1、 个人资料整理 仅限学习使用2003年全国硕士研究生入学统一考试数学一真题一、填空题的概率密度为 则 .，yxyxf其 他 ,0,6),(1YXP服从正态分布 ，从中随机地抽取16个零件，得到长度的平均值为40 )1,(N(cm，则 的置信度为0.95的置信区间是 .b5E2RGbCAP(注：标准正态分布函数值 .)95064.1(,975.0)6.(二、选择题在 内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x 有),(A) 一个极小值点和两个极大值点.(B) 两个极小值点和一个极大值点.(C) 两个极小值点和两个极大值点.(D 三个极小值点和一个极大值点. DXDiTa9E3dyO x对任意n成立
2、. (B 对任意n成立.cb(C 极限 不存在. (D 极限 不存在. climli个人资料整理 仅限学习使用在点(0,0 的某个邻域内连续，且 ，则1)(,lim20, yxfyx(A 点(0,0不是f(x,y的极值点. (B 点(0,0是f(x,y的极大值点. (C 点(0,0是f(x,y的极小值点. (D 根据所给条件无法判断点(0,0是否为f(x,y 的极值点 . RTCrpUDGiT当 时，向量组II必线性相关. (B 当 时，向量组 II必线性相关.jLBHrnAILgsrsr(C 当 时，向量组I必线性相关. (D 当 时，向量组 I必线性相关.xHAQX74J0X 秩(B ；
3、若秩(A 秩(B ，则Ax=0的解均是Bx=0的解； 若Ax=0 与Bx=0同解，则秩(A=秩(B； 若秩(A=秩 (B， 则Ax=0与Bx=0同解.以上命题中正确的是(A . (B .LDAYtRyKfE(C . (D . Zzz6ZB2Ltk. (B .)(2Y)(C . (D . 1,nF,1F三、 。dxexdexLxLy sinsinsinsin (2 .2sisi 六 、0）.汽锤第一次击打将桩打进地下个人资料整理 仅限学习使用a m. 根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数r(0. 问dvzfvkwMI1(1 汽锤击打桩3次后，可将桩打进地下多
4、深？(2 若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深？在 内具有二阶导数，且 是y=y(x的反函数.),()(,0yxy(1 试将x=x(y 所满足的微分方程 变换为y=y(x满足的微分方程；)sin(32ddx(2 求变换后的微分方程满足初始条件 的解.20,y八 、连续且恒大于零， ，)(2)()tDt dyxfvzFtDdxfytG12)()其中 ，,( 2tzzt .),()2tyt(1 讨论F(t在区间 内的单调性.),0(2 证明当t0时， (tGtF九 、 乙箱中次品件数的数学期望；个人资料整理 仅限学习使用(2 从乙箱中任取一件产品是次品的概率.十二 、。(2) 求统计量 的分
5、布函数 ；)(xF(3) 如果用 作为 的估计量，讨论它是否具有无偏性.个人资料整理 仅限学习使用2003年考研数学一真题评注一、填空题的概率密度为 ，yxyxf其 他 ,1,6),(则 .1YXP4【分析】 已知二维随机变量(X,Y的概率密度f(x,y，求满足一定条件的概率 ，一般可转化为二重),(0zYXgP个人资料整理 仅限学习使用积分 = 进行计算.SixE2yXPq5),(0zYXgP0),(zyxgdyf【详解】 由题设，有 112106),(yx xdyf= .4)26(20dy1DO 1 x2【评注】 本题属基本题型，但在计算二重积分时，应注意找出概率密度不为零与满足不等式的公
6、共部分D，再在其上积分即可 .6ewMyirQFL1yx服从正态分布 ，从中随机地抽取16个零件，得到长度的平均值为40 )1,(N(cm，则 的置信度为0.95的置信区间是 .kavU42VRUs)490,51.3(注：标准正态分布函数值 .)567)96. 【分析】 已知方差 ，对正态总体的数学期望 进行估计，可根据 ，由12)1,0(NnX确定临界值 ，进而确定相应的置信区间.112unXP2u【详解】 由题设， ，可见 于是查标准正态分布表知 本题n=16, 95.0.05 .9612u, 因此，根据 ，有40x .6.1nXP，即 ，故 的置信度为0.95的置信区间是95.06.1
7、95.04.,5139P个人资料整理 仅限学习使用.)490,51.3(二、选择题在 内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x 有),(D) 一个极小值点和两个极大值点.(E) 两个极小值点和一个极大值点.(F) 两个极小值点和两个极大值点.(D 三个极小值点和一个极大值点. C M2ub6vSTnPyO x【分析】 答案与极值点个数有关，而可能的极值点应是导数为零或导数不存在的点，共4个，是极大值点还是极小值可进一步由取极值的第一或第二充分条件判定.0YujCfmUCw【详解】 根据导函数的图形可知，一阶导数为零的点有3个，而 x=0 则是导数不存在的点. 三个一阶导数为零的点左右两侧导数符
8、号不一致，必为极值点，且两个极小值点，一个极大值点；在x=0左侧一阶导数为正，右侧一阶导数为负，可见x=0为极大值点，故f(x共有两个极小值点和两个极大值点，应选(C.eUts8ZQVRd【评注】 本题属新题型，类似考题2001年数学一、二中曾出现过，当时考查的是已知f(x的图象去推导 的图)(xf象，本题是其逆问题.sQsAEJkW5T对任意n成立. (B 对任意n成立.cb(C 极限 不存在. (D 极限 不存在. D climli【分析】 本题考查极限概念，极限值与数列前面有限项的大小无关，可立即排除(A,(B ； 而极限是 型未定式，可能存在也可能不存在，举反例说明即可；极限 属 型，
9、必为无ncali0 ncblim1穷大量，即不存在.GMsIasNXkA【详解】 用举反例法，取 ， ， ，则可立即排除(A,(B,(C，因此正确选项为(Dna21b),21(ncn.【评注】 对于不便直接证明的问题，经常可考虑用反例，通过排除法找到正确选项.在点(0,0 的某个邻域内连续，且 ，则1)(,lim20, yxfyx个人资料整理 仅限学习使用(A 点(0,0不是f(x,y的极值点. (B 点(0,0是f(x,y的极大值点. (C 点(0,0是f(x,y的极小值点. (D 根据所给条件无法判断点(0,0是否为f(x,y 的极值点 . A TIrRGchYzg【分析】 由题设，容易推
10、知f(0,0=0，因此点(0,0是否为f(x,y的极值，关键看在点(0,0的充分小的邻域内f(x,y是恒大于零、恒小于零还是变号. 7EqZcWLZNX【详解】 由 知，分子的极限必为零，从而有f(0,0=0, 且1)(,lim20, yxfyx充分小时），于是2)(),(xyf,.)(0, 2yxff可见当y=x且 充分小时， ；而当y= -x且 充分小时，x 040,)xf x. 故点(0,0不是f(x,y的极值点，应选(A.lzq7IGf02E4),0(),(2xfyf【评注】 本题综合考查了多元函数的极限、连续和多元函数的极值概念，题型比较新，有一定难度. 将极限表示式转化为极限值加无
11、穷小量，是有关极限分析过程中常用的思想.zvpgeqJ1hk当 时，向量组II必线性相关. (B 当 时，向量组 II必线性相关.1nowfTG4KIsrr(C 当 时，向量组I必线性相关. (D 当 时，向量组 I必线性相关.fjnFLDa5Zos D 【分析】 本题为一般教材上均有的比较两组向量个数的定理：若向量组I： 可由向量组II ：r,21线性表示，则当 时，向量组I必线性相关 . s,21 sr或其逆否命题：若向量组I： 可由向量组II ： 线性表示，且向量组I线性无关，r,21 s,21则必有 . 可见正确选项为(D. 本题也可通过举反例用排除法找到答案.tfnNhnE6e5sr
12、【详解】 用排除法：如 ，则 ，但 线性无关，排除(A ；10,0211210 21,，则 可由 线性表示，但 线性无关，排除(B；,121 21,11， 可由 线性表示，但 线性无关，排除(C. 0,021112,1故正确选项为(D.HbmVN777sL个人资料整理 仅限学习使用【评注】 本题将一已知定理改造成选择题，如果考生熟知此定理应该可直接找到答案，若记不清楚，也可通过构造适当的反例找到正确选项.V7l4jRB8Hs秩(B ； 若秩(A 秩(B ，则Ax=0的解均是Bx=0的解； 若Ax=0 与Bx=0同解，则秩(A=秩(B； 若秩(A=秩 (B， 则Ax=0与Bx=0同解.以上命题中
13、正确的是(A . (B .83lcPA59W9(C . (D . B mZkklkzaaP【分析】 本题也可找反例用排除法进行分析，但两个命题的反例比较复杂一些，关键是抓住 与 ，迅速排除不正确的选项.AVktR43bpw【详解】 若Ax=0与Bx=0同解，则n-秩(A=n - 秩(B, 即秩(A=秩(B，命题成立，可排除(A,(C；但反过来，若秩(A=秩(B， 则不能推出Ax=0与Bx=0同解，如 ， ，则秩(A=秩(B=1 ，但Ax=0与Bx=0不同解01A10B，可见命题不成立，排除(D, 故正确选项为(B.ORjBnOwcEd【例】 齐次线性方程组Ax=0与Bx=0同解的充要条件(A
14、r(A=r(B. (B A,B为相似矩阵.2MiJTy0dTT(C A, B的行向量组等价 . (D A,B的列向量组等价. C gIiSpiue7A有此例题为基础，相信考生能迅速找到答案. (B .)(2Y)(C . (D . C uEh0U1Yfmh1,nF,1F【分析】 先由 分布的定义知 ，其中 ，再将其代入 ，然后利用F分布的t nVUX)(),0(2nVN21XY定义即可.【详解】 由题设知， ，其中 ，于是)(),1(2= ，这里 ，根据F 分布的定义知 故应选(C.21XY12UnV)(2).1,(2nFXY【评注】 本题综合考查了t分布、 分布和 F分布的概念，要求熟练掌握此
15、三类常用统计量分布的定义 .2个人资料整理 仅限学习使用三 、 设切点的横坐标为 ，则曲线y=lnx在点 处的切线方程是0x)ln,(0x).(1ln00xxy由该切线过原点知 ，从而 所以该切线的方程为ln0.0ex.1xey平面图形D的面积 10.12)(edyAy= , 所以4 dtdtffxf nxxn4)1(24)()0( 20= ).,(,12420nn因为级数 收敛，函数f(x 在 处连续，所以0)(n 1x.2,(,124)(4)(20xf nn令 ，得1, 0120 12)(4)(24)( nnnf 再由 ，得1f.4)2(2)(0fn五 、 。dxedexLxLy sins
16、insinsin (2 .2sisi 【分析】 本题边界曲线为折线段，可将曲线积分直接化为定积分证明，或曲线为封闭正向曲线，自然可想到用格林公式；(2的证明应注意用(1的结果.asfpsfpi4k【详解】 方法一：(1 左边= dxeye0sin0sin= ，sisi)(xx右边= 00sinsinedye个人资料整理 仅限学习使用= ，0sinsi)(dxex所以 .dxyeydeLL sinsinsisin (2 由于 ，故由 由(1知 DxyxLy dyedex )(sinsinsinsin= Dysisi= 0）.汽锤第一次击打将桩打进地下a m. 根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所
17、作的功与前一次击打时所作的功之比为常数r(0. 问BkeGuInkxI(1 汽锤击打桩3次后，可将桩打进地下多深？(2 若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深？设第n次击打后，桩被打进地下 ，第n次击打时，汽锤所作的功为 . x ),321(nW个人资料整理 仅限学习使用由题设，当桩被打进地下的深度为x时，土层对桩的阻力的大小为 ，所以PgdO0sRlMokx，2101akxkdWx ).()(22221 xx 由 可得r22a即 .)1(2rx.)1(2)2323332 arxkxkdWx 由 可得12r，223)(a从而 ，rx即汽锤击打3次后，可将桩打进地下 .amr21在 内具有二
18、阶导数，且 是y=y(x的反函数.),()(,0yxy(1 试将x=x(y 所满足的微分方程 变换为y=y(x满足的微分方程；)sin(32ddx(2 求变换后的微分方程满足初始条件 的解.20,y【分析】 将 转化为 比较简单， = ，关键是应注意：dyxdx1=)(2yxyx)1(= .32)(然后再代入原方程化简即可.【详解】 (1 由反函数的求导公式知 ，于是有ydx1= = .)(2dyx)1( 32)(代入原微分方程得( * .sinxy(2 方程( * 所对应的齐次方程 的通解为0y.21xxeCY设方程( * 的特解为，BAysinco代入方程( * ，求得 ，故 ，从而 的通
19、解是21,0xysin21* xysin.si21* xeCyYxx由 ，得 . 故所求初值问题的解为3)(,)0( 1,21.sin2xeyx【评注】 本题的核心是第一步方程变换.个人资料整理 仅限学习使用八 、连续且恒大于零， ，)(2)()tDt dyxfvzFtDdxfytG12)()其中 ，,( 2tzzt .),()2tyt(1 讨论F(t在区间 内的单调性.),0(2 证明当t0时， (tGtF【分析】 (1 先分别在球面坐标下计算分子的三重积分和在极坐标下计算分母的重积分，再根据导函数 的符号确)(tF定单调性；(2 将待证的不等式作适当的恒等变形后，构造辅助函数，再用单调性进
20、行证明即可.h8c52WOngM【详解】 (1 因为，tttt rdfrdfdtF02202)()(sin)(，202)()(rfttt所以在 上 ，故F(t 在 内单调增加.),(tF),0(0时 ，只需证明 t0时， ，即ttF0)(2)(tGtF.0)()()(00 2022 tt trdfdrfrf令 ，tt trfg 202)(则 ，故g(t在 内单调增加.)()(02rtrftf ),(因为g(t在t=0处连续，所以当t0时，有g(tg(0.又g(0=0, 故当t0 时，g(t0,个人资料整理 仅限学习使用因此，当t0时， ).(2)(tGtF【评注】 本题将定积分、二重积分和三重
21、积分等多个知识点结合起来了，但难点是证明为 ， g(x为 即可.rfrf九 、,baycxbc个人资料整理 仅限学习使用有唯一解，故系数矩阵 与增广矩阵 的秩均为2，于是acbA2bacA3.0A由于 )(6322 cbbca= ,)()()( 222aca但根据题设 ，故0)2ca.0cb充分性：由 ，则从必要性的证明可知， ，故秩0b 0A.3)(由于 )(2)(22baacb= ，04312故秩(A=2. 于是，秩(A=秩 =2.)(A因此方程组(*有唯一解，即三直线 交于一点.321,l方法二：必要性设三直线交于一点 ，则 为Ax=0的非零解，其中),(0yx10x.32bacA于是
22、.0而 )(63222bcacbacbacA = ,)()()( 222但根据题设 ，故0)2ac个人资料整理 仅限学习使用.0cba充分性：考虑线性方程组(*,32,baycxc将方程组(*的三个方程相加，并由 a+b+c=0可知，方程组( *等价于方程组(* *.,cybx因为 )(2)(22babac=- ,0故方程组(* *有唯一解，所以方程组 (*有唯一解，即三直线 交于一点.321,l【评注】本题将三条直线的位置关系转化为方程组的解的判定，而解的判定问题又可转化为矩阵的秩计算，进而转化为行列式的计算，综合考查了多个知识点.pN9LBDdtrd十一 、 乙箱中次品件数的数学期望；(2
23、 从乙箱中任取一件产品是次品的概率.【分析】 乙箱中可能的次品件数为0，1，2，3，分别求出其概率，再按定义求数学期望即可；而求从乙箱中任取一件产品是次品的概率，涉及到两次实验，是典型的用全概率公式的情形，第一次实验的各种可能结果 X的可能取值为0，1，2，3，X 的概率分布为， k=0,1,2,3.36CkPk即 X 0 1 2 3P 0921因此 .3210E(2 设A表示事件“从乙箱中任取一件产品是次品”，由于 ， ， ， 构成完备0X12X3事件组，因此根据全概率公式，有 30)(k kXAPP个人资料整理 仅限学习使用= 3030 61kk XPXP= .4261E【评注】本题对数学
24、期望的计算也可用分解法：设 ,10件 产 品 是 次 品从 甲 箱 中 取 出 的 第 件 产 品 是 合 格 品从 甲 箱 中 取 出 的 第 iXi则 的概率分布为i0 1iP 2.3,i因为 ，所以321X.EEX十二 、。(5) 求统计量 的分布函数 ；)(xF(6) 如果用 作为 的估计量，讨论它是否具有无偏性.【分析】 求分布函数F(x 是基本题型；求统计量 的分布函数 ，可作为多维相互独立且同分布的随机变量函)(xF数求分布函数，直接用定义即可；是否具有无偏性，只需检验 是否成立.4B7a9QFw9hE【详解】(1 .,01)()( )(2xedtfxF(2 )min21 XPn= ),in(121xX个人资料整理 仅限学习使用= ,121xXxXPn= nF)(= .,02xe(3 概率密度为 .,02)()()( xnedxFf因为 dfEn)(2)(= ，n21所以 作为 的估计量不具有无偏性.【评注】本题表面上是一数理统计问题，实际上考查了求分布函数、随机变量的函数求分布和概率密度以及数学期望的计算等多个知识点.将数理统计的概念与随机变量求分布与数字特征结合起来是一种典型的命题形式.ix6iFA8xoX
