1、学海教育一对一个性化辅导讲义学员姓名 学校年级及科目 教师课 题 授课时间 教学目标 满分！教学内容相交线与平行线讲义【知识框图】例题讲解：【知识点一】相交线的性质：两条直线相交，有且只有一个交点。例 1、 （2006河南）两条直线相交所成的四个角中，下列说法正确的是（ ）A、一定有一个锐角 B、一定有一个钝角 C、一定有一个直角 D、一定有一个不是钝角 例 2、 （2003绵阳）在一个平面上任意画 3 条直线，最多可以把平面分成的部分是（ ）A、4 个 B、6 个 C、7 个 D、8 个 一般情况相交成直角相交线相 交两条直线第三条所截两条直线被邻补角垂线邻补角互补点到直线的距离同位角、内错
2、角、同旁内角平行线平行公理及其推论 平行线的性质平行线的判定平移对顶角 对顶角相等垂线段最短存在性和唯一性两条平行线的距离平移的特征例 3、 （2002鄂州）在同一个平面内，四条直线的交点个数不能是（ ）A、2 个 B、3 个 C、4 个 D、5 个 例 4、 （2004宿迁）一块长方体橡皮被刀切了 3 次，最多能被分成 块例 5、在一个平面内，任意四条直线相交，交点的个数最多有（ ）A、7 个 B、6 个 C、5 个 D、4 个例 6、平面内 6 条直线两两相交，但仅有 3 条通过同一点，则截得不重叠线段共（ ）A、24 条 B、21 条 C、33 条 D、36 条 例 7、如右图，两条非平
3、行的直线 AB，CD 被第三条直线 EF 所截，交点为 PQ，那么这 3 条直线将所在平面分成（ ）A、5 个部分 B、6 个部分 C、7 个部分 D、8 个部分 【知识点二】对顶角、邻补角：对顶角定义：两个角有一个公共的顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种关系的两个角互为对顶角。邻补角定义：两个角有一个公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角互为邻补角。对顶角的性质：对顶角相等。邻补角的性质：邻补角互补。例 1、 （2010漳州）如右图，直线 相交于点 ，若1 等于 40，则2 等于（ ）ba、 oA、50 B、60 C、140 D、160例 2
4、、 （2009辽宁）如图，已知直线 AB，CD 相交于点 O，OA 平分EOC，EOC=100 ，则BOD 的度数是（ ）A、20 B、40 C、50 D、80 例 3、 （2008湘西州）如图，直线 AB，CD 相交于 O 点，若1=30，则2，3 的度数分别为（ ）A、120，60 B、130，50 C、140，40 D、150 ，30 例4、如右图，图中有 对对顶角例 5、 （1）延长射线 OM； （2）平角是一条射线；（3）线段、射线都是直线的一部分；（4）锐角一定小于它的余角；（5）大于直角的角是钝角；（6）一个锐角的补角与这个锐角的余角的差是 90； （7）相等的两个角是对顶角；
5、（8）若A+B+C=180，则这三个角互补；（9）互为邻补角的两个角的平分线互相垂直以上说法正确的有（ ）A、2 个 B、3 个 C、4 个 D、5 个例 7例 1例 2例 3例 4例 6、命题邻补角互补；对顶角相等；同旁内角互补；两点之间线段最短；直线都相等；任何数都有倒数；如果，那么 ；如果A+B=90，那么A 与B 互余其中真命题有 （ ）2baA、3 个 B、4 个 C、5 个 D、6 个 【知识点三】垂线：垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角中有一个角为 90时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线。垂线的性质一：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。垂线的性质二：
6、连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，即垂线段最短。例 1、 （2010宁波）如图，直线 AB 与直线 CD 相交于点 O，E 是AOD 内一点，已知 OEAB，BOD=45，则COE 的度数是（ ）A、125 B、135 C、145 D、155例 2、 （2010郴州）如图，直线 与 相交于点 ，OM ，若 =44，则 =（ ）1l21lA、56 B、46 C、45 D、44 例 3、 （2009贺州）在直线 AB 上任取一点 O，过点 作射线 OC，OD，使 OCOD，当AOC=30时，BOD 的度数是（ ）A、60 B、120 C、60或 90 D、60或 120 例 5、
7、用 3 根火柴棒最多能拼出（ ）A、4 个直角 B、8 个直角 C、12 个直角 D、16 个直角 例 6、已知，OAOC，且AOB：AOC=2：3，则BOC 的度数为（ ）A、30 B、150 C、30或 150 D、90 例 7、 （2010台州）如右图，ABC 中，C=90，AC=3，点 P 是边 BC 上的动点，则 AP 的长不可能是（ ）A、2.5 B、3 C、4 D、5例 8、体育课上，老师测量跳远成绩的依据是（ ）A、平行线间的距离相等 B、两点之间，线段最短 C、垂线段最短 D、两点确定一条直线 例 9、如右图，要从小河引水到村庄 A，请设计并作出一最佳路线，理由是 【知识点四
8、】点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。例 1 例 2例 7例 9例 1、 （1999湖南）下列说法中，正确的是（ ）A、一条射线把一个角分成两个角，这条射线叫做这个角的平分线B、P 是直线 外一点，A，B，C 分别是 上的三点，已知 PA=1，PB=2，PC=3，则点 P 到 的距离一定是 1 ll lC、相等的角是对顶角 D、钝角的补角一定是锐角 例 2、 （2000江西）在测量跳远成绩时，从落地点拉向起跳线的皮尺，应当与起跳线 .例 3、如图，在ABC 中，ACBC，CDAB，则图中能表示点到直线（或线段）的距离的线段有（ ）A、2 条 B、3 条 C、
9、4 条 D、5 条例 4、如图，在平面内，两条直线 相交于点 ，对于平面内任意一点 M，若 p，q 分别是点 M 到直线 的距离，则称（p，q ）2,1lo 2,1l为点 M 的“距离坐标” 根据上述规定， “距离坐标”是（2，1）的点共有（ ）个A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个 例 5、若点 A 到直线 的距离为 7cm，点 B 到直线 的距离为 3cm，则线段 AB 的长度为（ ）l lA、10cm B、4cm C、4cm 或 10cm D、至少 4cm 【知识点五】同位角、内错角、同旁内角同位角定义：两条同位角都在两条被截线同一方，并在截线的同侧，这样的一对角叫做同位角。形
10、如字母 F.内错角定义：两个角都在两条被截线之间，并且在截线的两侧，这样的一对角叫做内错角。形如字母 Z.同旁内角定义：两个角都在被截线之间，并且在截线的同侧，这样的一对角叫做同旁内角。形如字母 U.注意：（1）这三种角讲的都是位置关系，而不是大小关系，通常情况，其大小是不确定的。（2）同位角、内错角、同旁内角都是成对出现的。（3）两条直线被第三条直线截成的 8 个角中共有 4 对同位角、2 对内错角、2 对同旁内角。例 1、 （2009桂林）如图，在所标识的角中，同位角是（ ）A、1 和2 B、1 和3 C、1 和4 D、2 和3例 2、 （2006梧州）有下列命题：两条直线被第三条直线所截
11、，同位角相等；两点之间，线段最短；相等的角是对顶角；两个锐角的和是锐角；同角或等角的补角相等正确命题的个数是（ ）A、2 个 B、3 个 C、4 个 D、5 个 例 3例 4例 1例 3例 3、 （2005南通）已知：如图，直线 AB、CD 被直线 EF 所截，则EMB 的同位角是（ ）A、AMF B、BMF C、ENC D、END 例 4、 （2005哈尔滨）下列命题中，正确的是（ ）A、任何数的平方都是正数 B、相等的角是对顶角 C、内错角相等 D、直角都相等 例 5、 （2006梧州）有下列命题：两条直线被第三条直线所截，内错角相等；两点之间，线段最短；对顶角相等；两个锐角的和不一定是锐
12、角；同角或等角的补角相等正确命题的个数是（ ）A、2 个 B、3 个 C、4 个 D、5 个例 6、下列所示的四个图形中，1 和2 是同位角的是（ ）A、 B、 C、 D、 例 7、如右图所示，同位角共有（ ）A、6 对 B、8 对 C、10 对 D、12 对例 8、某城市有四条直线型主干道分别为 ， 和 相交， 和 相互平行且与 相交成如图所示的图形，则共可得4321,l4l1l243l、同旁内角（ ）对A、4 B、8 C、12 D、16【知识点六】平行线平行线定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。注意：（1）前提“在同一平面内”不可忽视，因为在空间图形中存在两条直线既不平行也不相
13、交的情形；（2）平行线指的是两条直线，而不是射线或线段，虽然有时我们也说线段或射线平行，但实际上是他们所在的直线平行；（3）我们把相互重合的两条直线认为是同一条直线，所以在同一平面内，如果两条直线不平行，那么它们一定相交；反之，在同一平面内，如果两条直线不相交，那么它们一定平行。平行线的表示方法：如果直线 AB 平行于直线 CD，我们可以写成：ABCD.例 1、 （2001哈尔滨）下列命题中，真命题是（ ）A、互补两角若相等，则此两角都是直角 B、直线是平角 例 7例 8C、不相交的两条直线叫做平行线 D、和为 180的两个角叫做邻补角 例 2、下列说法不正确的是（ ）A、过任意一点可作已知直
14、线的一条平行线 B、同一平面内两条不相交的直线是平行线 C、在同一平面内，过直线外一点只能画一条直线与已知直线垂直 D、平行于同一直线的两直线平行 例 3、下列语句：同一平面上，三条直线只有两个交点，则其中两条直线互相平行；如果两条平行线被第三条截，同旁内角相等，那么这两条平行线都与第三条直线垂直；过一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中（ ）A、是正确的命题 B、是正确命题 C、是正确命题 D、以上结论皆错 例 4、下列语句中：一条直线有且只有一条垂线；不相等的两个角一定不是对顶角；两条不相交的直线叫做平行线；若两个角的一对边在同一直线上，另一对边互相平行，则这两个角相等；不在同一直线上的
15、四个点最多可画 6 条直线；如果两个角是邻补角，那么这两个角的平分线组成的图形是直角其中错误的有（ ） A、2 个 B、3 个 C、4 个 D、5 个 例 5、下列语句正确的是（ ）A、平角是直线 B、画 5cm 长的射线 C、平行线就是不相交的两条直线 D、在同一平面内，两条不重合的直线的位置关系只有两种：相交或平行 例 6、如右图，共有 组平行线段【知识点七】平行公理及推论平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。注意：把握“有且只有”的含义，它包含两层含义：“有”存在性，即存在一条与已知直线平行的直线；“只有
16、”唯一性，即与已知直线平行的直线是惟一的。例 1、下列说法正确的是（ ）A、同位角相等 B、在同一平面内，如果 ab，bc，则 ac C、相等的角是对顶角 D、在同一平面内，如果 ab，bc，则 ac 例 2、下列说法：（1）两点之间的距离是两点间的线段；（2）如果两条线段没有交点，那么这两条线段所在直线也没有交点；（3）邻补角的两条角平分线构成一个直角；（4）同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（5）同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行其中正确的是（ ）A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个例 3、下列说法中可能错误的是（ ）A、过一点有且只有一条直线与已知
17、直线平行 B、过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C、两条直线相交，有且只有一个交点 D、若两条直线相交成直角，则这两条直线互相垂直 例 6例 2例 4例 6 例 7例 3例 4、下列选项中正确的是（ ）A、相等的角是对顶角 B、两直线平行，同旁内角相等 C、直线外一点到这条直线的垂线段，叫点到直线的距离 D、经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 例 5、过一点画已知直线的平行线（ ）A、有且只有一条 B、不存在 C、有两条 D、不存在或有且只有一条 例 6、经过一点 A 画已知直线 a 的平行线，能画（ ）A、0 条 B、1 条 C、2 条 D、不能确定 【知识点八】平行线的判定
18、（5 种方法）定义；平行公理及其推论；同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行。例 1、 （2010江汉区）对于图中标记的各角，下列条件能够推理得到 ab 的是（ ）A、1=2 B、2=4 C、3=4 D、1+4=180例 2、 （2009台湾）图中有直线 L 截两直线 L1，L2 后所形成的八个角由下列哪一个选项中的条件可判断 L1L2（ ）A、2+4=180 B、3+8=180 C、5+6=180 D、7+8=180 例 3、 （2008十堰）如图，点 E 在 AD 的延长线上，下列条件中能判断 BCAD 的是（ ）A、3=4 B、A+ADC=180 C、1
19、=2 D、A=5 例 4、 （2007新疆）如图，已知1=70，要使 ABCD，则须具备另一个条件（ ）A、2=70 B、2=100 C、2=110 D、3=110 例 5、 （2003河北）某人在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶方向与原来相同，这两次拐弯的角度可能是（ ）A、第一次左拐 30，第二次右拐 30 B、第一次右拐 50，第二次左拐 130 C、第一次右拐 50，第二次右拐 130 D、第一次向左拐 50，第二次向左拐 120 例 6、如图，要得到 ab，则需要条件（ ）A、2=4 B、1+3=180 C、1+2=180 D、2=3 例 7、如图，3= 4，则下列条件中不能推出
20、 ABCD 的是（ ）A、1 与2 互余 B、 1=2 C、1=3 且 2=4 D、BMCN 例 1例 8、下列与垂直相交的说法：同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行；一条直线如果它与两条平行线中的一条垂直，那么它与另一条也垂直；同一平面内，一条直线不可能与两条相交直线都垂直，其中说法错误的个数有（ ）A、3 个 B、2 个 C、1 个 D、0 个【知识点九】平行线的性质性质一：如果两条平行线被第三条直线所截，那么同位角相等；性质二：如果两条平行线被第三条直线所截，那么内错角相等；性质三：如果两条平行线被第三条直线所截，那么同旁内角互补。例 1、 （2011湛江）如图，直线 AB、C
21、D 相交于点 E，DFAB若AEC=100，则D 等于（ ）A、70 B、80 C、90 D、100例 2、 （2011宜宾）如图，直线 AB、CD 相交于点 E，DFAB若D=70，则CEB 等于（ ）A、70 B、80 C、90 D、110 例 3、 （2011雅安）如图，直线 l1，l2 被直线 l3 所截，且 l1l2，若1=72，2=58，则3=（ ）A、45 B、50 C、60 D、58 例 4、 （2011新疆）如图，ABCD，AD 和 BC 相交于点 O，A=40，AOB=75则C 等于（ ）A、40 B、65 C、75 D、115 例 5、 （2000荆门）如图所示，ABEF
22、DC，EGDB，则图中与 1 相等的角（1 除外）共有（ ）A、6 个 B、5 个 C、4 个 D、2 个例 6、如图，DHEGBC，DCEF，那么与EFB 相等的角（不包括EFB）的个数为（ ）A、2 个 B、3 个 C、4 个 D、5 个例 7、已知：如图所示，ABCDEF，BCAD，AC 平分BAD ，则图中与ACB 相等的角有（ ）例 1 例 2例 5 例 6 例 7 例 8例 3 例 4例 4A、2 个 B、3 个 C、4 个 D、5 个例 8、如图， ， 为 、 的截线，1=70 ，则下列结论中不正确的个数有：5=70；3=6；2+ 6=220 ；1l2l124+7=180（ ）【
23、知识点十】综合运用平行线的判定与性质例 1、 （2000宁波）如图，直线 AB，CD 被直线 所截，若1=390，则（ ）lA、2=3 B、2=4 C、1= 4 D、3=4例 2、 （2011朝阳）如图，已知1=2= 3=65，则4 的度数为 . 例 3、 （2010南宁）如图所示，直线 a，b 被 c，d 所截，且 ca， cb，1=70，则2= 例 4、 （2010杭州）如图，已知1=2= 3=62，则4= 度例 5、如图所示，ABEF，CD EF ，1=F=30 ，那么与FCD 相等的角有（ ）A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个例 6、如图，若1= 2，图中与 3 相等的角有
24、（ ）A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个 【知识点十一】平行线之间的距离例 1、 （2009泉州）如图，方格纸中每个最小正方形的边长为 1，则两平行直线 AB、CD 之间的距离是 例 2、 （2003常州）如图，直线 AEBD，点 C 在 BD 上，若 AE=4，BD=8，ABD 的面积为 16，则ACE 的面积为 . 例 4、如图所示，已知 ABCD，BAC 与ACD 的平分线交于点 O，OEAC 交 AC 于点 E，且 OE=5cm则直线 AB 与 CD 之间的距离等于（ ）A、5cm B、10cm C、20cm D、5cm 或 10cm例 5、如图，ABEF，C 是 EF 上
25、一个动点，当点 C 的位置变化时，ABC 的面积将（ ）例 1例 2 例 3 例 4 例 5例 6例 1 例 2例 5A、变大 B、变小 C、不变 D、变大变小要看点 C 向左还是向右移动 例 6、把直线 a 沿水平方向平移 4cm，平移后的图像为直线 b，则直线 与直线 之间的距离为（ ）abA、等于 4cm B、小于 4cm C、大于 4cm D、小于或等于 4cm 例 7、已知直线 ，点 M 到直线 的距离是 ，到直线 的距离是 ，那么直线 和直线 之间的距离为 b acm5cm3ab【知识点十二】认识命题、定理1.定义：判断一件事情的语句叫做命题。注意：（1）命题由题设和结论两部分组成
26、，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。（2）命题常可以写成“如果那么”的形式，另外还有“若则”等形式。（3）命题必须是一个完整的句子，其次这个句子必须对事情作出“是什么”或“不是什么”的判断。2.真命题和假命题：命题由正确和错误之分，其中正确的命题叫做真命题，错误的命题叫假命题。注意：（1）命题的正确性是经过推理的，这样的命题叫做定理；（2）要说明一个命题是假命题，通常可以举出一个例子，使之具备命题的条件，而不具备命题的结论，这种例子称为反例。例 1.下列语句是命题的是（ ） 对顶角相等；两点确定一条直线；直线 ABCD；画直线 AB.A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个例
27、2.下列语句不是命题的是（ ）A.不相交的两条直线是平行线 B.一条直线的垂线只有一条 C.过直线外一点作该直线的垂线 D.同旁内角互补，两直线平行.例 3.下列命题是假命题的有（ ）一个角小于它的补角；一个锐角大于它的余角；两条直线被第三条直线所截，同位角相等；两个锐角的和一定大于 90.A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个例 4.下列命题中正确的是（ ）A.任何数的绝对值都是正数 B.相等的角是对等角 C.内错角相等 D.直角都相等.例 5.给出下列命题：若两个有理数的和是正数，则这两个有理数都是正数；在平面内过一点有且只有一条直线和已知直线垂直；过一点有且只有一条直线和已知直线
28、平行；两直线相交交点叫垂足.其中真命题有（ ）A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个【知识点十三】图形平移问题1.平移的定义和条件：（1）平移的定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形移动叫做平移。（2）决定平移的因素：平移是由移动的方向和距离所决定的。（3）与平移有关的概念：1）对应点 2）对应线段 3）对应角2.平移的性质和特征：（1）平移的基本性质：经过平移，对应线段、对应角分别相等；对应点所连的线段相等且平行。（2）平移的特征：平移不改变图形的形状和大小。注意：在平移过程中，对应线段可能在一条直线上；在平移过程中，对应点所连的线段也可能在同一条直线上。3.
29、学会平移作图（1）确定一个图形平移后的位置需要三个条件：图形原来的位置；平移的方向；平移的距离。这三个条件同时存在，在平移后的图形位置可以唯一确定，否则可以作无数个平移图形。（2）平移作图的步骤：确定平移的方向和距离；找出确定图形形状的关键点；按平移的方向和距离确定关键点平移后的对应点；按原图的顺序，连接各对应点；写出结论。注意：作图要规范，叙述要简明，用尺规作图要保留作图痕迹。（3）设计平移图案：确定基本图案；将基本图案按一定方向、一定的距离连续平移，完成整个图案设计。例 1、下列各组图形，可由一个图形平移得到另一个图形的是（ ）A、 B、 C、 D、例 2、下列图形中，不能通过其中一个四边
30、形平移得到的是（ ）A、 B、 C、 D、例 4.如图，将图中的小船沿箭头方向平移 6 格，作出平移后的图形例 4例 5.如图，在平行四边形 ABCD 中，AEBC，垂足为 E，试画出将 ABE 平移后的图形，其平移方向为射线 AD 的方向，平移的距离为线段 AD 的长度。例 6.如右图，先将方格纸中的图形向右平移 4 格，然后向下平移 3 格。例 7.如下图，经过平移五角星的顶点 A 移到了点 B，作出平移后的图形 例 5例 6例 7总结：一余角、补角、对顶角、邻补角1、余角：如果两个角的和是90，那么称这两个角互为余角. 2、补角：如果两个角的和是180，那么称这两个角互为补角.3、邻补角
31、：两个角有一个公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角互为邻补角。4、对顶角：如果两个角有公共顶点，并且它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角.5、互为余角的有关性质：1290，则1、2互余；反过来，若1，2互余，则1+290；同角或等角的余角相等，如果l十290，1+ 390 ，则23.6、互为补角的有关性质：若A+B180，则A、B互补；反过来，若A 、B互补，则A +B180. 同角或等角的补角相等.如果A+C 180，A+B180，则B C .7、邻补角性质：邻补角互补。 8、对顶角的性质：对顶角相等.二同位角、内错角、同旁内角的认识及平行线的性质9、同一平
32、面内两条直线的位置关系是：相交或平行.10、“ 三线八角 ”的识别：三线八角指的是两条直线被第三条直线所截而成的八个角.正确认识这八个角要抓住： 同位角位置相同，即“同旁” 和“同侧”；内错角要抓住 “内部，两旁”；同旁内角要抓住“内部、同旁”.三平行线的性质与判定11、平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线是平行线.12、平行线的性质：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补.13、过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行.14、两条平行线之间的距离是指在一条直线上任意找一点向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线之间的距离.15、如果两条直线都与第三条
33、直线平行，那么这两条直线互相平行.16、平行线的判定：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；如果内错角相等那么这两条直线平行； 如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.这三个条件都是由角的数量关系（相等或互补）来确定直线的位置关系（平行）的，因此能否找到两直线平行的条件，关键是能否正确地找到或识别出同位角，内错角或同旁内角.17、常见的几种两条直线平行的结论：（1）两条平行线被第三条直线所截，一组同位角的角平分线平行；（2）两条平行线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行.四尺规作图18、只用没有刻度的直尺和圆规的作图的方法称为尺规作图.用尺规可以作一条线段等于已知线段，也可以作一个角等于已知角.利用这两种两种基本作图可以作出两条线段的和或差，也可以作出两个角的和或差.课后作业学生对于本次课的评价： 特别满意 满意 一般 差学生签字：教师评定：1、 学生上次作业评价： 好 较好 一般 差2、 学生本次上课情况评价： 好 较好 一般 差教师签字：
