)在区间2，1上是增函数；x1 是 f(x)的极小值点；f(x)在区间1,2上是增函数，在区间2,4上是减函数；x3 是 f(x)的极小值点其中，所有正确判断的序号是_解析：由题中函数 yf( x)的导函数的图象可知：f (x)在区间2，1 上是减函数，在1,2上为增函数，在2,4上为减函数f(x)在 x1 处取得极小值，在 x2 处取得极大值故正确答案：3已知函数 yx 33ax 23 bxc 在 x2 处有极值，且其图象在 x1 处的切线与直线 6x2y50 平行(1)求函数的单调区间；(2)求函数的极大值与极小值的差解：y
9、3x 26ax 3b.x2 是函数的极值点，1212a3b0，即 44ab0，又图象在 x1 处的切线与直线 6x2y 50 平行，y| x1 36a3b3，即 2ab20.由解得 a1，b0，此时 y3x 26x 3x(x2) (1)令 y0，得 3x(x2)0 ，解得 x0 或 x2，令 y0，得 3x(x2)0，解得 0x2，函数的单调减区间为(0,2)，单调增区间为( ，0)，(2，) (2)由(1)可以断定 x0 是极大值点，x2 是极小值点，又 yf(x) x 33x 2c，y 极大值 y 极小值 f(0) f(2)c(812c)4.4设 a 为实数，函数 f(x)x 3x 2x
10、a.(1)求 f(x)的极值；(2)当 a 在什么范围内取值时，曲线 yf(x)与 x 轴仅有一个交点？解：(1)f(x) 3x22x1.令 f(x )0，则 x 或 x 1.13当 x 变化时，f( x)，f( x)的变化情况如下表：x ( ，13) 13( ，1)131 (1，)f(x ) 0 0 f(x) 极大值 极小值 所以 f(x)的极大值是 f( ) a，13 527极小值是 f(1)a1.(2)函数 f(x)x 3x 2x a(x1) 2(x1) a1，由此可知，x 取足够大的正数时，有 f(x)0，x 取足够小的负数时，有 f(x)0，曲线 yf(x) 与 x 轴至少有一个交点由(1)知 f(x)极大值 f( ) a，13 527f(x)极小值 f(1)a1.曲线 yf(x) 与 x 轴仅有一个交点，f(x) 极大值 0 或 f(x)极小值 0，即 a0 或 a10，527a 或 a1，527当 a(， )(1 ，)时，曲线 yf(x) 与 x 轴仅有一个交点527
