1、第一章 有理数一. 知识梳理：（一）、有理数的基础知识1、三个重要的定义：（1）正数：像 1、2.5、这样大于 0 的数叫做正数；（2）负数：在正数前面加上“”号，表示比 0 小的数叫做负数；（3）0 即不是正数也不是负数。2、有理数的分类：（1）按定义分类： （2）按性质符号分类：负 分 数正 分 数分 数 负 整 数正 整 数整 数有 理 数 0负 分 数负 整 数负 有 理 数 正 分 数正 整 数正 有 理 数有 理 数 03、数轴数轴有三要素：原点、正方向、单位长度。画一条水平直线，在直线上取一点表示0（叫做原点），选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到数轴。
2、在数轴上的所表示的数，右边的数总比左边的数大，所以正数都大于 0，负数都小于0，正数大于负数。4、相反数符号不同，绝对值相等的两个数互为相反数。其中一个数就叫另一个数的相反数。0 的相反数是 0。互为相反的两上数，在数轴上位于原点的两则，并且与原点的距离相等。5、绝对值（1）绝对值的定义：一个数的绝对值就是数轴上表示该数的点与原点的距离。（2）一个数的绝对值与这个数本身或它的相反数之间的关系：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0；（3）两个负数比较大小，绝对值大的反而小。（二）、有理数的运算1、有理数的加法（1）有理数的加法法则：同号两数相加，取相同的符号
3、，并把绝对值相加；异号两数相加，当绝对值相等时，和为零；当绝对值不等时，取绝对值较大数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；一个数同 0 相加，仍得这个数。（2）有理数加法的运算律：加法的交换律 ：加法的结合律：用加法的运算律进行简便运算的基本思路是：先把互为相反数的数相加；把同分母的分数先相加；把符号相同的数先相加；把相加得整数的数先相加。2、有理数的减法（1）有理数减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。（2）有理数减法常见的错误：顾此失彼，没有顾到结果的符号；仍用小学计算的习惯，不把减法变加法；只改变运算符号，不改变减数的符号，没有把减数变成相反数。（3）有理数加减混合运算步骤：
4、先把减法变成加法，再按有理数加法法则进行运算；3、有理数的乘法（1）有理数乘法的法则：两个有理数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与 0 相乘都得 0。（2）有理数乘法的运算律：交换律： 结合律： 交换律： （3）倒数的定义：乘积是 1 的两个有理数互为倒数，即 ab=1，那么 a 和 b 互为倒数；倒数也可以看成是把分子分母的位置颠倒过来。4、有理数的除法有理数的除法法则：除以一个数（0 除外），等于乘上这个数的倒数。这个法则可以把除法转化为乘法；除法法则也可以看成是：两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0 除以任何一个不等于 0 的数都等于 0。5、有理数的乘方（
5、1）有理数的乘法的定义：求几个相同因数积的运算叫做乘方，乘方运算的结果叫做幂.幂的表示： naaan读作：a 的 n 次方，也叫做 a 的 n 次幂，a 叫做幂的底数，n 叫做幂的指数。an的意义：表示 n 个 a 相乘。即 an= （2）幂的符号性质： 正数的任何次幂都是正数 负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数。 0 的任何正整数次幂都得 0特别地，一个数的二次方，也称为这个数的平方；一个数的三次方，也称为这个数的立方。6、有理数的混合运算（1）进行有理数混合运算的关建是熟练掌握加、减、乘、除、乘方的运算法则、运算律及运算顺序。比较复杂的混合运算，一般可先根据题中的加减运算，把算式分
6、成几段，计算时，先从每段的乘方开始，按顺序运算，有括号先算括号里的，同时要注意灵活运用运算律简化运算。（2）进行有理数的混合运算时，应注意：一是要注意运算顺序，先算高一级的运算，再算低一级的运算；二是要注意观察，灵活运用运算律进行简便运算，以提高运算速度及运算能力。第二章 整式的加减1、单项式的概念式子 , 它们都是数或字母的积，象这样的式子叫做单项式，单独x3mtya,6.2,3的一个数或一个字母也是单项式。注意：单项式是一种特殊的式子，它包含一种运算、三种类型。一种运算是指数与字母、字母与字母之间只能是乘法的一种运算，不能有加、减、除等运算符号；三种类型是指：一是数字与字母相乘组成的式子，
7、如 ;二是字母与字母组成的式子，如 ;三是单独的ab23xy一个数或字母，如 。ma,2，幂的指数an幂幂的底数相 乘个 相 乘个2、单项式的系数单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。注意：（1）单项式的系数可以是整数，也可能是分数或小数。如 的系数是 2； 的4x3ab系数是 ，2.7m 的系数是 2.7。3（2）单项式的系数有正有负，确定一个单项式的系数，要注意包含在它前面的符号，如 的系数是2xy（3）对于只含有字母因素的单项式，其系数是 1 或1，不能认为是 0，如 的2xy系数是1； 的系数是 1。2xy（4）表示圆周率的 ，在数学中是一个固定的常数，当它出现在单项式中时，应将其作
8、为系数的一部分，而不能当成字母。如 2 xy 的系数就是 23、单项式的次数一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。注意：（1）计算单项式的次数时，应注意是所有字母的指数和，不要漏掉字母指数是 1 的情况。如单项式 的次数是字母 的指数和，即 431=8，而不是 7 次，应注zyx342zyx,意字母 Z 的指数是 1 而不是 0.（2）单项式是一个单独字母时，它的指数是 1，如单项式 m 的指数是 1，单项式是单独的一个常数时，一般不讨论它的次数。（3）单项式的指数只和字母的指数有关，与系数的指数无关。如单项式的次数是 234=9 而不是 13 次。42zyx（4）单项式通常根据
9、实验室的次数进行命名。如 是一次单项式， 是三次单x6xyz2项式。4、多项式的有关概念（1）多项式：几个单项式的和叫做多项式。（2）多项式的项：多项式中的每个单项式叫做多项式的项。（3）常数项：不含字母的项叫做常数项。（4）多项式的次数：多项式里次数最高项的次数叫做多项式的次数。（5）整式：单项式与多项式统称整式。注意：a、概念中“几个单项式的和”是指两个或两个以上的单项式相加。如 ,xa432237 等这样的式子都是多项式。b、多项式的每一项都包含前面的符号，如多项式 共有三项，它们9623axy分别是 , ,9,一个多项式中含有几个单项式就说这个多项式是几项式如3xya6共有三项，所以就
10、叫三项式。923c、多项式的次数不是所有项的次数之和，也不是各项字母的指数和，而是组成这个多项式的单项式中次数最高的那个单项式的次数，如多项式 是由三个单项9623axy式 , ,9 组成，而在这三个单项式中 的次数最高，且为 4 次，所以这个多32xya63xy项式的次数就是 4.这是一个四次三项式。对于一个多项式而言是没有系数这一说法的。5、整式的书写（1）书写含乘法运算的式子a、省乘号要小心。当式子中出现乘法运算时，有些乘号可以省略不写。字母与字母相乘、数字与字母相乘、数字（字母）与带括号的式子相乘、带括号的式子之间相乘时，其乘号可以不写或写作“ ”，但对于数字与数字相乘时乘号则不能省略
11、，也不能用“ ”。 b、数字在前，字母在后。数字与字母相乘，数字与带括号的式子相乘时除中间乘号可以省略不写之外，还必须把数字写在字母或括号的前面。c、带分数一定要化成假分数。（2）书写含除法运算的式子当式子中出现含有字母的除法运算时，结果一般不用“” ，而改成分数线，如 应写4ab作 ， 应写作4ab733a（3）书写含单位名称的式子a、遇和差，括号加 b、是积商，直接放6、同类项的概念像 与 , 与 这样，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的m25402a23项，叫做同类项。注意：a、同类项必须具备两个条件：所含字母相同；相同字母的指数也分别相同。二者缺一不可。b、同类项与系数、字母的排
12、列顺序无关。c、所有的常数项都是同类项，单独的一项不能说是同类项，同类项至少针对两项而言。7、合并同类项（1）定义：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。（2）法则：合并同类项后，所得系数是合并前各同类项系数的和，且字母部分不变。它可以用“一变” 、 “两不变”来概括。 “一变”是指同类项的系数变；“两不变”是指相同字母和相同字母的指数不变。口诀：同类项，需判断，两相同，是条件。合并时，需计算，系数加，两不变。注意：a、系数相加时，一定要带上各项前面的符号。b、合并同类项一定要完全、彻底，不能有漏项。c、只有是同类项才能合并。d、合并同类项的结果可能是单项式也可能是多项式。8、去括号法
13、则：括号前面是正号，去掉括号不变号；括号前面是负号，去掉括号要变号。（1）直接去括号例 1、计算： Key：22233xyyx 224xy（2）合并后去括号例 2、计算： Key ：322311xxx 3x（3）利用分配律去括号例 3、计算： Key ：53622aa 212a（4） 、从外向内去括号例 4、计算： Key ：22223bbb二、典型例题例 1、把下列各数分别填入相应的集合里。（-2） ，0，-0.314，-（-11） ， ，-4 ，0. ， ，2 7231532正有理数集合: 负有理数集合： 整数集合: 分数集合: 自然数集合: 例 2、 （1）下列说法错误的是（ ）（A）自
14、然数一定是有理数（B）自然数一定是整数（C）自然数一定是非负数（D）整数一定是自然数（2）绝对值大于 而小于 的自然数有_ 大于-3 且小于 2 的所有整数 238绝对值大于 2 且小于 5 的所有负整数 不超过（-5/3） 3的最大整数 在数轴上，与表示-1 的点的距离为 2 的所有数 （3）对于任何有理数 a，下列各式中必为负数的是（ ）（A） -(-3+a) （B） -a （C）-|a+1|（D） -a2-1例 3、 （1）a 的倒数的相反数是 ，-a+3 的相反数是 （2）已知 a,b 互为相反数，c,d 互为倒数，则 2009（a+b）+3cd= 例 4、 （1）数 a、b 在数轴上
15、的位置如图所示，下列正确的是（ ）（A）ab （B）a+b0 （C）ab0 （D）|a|b|（2）数轴上点 A、B 分别表示-4 和 3，则线段 AB 的中点表示的数为_（3）已知数轴上点 A、B 分别表示-2 和 x，若 AB=3，则 x 的值为_（4）若 x2，则化简|2-x|= （5） 213()0,_则 =xyxy例 5、细心填一填两个互为相反数的数的和是 ；两个互为相反数的数的商是 （0 除外） 的绝对值与它本身互为相反数； 的平方与它的立方互为相反数； 与它绝对值的差为 0； 的倒数与它的平方相等；_的倒数等于它本身；_的平方是 4，_的绝对值是 4；如果-aa，则 a_； 如果|a|=-a，则 a_；如果 ，那么 a_； 如果 ，那么 a_；例 6、已知| a | 0,b 0 B、ab0 C、b-a|b|5. （ 5）+（ 6）=_； （ 5）（ 6）=_；（ 5）（ 6）=_； （ 5）6=_。6. 21_； 214=_；73_； 93_ _。7. 20320)1(_；8 . 计算（1） 43()() （2） 324()9
