1、专题研究 球与几何体的切接问题1(2017唐山模拟)正三棱锥的高和底面边长都等于 6，则其外接球的表面积为( )A64 B32C16 D8答案 A解析 如图，作 PM平面 ABC 于点 M，则球心 O 在 PM 上，PM6，连接 AM，AO，则 OPOAR(R 为外接球半径)，在 RtOAM 中，OM 6R ，OA R ，又 AB6，且ABC 为等边三角形，故 AM 2 ，则 R2(6 R) 2(2 )2，则 R4，所以2362 32 3 3球的表面积 S4R 264.2已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为 4，体积为 16，则这个球的表面积是( )A16 B20C24 D32答案 C解析
2、由 VSh ，得 S4，得正四棱柱底面边长为 2.画出球的轴截面可得，该正四棱柱的对角线即为球的直径，所以球的半径为 R .所以球的表面积为 S4R 224.故选 C.1222 22 42 63若一个正方体的体积是 8，则这个正方体的内切球的表面积是( )A8 B6C4 D答案 C解析 设正方体的棱长为 a，则 a38.因此内切球直径为 2，S 表 4r 24.4(2017课标全国)已知圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径长为 2 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )A B.34C. D. 2 4答案 B解析 根据已知球的半径长是 1，圆柱的高是 1，如图，所以圆柱的底面半径 r ，
3、所22 122 32以圆柱的体积 Vr 2h ( )21 .故选 B.32 345(2018安徽合肥模拟)已知球的直径 SC6，A ，B 是该球球面上的两点，且 ABSASB3，则三棱锥SABC 的体积为( )A. B.324 924C. D.322 922答案 D解析 设该球球心为 O，因为球的直径 SC6，A，B 是该球球面上的两点，且 ABSASB 3，所以三棱锥 SOAB 是棱长为 3 的正四面体，其体积 VSOAB 3 ，同理 VOABC ，故三棱13 12 332 6 924 924锥 SABC 的体积 VSABC VSOAB V OABC ，故选 D.9226已知直三棱柱 ABC
4、A 1B1C1 的 6 个顶点都在球 O 的球面上，若 AB3，AC4，ABAC，AA 112，则球 O 的半径为( )A. B23172 10C. D3132 10答案 C解析 如图，由球心作平面 ABC 的垂线，则垂足为 BC 的中点 M.又 AM BC ，OM AA16，12 52 12所以球 O 的半径 ROA .（52）2 62 1327(2018广东惠州一模)已知一个水平放置的各棱长均为 4 的三棱锥形容器内有一小球 O(质量忽略不计)，现从该三棱锥形容器的顶端向内注水，小球慢慢上浮，当注入的水的体积是该三棱锥体积的 时，小球与该三棱78锥各侧面均相切(与水面也相切 )，则小球的表
5、面积等于( )A. B. 76 43C. D. 23 12答案 C解析 由题知，没有水的部分的体积是三棱锥形容器的体积的 ，三棱锥形容器的体积为 42 4 ，18 13 34 63 1623所以没有水的部分的体积为 .设其棱长为 a，则其体积为 a2 a ，a2，设小球的半径为 r，223 13 34 63 223则 4 r ，解得 r ，球的表面积为 4 ，故选 C.13 3 223 66 16 238.如图，ABCDA 1B1C1D1 是棱长为 1 的正方体，S ABCD 是高为 1 的正四棱锥，若点S，A 1，B 1，C 1，D 1 在同一个球面上，则该球的体积为( )A. B.2516
6、 4916C. D.8116 243128答案 C解析 如图所示，O 为球心，设 OG1x，则 OB1SO 2x，同时由正方体的性质可知B1G1 ，则在 RtOB1G1 中，OB 12G 1B12OG 12，即(2x) 2x 2( )2，解得 x ，所22 22 78以球的半径 ROB 1 ，所以球的表面积 S4R 2 ，故选 C.98 81169(2018郑州质检)四棱锥 PABCD 的五个顶点都在一个球面上，该四棱锥的三视图如图所示，E ，F 分别是棱 AB，CD 的中点，直线 EF 被球面所截得的线段长为 2 ，则该球的表面积为( )2A9 B3C2 D122答案 D解析 该几何体的直观
7、图如图所示，该几何体可看作由正方体截得，则正方体外接球的直径即为 PC.由直线 EF 被球面所截得的线段长为 2 ，可知正方形 ABCD 对角线 AC 的长为22 ，可得正方形 ABCD 的边长 a2，在PAC 中，PC 2 ，球的半径2 22 （22）2 3R ， S 表 4R 24( )212.3 310(2014湖南)一块石材表示的几何体的三视图如图所示将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于( )A1 B2C3 D4答案 B解析 此几何体为一直三棱柱，底面是边长为 6，8，10 的直角三角形，侧棱为 12，故其最大球的半径为底面直角三角形内切圆的半径，故其半径为 r (
8、68 10)2，故选 B.1211(2017天津)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为 18，则这个球的体积为_答案 92解析 设正方体的棱长为 a，则 6a218，得 a ，设该正方体外接球的半径为 R，则 2R a3，得 R3 3，所以该球的体积为 R3 ( )3 .32 43 43 32 9212若一个正四面体的表面积为 S1，其内切球的表面积为 S2，则 _S1S2答案 63解析 设正四面体的棱长为 a，则正四面体的表面积为 S14 a2 a2，34 3其内切球半径为正四面体高的 ，即 r a a，因此内切球表面积为 S24r 2 ，则 .14 14 63 61
9、2 a26 S1S2 3a26a2 6313已知一圆柱内接于球 O，且圆柱的底面圆的直径与母线长均为 2，则球 O 的表面积为_答案 8解析 圆柱的底面圆的直径与母线长均为 2，所以球的直径为 2 ，即球半径为 ，所以球的22 22 8 2 2表面积为 4( )28.214(2017衡水中学调研卷)已知正三棱锥 PABC，点 P，A ，B ，C 都在半径为 的球面上，若3PA，PB，PC 两两相互垂直，则球心到截面 ABC 的距离为_答案 33解析 方法一：先在一个正方体中找一个满足条件的正三棱锥，再利用正方体的性质解题如图，满足题意的正三棱锥 PABC 可以是正方体的一部分，其外接球的直径是
10、正方体的体对角线，且面 ABC 与体对角线的交点是体对角线的一个三等分点，所以球心到平面 ABC 的距离等于体对角线长的 ，故球心到截面 ABC 的距离为 2 .16 16 3 33方法二：用等体积法：V PABC V APBC 求解)15(2018四川成都诊断)已知一个多面体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是直角边长为 1 的等腰直角三角形，俯视图是边长为 1 的正方形，若该多面体的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为_答案 3解析 由三视图知几何体为四棱锥，且四棱锥的一条侧棱垂直于底面，高等于 1，其底面是边长为 1 的正方形， 四棱锥的外接球即是边长为 1 的正方体的外接球， 外
11、接球的直径为 ， 外接球的表面积 S4( )33223.16(2018河北唐山模拟)已知矩形 ABEF 所在的平面与矩形 ABCD 所在平面互相垂直，AD2，AB3，AF ，M 为 EF 的中点，则多面体 MABCD 的外接球的表面积为_332答案 16解析 记多面体 MABCD 的外接球的球心为 O，如图，过点 O 分别作平面 ABCD 和平面 ABEF 的垂线，垂足分别为 Q，H ，连接 MH 并延长，交 AB 于点 N，连接OM，NQ，AQ，设球 O 的半径为 R，球心到平面 ABCD 的距离为 d，即 OQd， 矩形 ABEF 所在的平面与矩形 ABCD 所在的平面互相垂直，AF ，M
12、 为 EF 的中点，332MN ，ANNB ， NQ1，332 32R2( )2d 21 2( d) 2，4 92 332d ，R 24，32多面体 MABCD 的外接球的表面积为 4R216.1(2017课标全国，文)长方体的长，宽，高分别为 3，2，1，其顶点都在球 O 的球面上，则球 O 的表面积为_答案 14解析 依题意得，长方体的体对角线长为 ，记长方体的外接球的半径为 R，则有32 22 12 142R ，R ，因此球 O 的表面积等于 4R214.141422(2018湖南长沙一中模拟) 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球
13、的表面积为( )A8 B.252C12 D.414答案 D解析 根据三视图得出，几何体是正方体中的一个四棱锥 OABCD，正方体的棱长为2，A，D 为所在棱的中点根据几何体可以判断，球心应该在过 A，D 的平行于正方体底面的中截面上，设球心到平面 BCO 的距离为 x，则到 AD 的距离为 2x，所以R2x 2( )2，R 21 2(2x) 2，解得 x ，R ，该多面体外接球的表面积为 4R2 ，故选 D.234 414 4143(2014陕西，理)已知底面边长为 1，侧棱长为 的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为2( )A. B4323C2 D.43答案 D解析 因为该正四棱
14、柱的外接球的半径是四棱柱体对角线的一半，所以半径 r 1，所以1212 12 （2）2V 球 13 .故选 D.43 434(2018洛阳统一考试)如图是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为( )A200 B150C100 D50答案 D解析 由三视图知，该几何体可以由一个长方体截去 3 个角后得到，该长方体的长、宽、高分别为5、4、3，所以其外接球半径 R 满足 2R 5 ，所以该几何体的外接球的表面积为42 32 52 2S4R 24( )250，故选 D.5225(2018广东清远三中月考) 某一简单几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积是( )A13 B16C25
15、 D27答案 C解析 由三视图可知该几何体是底面为正方形的长方体，底面对角线为 4，高为 3，设外接球半径为 r，则2r 5， r ， 长方体外接球的表面积 S4r 225.（22）2 （22）2 32526(2018福建厦门模拟)已知球 O 的半径为 R，A，B，C 三点在球 O 的球面上，球心 O 到平面 ABC 的距离为 R， AB ACBC2 ，则球 O 的表面积为( )32 3A. B16163C. D64643答案 D解析 因为 ABACBC2 ，所以ABC 为正三角形，其外接圆的半径 r 2，设ABC 外接3232sin60圆的圆心为 O1，则 OO1平面 ABC，所以 OA2O
16、O 12r 2，所以 R2( R)22 2，解得 R216，所以球 O 的32表面积为 4R264，故选 D.7(2018四川广元模拟)如图，边长为 2 的正方形 ABCD 中，点 E，F 分别是 AB，BC 的中点，将ADE， EBF，FCD 分别沿 DE，EF ，FD 折起，使得 A，B，C 三点重合于点 A，若四面体 AEFD 的四个顶点在同一个球面上，则该球的半径为_答案 62解析 由题意可知AEF 是等腰直角三角形，且 AD平面 AEF.由于AEF 可以补全为边长为 1 的正方形，则该四面体必能补全为长、宽、高分别为 1，1，2 的正四棱柱，三棱锥的外接球与正四棱柱的外接球是同一个球，易知正四棱柱的外接球的直径为 .故球的12 12 22 6半径为 .628(2017德州模拟)一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为 1 的两个全等的等腰直角三角形，该几何体的体积是_；若该几何体的所有顶点在同一球面上，则球的表面积是_答案 313解析 由三视图知该几何体是底面为 1 的正方形，高为 1 的四棱锥，故体积 V 111 ，该几何体与13 13棱长为 1 的正方体具有相同的外接球，外接球直径为 ，该球表面积 S4( )23，正方体、长方体的332体对角线即为外接球的直径
