1、【名师解析】山东省实验中学 2015 届高三第一次诊断性考试数学理试题 Word 版含解析 2014.9【试卷综析】试题在重视基础，突出能力，体现课改，着眼稳定，实现了新课标高考数学试题与老高考试题的尝试性对接.纵观新课标高考数学试题，体现数学本质，凸显数学思想，强化思维量，控制运算量，突出综合性，破除了试卷的八股模式，以全新的面貌来诠释新课改的理念，试题图文并茂，文字阐述清晰，图形设计简明，无论是在试卷的结构安排方面，还是试题背景的设计方面，都进行了大胆的改革和有益的探索，应当说是一份很有特色的试题.一、选择题：本大题共 10 个小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，
2、只有一项是符合题目要求的.【题文】1.设全集 ，集合 ，则1,23,40U1,20,3,40ABUCABA. B. C. D. 0 【知识点】集合.A1【答案解析】B 解析：解：因为 所以 B 为正确选项. 3,43,4UUCC【思路点拨】根据交集的概念可以直接求出交集.【题文】2.已知 是虚数单位，则在复平面中复数 对应的点在2,fxi13fiA.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【知识点】复数的基本概念与运算.L4【答案解析】A 解析：解：由题可知 ，2221316133305fii ii ii所以复数表示的点为 ，在第一象限，所以 A 正确. 13,5【思路点拨】根据复数
3、的概念进行运算，分母实数化，然后找到对应点.【题文】3.设随机变量 服从正态分布 ，若 ，则0,1N1Pp10PA. B. C. D. 12p1p2p【知识点】正态分布.I3【答案解析】D 解析：解：由正太分布的概念可知，当 时， ，而正太1Pp102Pp分布的图像关于 y 轴对称，所以 ，所以 D 为正确选项.102P【思路点拨】根据正态分布的对称关系可直接求解.【题文】4.设 ，则 “ ”是“ ”的02x2sinxsin1xA.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【知识点】充分条件；必要条件.A2【答案解析】B 解析：解：解：因为 ，所以 sinx1
4、，故 xsin2xxsinx，02x若“xsinx1”，则“xsin 2x1”若“xsin 2x1”，则 不一定小于 1sin由此可知答案必要而不充分条件故答案为必要而不充分条件 【思路点拨】考查四种条件的判断，关键是合理运用角的范围确定三角函数的范围【题文】5.已知两个不同的平面 和两个不重合的直线 m、 n，有下列四个命题：、若 ； 若 ；/,mn， 则 ,/则若 ； 若 ./,则 /， 则其中正确命题的个数是A.0 B.1 C.2 D.3【知识点】直线与平面的位置关系.G4,G5【答案解析】D 解析：解：由直线与直线，直线与平面，平面与平面位置关系可知， 正确，不正确.【思路点拨】由空间
5、中的位置关系及判定定理，性质定理可直接得到.【题文】6.要得到函数 的图象，只需将函数 的图象cos23fxsin23gxA.向左平移 个单位长度 B.向右平移 个单位长度2C.向左平移 个单位长度 D.向右平移 个单位长度44【知识点】三角函数的图像与性质.C3【答案解析】C 解析：解：因为 向左平移 个单位可得，sin23gx4所以 C 选项正确.sin2icos24433gxx x 【思路点拨】由三角函数的图像与性质可对三角函数进行移动.【题文】7.已知双曲线 的右焦点为 F，若过点 F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则21y此直线的斜率的取值范围是A. B. C. D.3,3,
6、3,3,【知识点】直线与双曲线.H8【答案解析】A 解析：解： 由题可知满足条件的直线即过右焦点且斜率在两条渐近线之间的直线，由条件可知渐近线为 ，再分析可得，与右支只有一个交点的直线斜率应该在3byxa范围内，所以 A 正确.3,【思路点拨】由双曲线的渐近线及图像可知只有一个交点的情况.【题文】8.某班班会准备从甲、乙等 7 名学生中选派 4 名学生发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，当甲乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻，那么不同的发言顺序的种数为A.360 B.520 C.600 D.720【知识点】排列组合.J2【答案解析】C 解析：解：根据题意，分 2 种情况讨论，若只有甲乙其中一
7、人参加，有 C21C53A44=480 种情况；若甲乙两人都参加，有 C22C52A44=240 种情况，其中甲乙相邻的有 C22C52A33A22=120 种情况；则不同的发言顺序种数 480+240-120=600 种，故选 C 【思路点拨】根据题意，分 2 种情况讨论，只有甲乙其中一人参加，甲乙两人都参加，由排列、组合计算可得其符合条件的情况数目，由加法原理计算可得答案【题文】9.设函数 若 ，则关于 的方程,0,.xbcf40,2ffx的解的个数为fxA.4 B.3 C.2 D.1【知识点】分段函数；方程根的个数.B1,B9【答案解析】B 解析：解：因为 所以 的对称轴为40,2ff2
8、yxbc， ，24bxa2fc所以方程有 3 个根，所以 B 正确.,01,2,xf fxx【思路点拨】根据条件求出函数，然后求方程的根.【题文】10.已知向量 的夹角为 时取OABur与 ,1,OABPtOAQtPururrur， 0t在得最小值，当 时，夹角 的取值范围为015tA. B. C. D.0,3,2,320,【知识点】向量.F2,F3【答案解析】C 解析：解：由题意得 1cos,1OABPQOtBtOA=（1-t） 2+4t2-222PQtBtAt4t（1-t）cos=（5+4cos）t 2+（-2-4cos）t+1由二次函数知当上式取最小值时， ，由题意可得 解得012cos
9、54t12cos0541cos02，所以 C 正确.23【思路点拨】根据向量的概念及运算可转化为二次函数问题，再根据三角函数值求角.第 II 卷（非选择题 共 100 分）二、填空题：本大题共 5 个小题，每小题 5 分，共 25 分【题文】11.若 对任意的 恒成立，则实数 k 的取值范围为_.13xkxR【知识点】绝对值不等式.E2【答案解析】 解析：解： 由绝对值不等式可知 时，不,41314xxk等式对于任意实数恒成立.【思路点拨】绝对值不等式的解法.【题文】12.如图给出的是计算 的值的程序框图，其中判断框内应填入的是_.12462014【知识点】程序框图.L1【答案解析】i 201
10、4 解析：解： 解 ： 根 据 流 程 图 ， 可 知第 1 次 循 环 ： i=2， ； 第 2 次 循 环 ： i=4， ；SS第 3 次 循 环 ： i=6， ；16第 1007 次 循 环 ： i=2014， ；1204S此 时 ， 设 置 条 件 退 出 循 环 ， 输 出 S 的 值 故 判 断 框 内 可 填 入 i 2014故 答 案 为 ： i 2014【思路点拨】根 据 流 程 图 写 出 每 次 循 环 i， S 的 值 ， 和 比 较 即 可 确 定 退 出 循11246204环 的 条 件 ， 得 到 答 案 【题文】13.已知圆 C 过点 ，且圆心在 轴的负半轴上，
11、直线 被该圆所截得的弦长为1,0x:lyx，则圆 C 的标准方程为_.2【知识点】圆的标准方程.H3【答案解析】 解析：解：设圆心 ，则圆的半径 ，所以圆心到直234xy,0Cx1rBCx线的距离 ，弦长 ，则 整理得：x=2（不合题意，舍去）1CD2AB21rx或 x=-3，圆心 C（-3，0） ，半径为 2，则圆 C 方程为 34xy故答案为： 2【思路点拨】根据题意设圆心 C 坐标为（x，0） ，根据圆 C 过（-1，0） ，利用两点间的距离公式表示出圆的半径，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线 l 的距离 d，根据已知的弦长，利用垂径定理及勾股定理列出关于 x 的方程，求出方程的解
12、得到圆心坐标及半径，写出圆 C 的标准方程即可【题文】14.定义： ，在区域 内任取一点,min,ab206xy的概率为_. 2 2,i,4pxyxy， 则 、 满 足【知识点】概率.E1【答案解析】 解析：解：解 ： 本 题 是 一 个 几 何 概 型 ， 试 验 包 含 的 所 有 事 件 对 应 的164329P集 合 =（ x， y） |0 x 2， 0 y 6， S =11=1 满 足 条 件 的 事 件 A=（ x， y）|0 x 2， 0 y 6， x2+x+2y x+y+4， 即 A=（ x， y） |0 x 2， 0 y 6， y 4-x2，,所以由几何概型公式得到2314|
13、0ASd 139P【思路点拨】由题意可作图计算出概率的值.【题文】15.已知 恒成立，则实数 m 的取值范围是_.280,yxxm， 若【知识点】基本不等式.E1【答案解析】- 4 m 2 解析：解：解 ： 根 据 题 意 ， x 0， y 0， 则 ，28,0yx即 的 最 小 值 为 8，2828yxyx2yx若 恒 成 立 ， 必 有 m2+2m 8 恒 成 立 ， m2+2m 8m2+2m-8 0，2mxy解 可 得 ， -4 m 2， 故 答 案 为 -4 m 2【思路点拨】关 键 是 利 用 基 本 不 等 式 求 出 的 最 小 值 yx三、解答题：本大题共 6 个小题，共 75
14、 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.【题文】16.（本小题满分 12 分）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 ，且 ,abc221bac（I）求 的值；2sincos（II）若 面积的最大值.b， 求【知识点】解三角形.C8【答案解析】(I) (II) 解析：解：(I)在 中，由余弦定理可知，21sincos4ACB35ABC，由题意知 ，又在 中22coacba22abac1os4B又2 2cos1sinsincosACBcs421c4（） b=2 ，由 可知， ，acba22ac2142即 ， ，8 分21ca38 ， 10 分4osB415sin .382i1acSA
15、C ABC 面积的最大值为 1215【思路点拨】由余弦定理可求出角 B 的值，再计算所求的值，再由公式求出面积.【题文】17.（本小题满分 12 分）如图，在七面体 ABCDMN 中，四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形， 平面MDABCD， 平面 ABCD，且NB21.MDNP， ， 与 交 于 点（I）在棱 AB 上找一点 Q，使 QP/平面 AMD，并给出证明；（II）求平面 BNC 与平面 MNC 所成锐二面角的余弦值.【知识点】直线与平面的位置关系；二面角.G3,G10【答案解析】(I)略(II) 解析：解：证明：MD 平面 ABCD，NB 平面124cos3n ABCD，MD/
16、NB，2 分 ，又 ， ，4 分12BPNMDQBANBMD在 中，OP/AM，A又 面 AMD，AM 面 AMD， / 面 AMD.分OOP（）解：以 DA、DC、DM 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则 D（0,0,0） ，B（2,2,0） ，C（0,2,0） ，M（0,0,2）N（2,2,1） ， =（0,-2,2） ， =（2,0,1） ， =（0,2,0） ，CCNC7 分设平面 CMN 的法向量为 =（x,y,z）则 ， ，1n10n20yxz =（ 1,-2,-2）.9 分1n又 NB 平面 ABCD，NB DC，BC DC，DC 平面 BNC，平面
17、BNC 的法向量为 = =（0,2,0） ，2nDC11 分设所求锐二面角为 ，则 .12 分124cos3n【思路点拨】由已知条件可证明直线与平面的位置关系；再利用向量法求出二面角的余弦值.【题文】18.（本小题满分 12 分）某高校自主招生选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰.已知某同学能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为 ，且各轮问题能否正确回答互不影4325、 、响。（I）求该同学被淘汰的概率；（II）该同学在选拔中回答问题的个数记为 ，求随机变量 的分布列与数学期望.【知识点】概率；随机变量的分布列与数学期望.K1,K6【答案解析】(
18、I) (II) 102518125735E解析：解：(I)记“该同学能正确回答第 i 轮的问题”的事件为 A 则 ，所以该同学被淘汰的概率1,23i12342,55PAPA10P(II) 的可能值为 1，2，3， ，所以 112812, ,3555PAPAP的分布列为 18125735E【思路点拨】根据已知求出事件的概率，再列出随机变量的情况求出分布列及数学期望.【题文】19.（本小题满分 12 分）设数列 的各项都是正数，且对任意 ，都有 ，其中 为数列. 的前 n 项和.na*nN2nnaSnSa（I）求数列 的通项公式；（II）设 （ 为非零整数， ） ，试确定 的值，使得对任意 ；都有
19、13.2nannb *N成立.1【知识点】数列的通项公式；数列的应用.D1，D5【答案解析】(I) (II)略解析：解：（） *nN时， ，*()NnannaS2当 时， ，2 分2n211nS由得， 1()(2)n naSa即 ， ，4 分211naa01n )2(1n由已知得，当 时， ， .分21故数列 是首项为 1，公差为 1 的等差数列. . 分n *()Nna（） ， ,7 分*()Nanb2)(31 .11132n nnb 13()2nn要使得 恒成立,只须 . 分n1()()n(1)当 为奇数时,即 恒成立.又 的最小值为, . 9 分122n1(2)当 为偶数时,即 恒成立.
20、又 的最大值为 , 分3()n13()32由(1),(2)得 ,又 且 为整数,分10 对所有的 ,都有 成立. 分1*Nn1nb【思路点拨】根据前 n 项与通项的关系求出通项公式，再根据题意分情况讨论证明.【题文】20.（本小题满分 13 分）已知椭圆 过点 ，且长轴长等于 4.2:10xyCab31,2（I）求椭圆 C 的方程；（II） 是椭圆 C 的两个焦点， O 是以 为直径的圆，直线 O 相切，并与椭12F， e12F， :lykxme与圆 C 交于不同的两点 A，B，若 ，求 k 的值.3=ur【知识点】椭圆的标准方程；直线与椭圆的关系.H5,H8【答案解析】(I) (II) 解析
21、：解：（）由题意，椭圆的长轴长 ，得 ，1342yx2 42a22 分点 在椭圆上， 得 ，分23,11492b32椭圆的方程为 .6 分32yx(II)由直线 L 与圆 O 相切，得 ，即 ，设 由 消去21mk22k12,AxyB2143xykmy，整理得 ，由题意可知圆 O 在椭圆内，所以直线必与椭圆相交234840kx21212,3xk10 分.43124843222 11 kmkmkxxxy 11 分,7222211yx ， .2 分22km2211435kyx ， ， ，得 k 的值为 .13 分3OBA52k12【思路点拨】根据题意可直接求出椭圆的标准方程，再根据直线与椭圆的位置
22、关系列出关系式求出 K 的取值.【题文】21.（本小题满分 14 分）已知函数 的切线方程为 .21axbf f在 点 ， 30xy（I）求函数 的解析式；（II）设 ，求证： 上恒成立； lngx1,gxfx在（III）已知 .2ln0baab， 求 证 ：【知识点】导数;导数与不等式.B11,B12【答案解析】(I) (II)略(III)略解析：解：解：（）将 代入切线方程得 ，12)(xf 1x2y ， 分1)(abf化简得 . ， 分422)1()(xbaxf，2)1( babf解得： . . 分 ,a1)(2xf（）由已知得 在 上恒成立，ln2x),化简 ，即 在 上恒成立.分)1(2x 02lnx),1设 ， ， 分 lxh)(h ，即 ，分x21,0n2x 在 上单调递增， ， 在 上恒成立 .分 )(),10)(x)(xfg),1（） ， ，由（）知有 ， 12 分ba01a2ln()ba整理得 ，当 时， . 14 分2lnb02lb【思路点拨】根据导数求出函数的解析式，再构造函数证明不等式.
