1、(时间：120 分钟；满分：150 分)一、选择题(本大题共 12 小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1直线 3axy 10 与直线(a )xy10 垂直，则 a 的值是( )23A1 或 B1 或13 13C 或1 D 或 113 13解析：选 D.由 3a(a )( 1)10，得 a 或 a1.23 132直线 l1：ax yb0，l 2：bx ya0(a0，b0，ab) 在同一坐标系中的图形大致是图中的( )解析：选 C.直线 l1：axy b0，斜率为 a，在 y 轴上的截距为 b，设 k1a，m 1b.直线 l2：bx y a0，斜率为 b，在 y 轴上的截距
2、为 a，设 k2b，m 2a.由 A 知：因为 l1l 2，k 1k 20，m 1m20，即 ab0，ba0，矛盾由 B 知：k 1m20，即 aa0 ，矛盾由 C 知：k 1k20，m 2m10，即 ab0，可以成立由 D 知：k 1k20，m 20m1，即 ab0，a0 b，矛盾3已知点 A( 1,1)和圆 C： (x5) 2(y7) 24，一束光线从 A 经 x 轴反射到圆 C 上的最短路程是( )A6 2 B82C4 D106解析：选 B.点 A 关于 x 轴对称点 A( 1，1)，A与圆心(5,7)的距离为10.所求最短路程为 1028.5 12 7 124圆 x2y 21 与圆 x
3、2y 24 的位置关系是( )A相离 B相切C相交 D内含解析：选 D.圆 x2y 21 的圆心为(0,0)，半径为 1，圆 x2y 24 的圆心为(0,0)，半径为 2，则圆心距 00)及直线 l：x y30，当直线 l 被圆 C 截得的弦长为 2 时，a 的值等于( )3A. B. 12 2C2 D. 12 2解析：选 B.圆心(a,2)到直线 l：xy 30 的距离 d ，依题意|a 2 3|2 |a 1|22 24，解得 a 1.(|a 1|2 ) (232) 26与直线 2x3y 60 关于点(1，1)对称的直线是( )A3x2y60B2x 3y70C3x 2y120D2x3y80解
4、析：选 D.所求直线平行于直线 2x3y60，设所求直线方程为 2x3y c 0，由 ，|2 3 c|22 32 |2 3 6|22 32c8，或 c6(舍去)，所求直线方程为 2x3y 80.7若直线 y2k (x1)与圆 x2y 21 相切，则切线方程为( )Ay2 (1 x)34By 2 (x1)34Cx 1 或 y2 (1x )34Dx1 或 y2 (x1)34解析：选 B.数形结合答案容易错选 D，但要注意直线的表达式是点斜式，说明直线的斜率存在，它与直线过点(1,2)要有所区分8圆 x2y 22x 3 与直线 yax1 的公共点有( )A0 个 B1 个C2 个 D随 a 值变化而
5、变化解析：选 C.直线 yax1 过定点(0,1)，而该点一定在圆内部9过 P(5,4)作圆 C：x 2y 2 2x2y30 的切线，切点分别为 A、B，四边形 PACB的面积是( )A5 B10C15 D20解析：选 B.圆 C 的圆心为(1,1)，半径为 .5|PC | 5，5 12 4 12|PA| |PB| 2 ，52 52 5S 2 210.12 5 510若直线 mx2ny40(m、nR ，nm )始终平分圆 x2y 24x2y40 的周长，则 mn 的取值范围是( )A(0,1) B(0 ，1)C(，1) D(，1)解析：选 C.圆 x2y 24x2y40 可化为(x2) 2(
6、y 1)29，直线mx2ny40 始终平分圆周，即直线过圆心(2,1)，所以 2m2n40，即mn2，mnm(2m) m22m(m 1) 211，当 m1 时等号成立，此时n1，与“mn”矛盾，所以 mn1.11已知直线 l：y xm 与曲线 y 有两个公共点，则实数 m 的取值范围是( )1 x2A(2,2) B(1,1)C1， ) D( ， )2 2 2解析：选 C. 曲线 y 表示单位圆的上半部分，画出直线 l 与曲线在同一坐标系1 x2中的图象，可观察出仅当直线 l 在过点(1,0)与点(0,1) 的直线与圆的上切线之间时，直线 l与曲线有两个交点当直线 l 过点(1,0)时，m1；当
7、直线 l 为圆的上切线时，m (注：m ，直线 l 为下切线 )2 212过点 P( 2,4)作圆 O：(x2) 2(y1) 225 的切线 l，直线 m：ax3y 0 与直线l 平行，则直线 l 与 m 的距离为 ( )A4 B2C. D.85 125解析：选 A.点 P 在圆上，切线 l 的斜率 k .1kOP 11 42 2 43直线 l 的方程为 y4 (x2) ，43即 4x3y200.又直线 m 与 l 平行，直线 m 的方程为 4x3y0.故两平行直线的距离为 d 4.|0 20|42 32二、填空题(本大题共 4 小题，请把答案填在题中横线上 )13过点 A(1， 1)，B(1
8、,1)且圆心在直线 xy20 上的圆的方程是_解析：易求得 AB 的中点为(0,0)，斜率为1，从而其垂直平分线为直线 yx，根据圆的几何性质，这条直线应该过圆心，将它与直线 xy20 联立得到圆心 O(1,1)，半径r| OA|2.答案：(x1) 2(y 1) 2414过点 P( 2,0)作直线 l 交圆 x2y 21 于 A、B 两点，则 |PA|PB|_.解析：过 P 作圆的切线 PC，切点为 C，在 RtPOC 中，易求|PC| ，由切割线定3理，| PA|PB| |PC|23.答案：315若垂直于直线 2xy 0，且与圆 x2y 25 相切的切线方程为 ax2yc0，则ac 的值为_
9、解析：已知直线斜率 k12，直线 ax2y c0 的斜率为 .两直线垂直，a2(2)( )1，得 a 1.圆心到切线的距离为 ，即 ，c5，故 ac5.a2 5 |c|5 5答案：516若直线 3x4y m0 与圆 x2y 22x 4y40 没有公共点，则实数 m 的取值范围是_解析：将圆 x2y 22x 4y40 化为标准方程，得(x1) 2(y 2)21，圆心为(1，2) ，半径为 1.若直线与圆无公共点，即圆心到直线的距离大于半径，即 d 1，|31 4 2 m|32 42 |m 5|5m0 或 m10.答案：(，0)(10 ，)三、解答题(本大题共 6 小题，解答时应写出必要的文字说明
10、、证明过程或演算步骤)17三角形 ABC 的边 AC，AB 的高所在直线方程分别为 2x3y10，xy0，顶点 A(1,2)，求 BC 边所在的直线方程解：AC 边上的高线 2x3y10，所以 kAC .32所以 AC 的方程为 y2 (x1) ，32即 3x2y70，同理可求直线 AB 的方程为 xy 10.下面求直线 BC 的方程，由Error!得顶点 C(7，7)，由Error!得顶点 B(2，1)所以 kBC ，直线 BC：y 1 (x2)，23 23即 2x3y70.18一束光线 l 自 A(3,3) 发出，射到 x 轴上，被 x 轴反射后与圆C：x 2 y24x4y 70 有公共点
11、(1)求反射光线通过圆心 C 时，光线 l 所在直线的方程；(2)求在 x 轴上，反射点 M 的横坐标的取值范围解：圆 C 的方程可化为(x2) 2( y2) 21.(1)圆心 C 关于 x 轴的对称点为 C(2 ，2)，过点 A，C的直线的方程 xy0 即为光线 l 所在直线的方程(2)A 关于 x 轴的对称点为 A(3，3) ，设过点 A的直线为 y3k( x3)当该直线与圆 C 相切时，有 1，解得 k 或 k ，|2k 2 3k 3|1 k2 43 34所以过点 A的圆 C 的两条切线分别为 y3 (x3) ，y3 (x3)43 34令 y0，得 x1 ，x 21，34所以在 x 轴上
12、反射点 M 的横坐标的取值范围是 ，13419已知圆 x2y 22x 4ym 0.(1)此方程表示圆，求 m 的取值范围；(2)若(1)中的圆与直线 x2y40 相交于 M、N 两点，且 OMON( O 为坐标原点)，求 m 的值；(3)在(2)的条件下，求以 MN 为直径的圆的方程解：(1)方程 x2y 22x 4y m0，可化为(x1) 2(y2) 25m，此方程表示圆，5m0，即 m5.(2)Error!消去 x 得(4 2y) 2y 22(42y) 4y m0，化简得 5y216y m80.设 M(x1，y 1)， N(x2，y 2)，则Error!由 OM ON 得 y1y2x 1x
13、20即 y1y2(42y 1)(42y 2)0，168(y 1y 2)5y 1y20.将两式代入上式得168 5 0，165 m 85解之得 m .85(3)由 m ，代入 5y216y m80，85化简整理得 25y280y 480，解得 y1 ，y 2 .125 45x 142y 1 ，x 24 2y2 .45 125M ， N ，( 45，125) (125，45)MN 的中点 C 的坐标为 .(45，85)又|MN | ，(125 45)2 (45 125)2 855所求圆的半径为 .455所求圆的方程为 2 2 .(x 45) (y 85) 16520. 已知圆 O：x 2y 21
14、和定点 A(2,1)，由圆 O 外一点 P(a，b)向圆 O 引切线 PQ，切点为 Q，| PQ| |PA|成立，如图(1)求 a、b 间关系；(2)求|PQ|的最小值；(3)以 P 为圆心作圆，使它与圆 O 有公共点，试在其中求出半径最小的圆的方程解：(1)连接 OQ、OP，则OQP 为直角三角形，又|PQ |PA|，所以|OP| 2|OQ| 2|PQ| 21|PA| 2，所以 a2b 21(a2) 2( b1) 2，故 2ab30.(2)由(1)知，P 在直线 l：2x y30 上，所以|PQ| min|PA| min，为 A 到直线 l 的距离，所以|PQ| min .|22 1 3|2
15、2 12 255(或由| PQ|2| OP|21a 2b 21a 2912a4a 215a 212a85(a1.2)20.8，得| PQ|min .)255(3)以 P 为圆心的圆与圆 O 有公共点，半径最小时为与圆 O 相切的情形，而这些半径的最小值为圆 O 到直线 l 的距离减去圆 O 的半径，圆心 P 为过原点与 l 垂直的直线 l与 l的交点 P0，所以 r 1 1，322 12 355又 l：x2y0，联立 l：2xy30 得 P0( ， )65 35所以所求圆的方程为(x )2 (y )2( 1) 2.65 35 35521有一圆与直线 l：4x 3y60 相切于点 A(3,6)，
16、且经过点 B(5,2)，求此圆的方程解：法一：由题意可设所求的方程为(x3) 2(y6) 2(4x3y6)0，又因为此圆过点(5,2)，将坐标 (5,2)代入圆的方程求得 1，所以所求圆的方程为x2y 210x9 y390.法二：设圆的方程为(xa) 2 (yb) 2r 2，则圆心为 C(a，b)，由|CA|CB|，CAl ，得Error!解得Error!所以所求圆的方程为(x5) 2(y )2 .92 254法三：设圆的方程为 x2y 2DxEy F0，由 CAl ，A(3,6) ，B(5,2)在圆上，得Error!解得Error!所以所求圆的方程为 x2y 210x 9y390.法四：设圆
17、心为 C，则 CAl，又设 AC 与圆的另一交点为 P，则 CA 的方程为y6 (x3)，34即 3x4y330.又因为 kAB 2，6 23 5所以 kBP ，所以直线 BP 的方程为 x2y10.12解方程组Error!得Error!所以 P(7,3)所以圆心为 AP 的中点(5 ， )，半径为| AC| .92 52所以所求圆的方程为(x5) 2 (y )2 .92 25422如图在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C1：( x3) 2(y 1) 24 和圆 C2：(x4)2( y 5)24.(1)若直线 l 过点 A(4,0)，且被圆 C1 截得的弦长为 2 ，求直线 l 的方程；3
18、(2)设 P 为平面上的点，满足：存在过点 P 的无穷多对互相垂直的直线 l1 和 l2，它们分别与圆 C1 和 C2 相交，且直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2 被 C2 截得的弦长相等试求所有满足条件的点 P 的坐标解：(1)由于直线 x4 与圆 C1 不相交，所以直线 l 的斜率存在设直线 l 的方程为yk( x 4)，圆 C1 的圆心到直线 l 的距离为 d，因为圆 C1 被直线 l 截得的弦长为 2 ，所以3d 1.22 32由点到直线的距离公式得 d ，|1 k 3 4|1 k2从而 k(24k7)0，即 k0 或 k ，724所以直线 l 的方程为 y0 或 7x24
19、y280.(2)设点 P(a，b)满足条件，不妨设直线 l1 的方程为 ybk(xa) ，k0，则直线 l2 的方程为 yb (xa)因为圆 C1 和 C2 的半径相等，且圆 C1 被直线 l1 截得的弦长与圆1kC2 被直线 l2 截得的弦长相等，所以圆 C1 的圆心到直线 l1 的距离和圆 C2 的圆心到直线 l2 的距离相等，即 ，|1 k 3 a b|1 k2|5 1k4 a b|1 1k2整理得|13kakb| |5k 4abk|，从而 13k ak b5k4abk 或13kakb5k 4a bk，即(ab2) kba3 或( ab8)kab5，因为 k的取值有无穷多个，所以Error!或Error!解得Error!或Error!这样点 P 只可能是点 P1 或点 P2 .(52， 12) ( 32，132)经检验点 P1 和 P2 满足题目条件高)考* 试- 题库
