1、2017 年深圳市高三年级第一次调研考试文科数学参考答案（第 1 页） 2017 年深圳市高三年级第一次调研考试 文科数学试题参考答案（ A卷） 选择题答案 一选择题 （ 1） B （ 2） B （ 3） C （ 4） B （ 5） A （ 6） D （ 7） A （ 8） C （ 9） D （ 10） C （ 11） D （ 12） D 非选择题答案 二填空题 （ 13） 52; （ 14） 223 ; （ 15） 4( , 3 ; （ 16） 3 . （ 11） 简解：法一：直观想象可知，平面 1ACB 与内切球的截面为三角形 1ACB 的内切圆， 故可求出内切圆的半径为 63 ， 故其面
2、积为 23 . 法二：在正方体中可知体对角线 1BD 与平面 1ACB 垂直，故可求出球心 O到平面 1ACB 的距离为正方体体对角线的 16 ，即 33 ；在球中利用球心到截面的距离以及球的半径可求出截面的半径，进一步求解可得面积为 23 . （ 12）简解： 32( ) (sin ) (sin )f x x a x a ,令 sintx ， (0,1t ， 则 32()f t t at a ，(0,1t ， 2( ) 3 2f t t at ，令 ( ) 0ft ，得 1220, 3att ，易知 (0, )a 时， ()ft 在 (0,1t上存在最小值 . （ 16）简解 :令 myx
3、， 将其代入方程并 化简可得 100612336 32223 mmymmymy ，所以 2m ， 此时方程可化为 84123 yy .所以 84,12 qp ,即 72 qp . 三解答题 （ 17）（本小题满分 12分） 设 nS 为 数列 na 的前 n 项和， 且 21nnS a n ( N )n , 1nnba . （ ） 求数列 nb 的通项公式； （ ） 求数列 nnb 的前 n 项和 nT . 解： （ ）当 1n 时， 1 1 1 12 1 1 2a S a a ，易得 1 0a ， 1 1b ； 1 分 2017 年深圳市高三年级第一次调研考试文科数学参考答案（第 2 页）
4、当 2n 时， 112 1 2 ( 1) 1n n n n na S S a n a n ， 整理得 121nnaa. 3 分 111 2( 1) 2 n n n nb a a b ， 4 分 数列 nb 构成以首项为 1 1b ，公比为 2 等比数列 . 数列 nb 的通项公式 12 nnb ( N )n . 6 分 （ ）由（ ）知 12 nnb ，则 12nnnb n ， 则 0 1 2 11 2 2 2 3 2 2nnTn ， 1 2 32 1 2 2 2 3 2 2nn ， 8 分 由 - 得 ： 0 1 2 11 2 1 2 1 2 1 2 2nnn 12 2 2 1 212 nn
5、 n nnn. 11 分 ( 1)2 1nnTn . 12 分 【说明】通过等比数列的定义、通项公式、前 n 项和错位相减法求和等知识，考查考生数学运算与逻辑推理等数学核心素养 . （ 17） （本小题满分 12 分） 如图，四边形 ABCD为菱形， ACFE 为平行四边形，设 BD 与 AC 相交于点 G , 2 BDAB ，3AE ， EABEAD . （）证明 :平面 ACFE 平面 ABCD ； （）若 60EAG ,求三棱锥 BDEF 的体积 . 解： （）证明：连接 EG AEAEABAD , , EABEAD ， EAD EAB ， 2 分 EBED ， G 为中点 ， EGBD
6、 又 四边形 ABCD 为菱形， ACBD , 4 分 AC EG G ， BD 平面 ACFE ， 而 BD 平面 ABCD， A B C D E G 第 18 题图 F 2017 年深圳市高三年级第一次调研考试文科数学参考答案（第 3 页） 平面 ACFE 平面 ABCD . 6 分 （）解法一：连接 EG , FG . BD 面 ACFE ， FG 平面 ACFE , BDFG . 在平行四边形 ACFE 中，易知 30,60 FGCEGA , 8 分 90EGF ,即 EGFG ,又因为 BDEG, 为平面 BDE内的两条相交直线，所以 FG 平面BDE，所以点 F 到平面 BDE 的
7、距离为 3FG . 10 分 1 2 3 32BDES 三棱锥 BDEF 的体积为 1 3 3 33 . 12 分 解法二： GCEF / , 2EF GC ,点 F 到平面 BDE 的距离为点 C 到平面 BDE 的距离的两倍 . 所以 BDECBDEF VV 2 ， 8 分 作 EH AC ， 平面 ACFE 平面 ABCD ， EH 平面 ABCD， 10 分 2323322131 BCDEBDEC VV ,三棱锥 BDEF 的体积为 3 . 12 分 【说明】通过线线垂直、线面垂直、三棱锥体积等知识，考查考生直观想象，逻辑推理，数学运算等数学核心素养 . （ 19）（本小题满分 12
8、分） （文科） 某市为了鼓励市民节约用电， 实 行 “ 阶梯式 ” 电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档 ： 月用电量不超过 200 度的部分按 0.5元 /度收费，超过 200 度但不超过 400 度的部分按 0.8元 /度收费，超过 400 度的部分按 1.0元 /度收费 . （ ） 求 某 户居民月用电费用 y （ 单位：元） 关于月用电量 x （单位：度） 的函数解析式； （ ）为了了解居民的用电情况，通过抽样，获得了 今年 1月份 100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图 ， 若这 100户居民中， 今年 1月份 用电费用不超过 260 元的占 80%，求
9、 a ，b 的值； 0.0030 O 月用电量 /度 100 200 300 400 500 600 0.0005 0.0010 2017 年深圳市高三年级第一次调研考试文科数学参考答案（第 4 页） （ ）在满足（ ）的条件下， 估计 1月份 该市居民 用户 平均用电费用 （ 同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） . 【解析】 （） 当 0 200x 时， 0.5yx ； 1 分 当 200 400x 时， 0.5 200 0.8 ( 200) 0.8 60y x x 2 分 当 400x 时， 0.5 200 0.8 200 1.0 ( 400) 140y x x ， 3 分 所以 y
10、 与 x 之间的函数解析式为：0.5 , 0 200,0.8 60, 200 400,140, 400.xxy x xxx 4 分 （ II） 由 （） 可知：当 260y 时， 400x ， 则 ( 400) 0.80Px 5 分 结合频率分布直方图可知： 0.1 2 100 0.3 0.8,100 0.05 0.2.ba 7分 0.0015a ， 0.0020b 8 分 （ III） 由题意可知：当 50x 时， 0.5 50 25y ， (y 25) 0.1P 当 150x 时， 0.5 150 75y ， ( 75) 0.2Py 当 250x 时， 0.5 200 0.8 50 140
11、y ， ( 140) 0.3Py 当 350x 时， 0.5 200 0.8 150 220y ， ( 220) 0.2Py 当 450x 时， 0.5 200 0.8 200 1.0 50 310y ， ( 310) 0.15Py 当 550x 时， 0.5 200 0.8 200 1.0 150 410y ， ( 410) 0.05Py 10 分 25 0.1 75 0.2 140 0.3 220 0.2 310 0.15 410 0.05 170.5y 12 分 【说明】通过平均数数、频率分布直方图图、初等函数等知识，考查考生逻辑推理，数学建模，数据分析及数学运算等数学核心素养 . （
12、20）（本小题满分 12分） 已知椭圆2222: 1 ( 0)xyC a bab 的离心率为33 ，过点(0, 2)P 的动直线 l 与椭圆 C 相交于 A、 B两点 .椭圆的右顶点与上顶点的距离为 5 . 2017 年深圳市高三年级第一次调研考试文科数学参考答案（第 5 页） （） 求椭圆 C 的方程； （） 设 M 是 AB 中点，且 Q 点的坐标为 2( ,0)5 ，当 QM AB 时，求直线 l 的方程 . 解： （）由题意可知： 225ab，又 33ce a ， 2 2 2a b c， 2分3, 2ab ，所以椭圆 C 的方程为22:132xyC . 3 分 （ II） 若直线 l
13、的斜率不存在，此时 M 为原点，满足 QM AB ，所以，方程为 0x ， 5 分 若直线 l 的斜率存在，设其方程为 2y kx， 11( , )A x y ， 22( , )B x y ， 将直线方程 与椭圆方程联立可得 2221.32y kxxy ，即 22(2 3 ) 12 6 0k x kx ， 6 分 可得 12 22122372 48 0.kxxkk ， 设 00( , )M x y ，则 0 2623kx k ， 0 226422 3 2 3kyk kk 7 分 由 QM AB 可知 00125y kx ， 8 分 化简得 23 5 2 0kk 9 分 解得 1k 或 23k
14、，将结果代入 272 48 0k 验证，舍掉 23k ， 11 分 此时 ，直线 l 的方程为 20xy ， 综上 所述 ，直线 l 的方程为 0x 或 20xy . 12 分 【说明】通过椭圆的定义及几何性质，直线与圆及椭圆的位置关系等知识，考查逻辑推理，数学抽象，数学运算等数学核心素养 . （ 21）（本小题满分 12分） 已知函数 ( ) ( 1)ln 3f x ax x ax ， Ra ， ()gx是 ()fx的导函数 （ ） 讨论 ()gx的单调性； （ ） 当 ea 时，证明： (e ) 0ag ； 2017 年深圳市高三年级第一次调研考试文科数学参考答案（第 6 页） （ ） 当
15、 ea 时， 判断 函数 ()fx零点的 个数 ， 并说明理由 . 解： （ I）对 ()fx求导可得 1( ) ( ) lng x f x a x x 2211() a axgxx x x ， 1 分 当 0a 时， ( ) 0gx ，故 ()gx在 (0, ) 上 为减函数 ； 当 0a 时，解 ( ) 0gx 可得 1x a ，故 ()gx的减区间为 1(0, )a ，增区间为 1( , )a ； 3 分 （ II） 2(e ) eaaga ，设 2( ) exh x x，则 ( ) e 2xh x x ， 易知 当 ex 时 ， ( ) 0hx ， 5 分 2 e 2( ) e e e
16、 0xh x x . 6 分 （ III）由（ I）可知， 当 ea 时， ()gx是先减再增的函数， 其最小值为 1 1 1( ) ln (ln 1) 0g a a aa a a . 7 分 而此时11(e ) 1 e 0aag ， (e ) 0ag ， 且11e ea aa ，故 ()gx恰有两个零点 12,xx， 当 1(0, )xx 时， ( ) ( ) 0f x g x ；当 12( , )x x x 时， ( ) ( ) 0f x g x ；当 2( , )xx 时，( ) ( ) 0f x g x ， ()fx在 12,xx两点分别取到极大值和极小值，且 1 1(0, )x a
17、， 9 分 由 1111( ) ln 0g x a xx 知 111lna xx ， 1 1 1 1 111( ) ( 1)ln 3 ln 2lnf x ax x ax x x . 10 分 1ln 0x 111ln 2lnx x ，但当 1 11ln 2lnx x 时， 11ex ，则 ea ，不合题意 所以 1( ) 0fx ，故 函数 ()fx的图象与 x 轴不可能有两个交点 . 2017 年深圳市高三年级第一次调研考试文科数学参考答案（第 7 页） 函数 ()fx只 有一个 零点 . 12 分 【说明】通过函数的导数、导数的几何意义、单调性、极值以及零点问题等知识，考查考生数学抽象，数
18、学建模，数学运算等数学核心素养 . （ 22）（本小题满分 10 分）选修 4 4：坐标系与参数方程 已知曲线 E 的参数方程为2cos ,3 sin .xy （ 为参数），以原点为极坐标系的极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 . （）写出曲线 E 的普通方程和极坐标方程； （）若直线 l 与曲线 E 相交于 A， B 两点，且 OA OB . 求证： 2211OA OB 为定值，并求出这个定值 . 解： （）曲线 E 的普通方程为22143xy， 2 分 极坐标方程为 2 2 211( cos sin ) 1.43 5 分 所求的 极坐标方程为 2 2 2 23 cos 4 sin 1
19、2. 5 分 （ ） 不 妨设 设点 ,AB的极坐标分别为 12( , ), ( , ),2AB 6 分 则22112222( cos ) ( sin ) 1,43( cos( ) ( sin( ) 1.4 2 3 2 即222122221 1 1= cos sin ,431 1 1= sin cos .43 8 分 22121 1 7+=12 ， 即 221 1 7=12OA OB （定值） . 10 分 【说明】通过椭圆的参数方程、椭圆的极坐标方程，直线与椭圆的交点点等知识，考查考生直观想象，数学运算等数学核心素养 . （ 23）（本小题满分 10 分）选修 4 5：不等式选讲 已知 (
20、) , ( ) 3 .f x x a g x x x （ ）当 1a 时，解不等式 ( ) g( )f x x ； （ ）对任意 1,1x ， ( ) g( )f x x 恒成立，求 a 的取值范围 . 2017 年深圳市高三年级第一次调研考试文科数学参考答案（第 8 页） 解： （ ） 当 1a 时， () 1fx x ， 由 ( ) g( )f x x 可得 13x x x ，即 3 1 0x x x ， 当 3x 时，原不等式等价于 20x ，即 2x ， 3x ， 当 31x 时，原不等式等价于 40x，即 4x ， 31x ， 当 1x 时，原不等式等价于 20x ，即 2x ， 12x ， 综上 所述 ， 不等式的 解集为 ( ,2) . 5 分 （ ） 当 1,1x 时， ( ) 3gx . 3xa恒成立， 33ax ，即 33x a x ， 当 1,1x 时恒成立， 8 分 a 的取值范围 22a . 10 分 说明 通过解绝对不等式，绝对值三角不等式的性质，考察数学运算，逻辑推理等数学核心素 素 养 .
