1、1第三章空间向量与立体几何学案设计人:杨光明3.1.1 空间向量及其运算学习目标 1. 理解空间向量的概念，掌握其表示方法；2. 会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题重点：空间向量的加法、减法和数乘运算及运算律。难点：应用向量解决立体几何中的问题。学习过程一、课前准备复习 1：平面向量基本概念； 加法交换律： a b b a2：平面向量有加减以及数乘向量运算； 加法结合律：( a b) c a（ b c）3. 向量加法和数乘向量，以下运算律成立吗？ 数乘分配律：( a b) a b二、新课导学学习探究探究任务一：
2、空间向量的相关概念问题： 什么叫空间向量？空间向量中有零向量，单位向量，相等向量吗？空间向量如何表示？新知：空间向量的加法和减法运算：空间任意两个向量都可以平移到同一平面内，变为两个平面向量的加法和减法运算。反思：空间向量加法与数乘向量有如下运算律吗？加法交换律： A. + B. = B. + a；加法结合律：( A. + b) + C. =A. + (B. + c)；数乘分配律： (A. + b) =A. +b 典型例题例 1 已知平行六面体 （如图） ，化简下列向量表达式，并标出ABCD化简结果的向量：； ABC ； ； 12AC 1()2ABD 变式：在上图中，用 表示 和 .,AB,B
3、D例 2 化简下列各式： ; ABC ;MO .DAC练 1. 已知平行六面体 , M 为 A C 与 B D 的交点 ， 化简下列表达式：BD11 ; ; .1A1121211ABCA三、总结提升学习小结1. 空间向量基本概念；2. 空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律四、课后反思23.1.2 空间向量的数乘运算（一）学习目标 1. 掌握空间向量的数乘运算律，能进行简单的代数式化简；2. 理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论； 3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题重点：空间向量的共线难点：空间向量的共线学习过程 一、课前准备复习 1：化简： 5（ ）+4
4、（ ） ； .32ab3a63abcabc复习 2：在平面上，什么叫做两个向量平行？在平面上有两个向量 ， 若 是非零向量，则 与 平行的充要条件是 , b二、新课导学学习探究探究任务一：空间向量的共线问题：空间任意两个向量有几种位置关系？如何判定它们的位置关系？新知：空间向量的共线：1. 如果表示空间向量的 所在的直线互相 或 ，则这些向量叫共线向量，也叫平行向量. 2. 空间向量共线：定理：对空间任意两个向量 （ ） ， 的充要条件是存在唯一实数 ，使得 ,ab0/ab 试试：已知 ，求证: A,B,C 三点共线. 5,28,ABC3D典型例题例 1 已知直线 AB，点 O 是直线 AB
5、外一点，若 ，且 x+y1，试判断 A,B,P 三点是否共线？OPxAyB变式：已知 A,B,P 三点共线，点 O 是直线 AB 外一点，若 ，那么 t 2tO例 2 已知平行六面体 ，点 M 是棱 AA 的中点，点 G 在对角线 A C 上，且 CG:GA =2:1,设ABCD = ， ，试用向量 表示向量 .CDa,bc,abc,CA练 1. 下列说法正确的是（ ）A. 向量 与非零向量 共线， 与 共线，则 与 共线；abcacB. 任意两个共线向量不一定是共线向量；C. 任意两个共线向量相等； D. 若向量 与 共线，则 . bab2. 已知 ， ，若 ，求实数 32,(1)8amnb
6、xn0a/.x三、总结提升学习小结1. 空间向量的数乘运算法则及它们的运算律；2. 空间两个向量共线的充要条件及推论. 课后反思：33.1.2 空间向量的数乘运算（二）学习目标 1. 掌握空间向量的数乘运算律，能进行简单的代数式化简；2. 理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论； 3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题重点：空间向量的共面难点：空间向量的共面学习过程 一、课前准备复习 1：什么叫空间向量共线？空间两个向量 ， 若 是非零向量，则 与 平行的充要条件是 ,abab2：已知直线 AB，点 O 是直线 AB 外一点，若 ，试判断 A,B,P 三点是否共线？
7、123OPAB二、新课导学学习探究探究任务一：空间向量的共面问题：空间任意两个向量不共线的两个向量 有怎样的位置关系？空间三个向量又有怎样的位置关系？ ,ab1.新知：共面向量： 同一平面的向量. 2. 空间向量共面：定理：对空间两个不共线向量 ，向量 与向量 共面的充要条件是存在 ， 使,abp,得 .推论：空间一点 P 与不在同一直线上的三点 A,B,C 共面的充要条件是： 存在 ，使 对空间任意一点 O，有 试试：若空间任意一点 O 和不共线的三点 A,B,C 满足关系式 ,则点 P 与 A,B,C 共11236OPABOC面吗？反思：若空间任意一点 O 和不共线的三点 A,B,C 满足
8、关系式 ,且点 P 与 A,B,C 共面，xyz则 .xyz典型例题例 1 下列等式中，使 M,A,B,C 四点共面的个数是（ ） ;O11;532AOBC .0AB0A. 1 B. 2 C. 3 D. 4变式：已知 A,B,C 三点不共线， O 为平面 ABC 外一点，若向量7,53PCR则 P,A,B,C 四点共面的条件是 例 2 P88 例一变式 1：已知空间四边形 ABCD 的四个顶点 A,B,C,D 不共面， E,F,G,H 分别是AB,BC,CD,AD 的中点，求证： E,F,G,H 四点共面.2. 已知 ， ，若 ，求实数 32,(1)8amnbxn0a/b.x三、总结提升学习小
9、结1. 空间向量的数乘运算法则及它们的运算律；2. 空间两个向量共线的充要条件及推论. ABCDFEGH4课后反思3.1.3空间向量的数量积学习目标 1. 掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；2. 掌握两个向量的数量积的计算方法，并能利用两个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题重点：空间向量的数量积定义和性质难点：空间向量的数量积性质与运算学习过程 一、课前准备复习 1：什么是平面向量 与 的数量积？ ab2：在边长为 1 的正三角形 ABC 中，求 ABC.二、新课导学 学习探究探究任务一：空间向量的数量积定义和性质 问题：在几何中，夹角与长度是两个最基本的几何量，能否用向量的知识解决
10、空间两条直线的夹角和空间线段的长度问题？ 新知：1) 两个向量的夹角的定义：已知两非零向量 ，在空间 一点 ，作 ，则,abO,AaBb叫做向量 与 的夹角，记作 .AOBab试试： 范围: =0 时, ; = 时, ,ab与 ,ab与 成立吗？ ，则称 与 互相垂直，记作 .,b2) 向量的数量积：已知向量 ，则 叫做 的数量积，记作 ，即 .,a,ab规定:零向量与任意向量的数量积等于零.反思： 两个向量的数量积是数量还是向量？ 4) 空间向量数量积运算律： （选 0 还是 ） （1） 0a ()()()abab 你能说出 的几何意义吗？ （2） （交换律） b3) 空间向量数量积的性质：
11、 （3） （分配律）cc（1）设单位向量 ，则 （2） （3） .e|cos,aaeab5） 吗？ 若 ，则 吗？ 若 ，则 吗？ )()ac（ bc 0ab0ab或典型例题例 1 用向量方法证明：在平面上的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.例 2 如图，在空间四边形 中， ， ， ， ，ABCD23BC23DC， ，求 与 的夹角的余弦值 奎 屯王 新 敞新 疆30ABD60变式：如图，在正三棱柱 ABC-A B C 中，若 AB= BB ,则 AB 与 C B 所成的角为（ ）1 11A. 60 B. 90 C. 105 D. 75 三、总结提升学习小结
12、1向量的数量积的定义和几何意义.2. 向量的数量积的性质和运算律的运用.课后反思：知识拓展向量给出了一种解决立体几何中证明垂直问题，求两条直线的夹角和线段长度的新方法. DABC53.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示学习目标 1. 掌握空间向量的正交分解及空间向量基本定理和坐标表示；2. 掌握空间向量的坐标运算的规律；重点：空间向量基本定理、向量的直角坐标运算难点：空间向量的正交分解、空间向量的坐标表示学习过程 一、课前准备复习 1：平面向量基本定理：复习 2：平面向量的坐标表示：二、新课导学 学习探究探究任务一：空间向量的正交分解问题：对空间的任意向量 ，能否用空间的几个向量唯一表示？
13、如果能，那需要几个向量？这几个向量有a何位置关系？新知：（1）空间向量的正交分解：空间的任意向量 ，均可分解为不共面的三个向量 、a 1a、 ，使 . 如果 两两 ，这种分解就是空间向量的正交分解.2a3123123,(2)空间向量基本定理：如果三个向量 ，对空间任一向量 ，存在有序实数组 ，使得,abc p,xyz. 把 的一个基底， 都叫做基向量.pxybzc反思：空间任意一个向量的基底有 个.单位正交分解：如果空间一个基底的三个基向量互相 ，长度都为 ，则这个基底叫做单位正交基底，通常用i,j,k表示.空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系 O-xyz 和向量 a，且设 i、 j、
14、k 为 x 轴、 y 轴、 z 轴正方向的单位向量，则存在有序实数组 ，使得 ，则称有序实数组 为向量 a 的,xyzaxiyjzk,坐标，记着 .p设 A ， B ，则 .1(,)xyz2(,)xyzAB向量的直角坐标运算：设 a ， b ，则23,13, a b ； a b ；12(,)a123(,)ab a ； ab .3)(R试试：1. 设 ，则向量 的坐标为 .2ijka2. 若 A ， B ，则 .(1,0)(3,1)AB3. 已知 a ， b ，求 a b， a b，8 a， ab5(,4)练 1. 已知 ，求：2,03,2c ； .bc68练 2. 正方体 的棱长为 2，以 A
15、 为坐标原点，以 为 x 轴、 y 轴、 z 轴正方向ABCD AB,D建立空间直角坐标系，则点 ， 的坐标分别是 ， ， .1,AC三、总结提升 学习小结1. 空间向量的正交分解及空间向量基本定理；2. 空间向量坐标表示及其运算课后反思：知识拓展建立空间直角坐标系前，一定要验证三条轴的垂直关系，若图中没有建系的环境，则根据已知条件，通过作辅助线来创造建系的图形. 63.1.5 空间向量运算的坐标表示学习目标 1. 掌握空间向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式；2. 会用这些公式解决有关问题.重点：空间向量坐标表示夹角和距离公式难点：空间向量坐标表示夹角和距离公式学习过程 一
16、、课前准备复习 1：设在平面直角坐标系中， A ， B ，则线段 AB .(1,3)(,2)复习 2：已知 ，求：aB. 3ab； 6A. ； ab.3,25ab二、新课导学 学习探究探究任务一：空间向量坐标表示夹角和距离公式问题：在空间直角坐标系中，如何用坐标求线段的长度和两个向量之间的夹角？新知：1. 向量的模：设 a ，则a 123(,)2. 两个向量的夹角公式：设 a ， b ，由向量数量积定义：123(,)123(,)ab| a|b|cos a,b，又由向量数量积坐标运算公式：ab ，由此可以得出：cosa,b 试试： 当 cos a、 b1 时， a 与 b 所成角是 ； 当 co
17、s a、 b1 时， a 与 b 所成角是 ； 当 cos a、 b0 时， a 与 b 所成角是 ，即 a 与 b 的位置关系是 ，用符合表示为 .反思：设 a ， b ，则123(,)123(,) a/b. a 与 b 所成角是 a 与 b 的坐标关系为 ； a b a 与 b 的坐标关系为 ；3. 两点间的距离公式：在空间直角坐标系中，已知点 ， ，则线段 AB 的长度为：1(,)Axyz2(,)Bxyz.2221()()ABxy4. 线段中点的坐标公式：在空间直角坐标系中，已知点 ， ，则线段 AB 的中点坐标为: .1(,)xyz2(,)xyz典型例题例 1. 如图,在正方体 中，点
18、 分别是 的一个四等分点，1ABCD1,EF11,ABCD求 与 所成的角的余弦值1BEF变式：如上图,在正方体 中， ，求 与 所成11131EF角的余弦值例 2. 如图，正方体 中，点 E,F 分别是 的中点，求证： .1ABC1,B1DA变式：如图，正方体 中，点 M 是 AB 的中点，求 与 CM 所成角的余弦值.1D1D三、总结提升学习小结1. 空间向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式；2. 解决立体几何中有关向量问题的关键是如何建立合适的空间直角坐标系，写出向量的坐标，然后再代7入公式进行计算.课后反思：3.2 立体几何中的向量方法（1）设计人：韩爱芳学习目标 1
19、. 掌握直线的方向向量及平面的法向量的概念;2. 掌握利用直线的方向向量及平面的法向量解决平行、垂直、夹角等立体几何问题重点：向量表示空间的点、直线、平面、平面的法向量难点：直线的方向向量、平面的法向量学习过程 一、课前准备复习 1： 可以确定一条直线；确定一个平面的方法有哪些？ 复习 2：如何判定空间 A,B,C 三点在一条直线上？ 复习 3：设 a ， b ， ab 123(,)123(,)二、新课导学学习探究探究任务一： 向量表示空间的点、直线、平面问题：怎样用向量来表示点、直线、平面在空间中的位置？新知： 点：在空间中，我们取一定点 作为基点，那么空间中任意一点 的位置就可以用向量 来
20、OPOP表示，我们把向量 称为点 的位置向量.OP 直线： 直线的方向向量：和这条直线平行或共线的非零向量. 对于直线 上的任一点 ,存在实数 ，使得 ，此方程称为直线的向量参数方程.lPtAPtB 平面： 空间中平面 的位置可以由 内两个不共线向量确定.对于平面 上的任一点 , 是平面ab内两个不共线向量，则存在有序实数对 ,使得 . ()xyxayb 空间中平面 的位置还可以用垂直于平面的直线的方向向量表示空间中平面的位置. 平面的法向量：如果表示向量 的有向线段所在直线垂直于平面 ，则称这个向量 垂直于平面 ,记n n作 ，那 么向量 叫做平面 的法向量.nn试试： 1.如果 都是平面
21、的法向量，则 的关系 .,ab,ab2.向量 是平面 的法向量，向量 是与平面 平行或在平面内，则 与 的关系是 . na 向量表示平行、垂直关系：设直线 的方向向量分别为 ，平面 的法向量分别为 ，则,lm,ab,uv lmku0uv.k典型例题例 1 已知两点 ,求直线 AB 与坐标平面 的交点.1,231ABYOZ变式：已知三点 ,点 在 上运动（ O 为坐标原点）,求当 取得最小值,2PQPQAB时,点 的坐标.Q例 2 在空间直角坐标系中,已知 ,试求平面 ABC 的一个法向量. 3,0,402ABC练 1. 设 分别是直线 的方向向量，判断直线 的位置关系：,ab12,l 12,l
22、 ； .1,3ab练 2. 设 分别是平面 的法向量，判断平面 的位置关系：,uv, ； .242,54uv三、总结提升 学习小结1. 空间点，直线和平面的向量表示方法 2. 平面的法向量求法和性质.8知识拓展：求平面的法向量步骤：设平面的法向量为 ；找出(求出) 平面内的两个不共线的向量的坐标；,nxyz根据法向量的定义建立关于 的方程组；解方程组,取其中的一个解,即得法向量.3.2 立体几何中的向量方法（2）学习目标 1. 掌握利用向量运算解几何题的方法，并能解简单的立体几何问题；2. 掌握向量运算在几何中求两点间距离和求空间图形中的角度的计算方法.重点：用向量求空间线段的长度、用向量求空
23、间图形中的角度难点：用向量求空间线段的长度、用向量求空间图形中的角度学习过程 一、课前准备复习 1：已知 ， ，且 ，求 .1ab,2bmab复习 2：什么叫二面角？二面角的大小如何度量？二面角的范围是什么？二、新课导学 学习探究探究任务一：用向量求空间线段的长度 问题：如何用向量方法求空间线段的长度？新知：用空间向量表示空间线段，然后利用公式 求出线段长度.2a试试：在长方体 中，已知 ,求 的长.ABCD1,1ABCAC典型例题例 1 如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点 A 为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是 60，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么
24、关系？ 变式：如果一个平行六面体的各条棱长都相等，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于 , 那么由这个平行六面体的对角线的长可以确定棱长吗?探究任务二：用向量求空间图形中的角度例 2 如图，甲站在水库底面上的点 A 处，乙站在水坝斜面上的点 B 处.从 A， B 到直线 （库底与水坝的交线）的距离 分别为 ， 的长为 ， 的长为 .l ,CBD,abCcd求库底与水坝所成二面角的余弦值.变式：如图， 的二面角的棱上有 两点，直线 分别在这个二面角的两60,A,ABD个半平面内，且都垂直于 已知 ,求 的长.,B46,8变式 2. 如图， M、 N 分别是棱长为 1 的正方体 的棱 、 的C
25、BC中点求异面直线 MN 与 所成的角.CD三、总结提升 学习小结1. 求出空间线段的长度：用空间向量表示空间线段，然后利用公式 ；2a2. 空间的二面角或异面直线的夹角，都可以转化为利用公式 求解.cos,b知识拓展解空间图形问题时,可以分为三步完成: （1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题9转化为向量问题(还常建立坐标系来辅助)；（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义.3.2 立体几何中的向量方法（3）学习目标 1. 进一步熟练求平面法向量的方法；
26、2. 掌握向量运算在几何中如何求点到平面的距离和两异面直线间距离的计算方法；3. 熟练掌握向量方法在实际问题中的作用.重点：点到平面的距离的求法、两条异面直线间的距离的求法难点：点到平面的距离的求法、两条异面直线间的距离的求法学习过程 一、课前准备复习 1：已知 ，试求平面 的一个法向量. ,20,1AB,2CABC复习 2：什么是点到平面的距离？什么是两个平面间距离？二、新课导学学习探究探究任务一：点到平面的距离的求法问题：如图 A 空间一点 到平面 的距离为 ,已知平面 的一个法向量为 ,且 与 不共线,能否,PdnAP用 与 表示 ?Pnd分析:过 作 于 O,连结 OA,则 d=| |
27、=O|cos.PA , . cosAPO=|cos |O,n,n D. =| |cos |A= =|cos,|Pn |PA新知：用向量求点到平面的距离的方法：设 A 空间一点 到平面 的距离为 ,平面 的一个法向量为 ，则,dnD. = |Pn典型例题例 1 已知正方形 ABCD 的边长为 4， E、 F 分别是 AB、 AD 的中点， GC平面 ABCD，且 GC2，求点 B 到平面EFG 的距离.小结：求点到平面的距离的步骤： 建立空间直角坐标系，写出平面内两个不共线向量的坐标； 求平面的一个法向量的坐标； 找出平面外的点与平面内任意一点连接向量的坐标； 代入公式求出距离.探究任务二：两条
28、异面直线间的距离的求法例 2 如图，两条异面直线 所成的角为 ，在直线 上分别取点 和,ab,ab,AE,使得 ,且 .已知 ，求公垂线 的长.AFaA,EmAFnl变式：已知直三棱柱 的侧棱 ,底面 中, 1BC 14BC，且 , 是 的中点,求异面直线 与 的距离2CB90 E1小结：用向量方法求两条异面直线间的距离，可以先找到它们的公垂线方向的一个向量 ，再在两条直线n上分别取一点 ，则两条异面直线间距离 求解.,AnAdnO10三、总结提升学习小结1.空间点到直线的距离公式 2.两条异面直线间的距离公式 课后反思：1、正方体 的棱长为 2， 分别为 、 的中点。1DCBANM,1AB求
29、： 与 所成角的余弦值.CMN12、已知正三棱柱 的棱长为 2，底面边长为 1， 是 的中点.1CBAMBC（1）在直线 上求一点 ，使 ；1N1ABM（2）当 时，求点 到平面 的距离.MN1（3）求出 与侧面 所成的角1ABC3、如图，在正四棱柱 中，已知 ，1DCBA2AB,51A、 分别为 、 上的点，且EFD1 .FE（）求证： 平面 ；E（）求点 到平面 的距离.AF图9ABCDFE1A1CABCMN11114、如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为矩形，侧棱 PA底面ABCD， AB= ， BC=1， PA=2， E 为 PD 的中点3（）求直线 AC 与 PB 所成
30、角的余弦值；（）在侧面 PAB 内找一点 N，使 NE面 PAC，并求出 N 点到 AB 和 AP 的距离5、如图 5 所示，AF、DE 分别是 的直径。AD 与两圆所在的1O、平面均垂直，AD=8。BC 是 的直径，AB=AC=6，OEAD。（1）求二面角 B-AD-F 的大小；（2）求直线 BD 与 EF 所成角的余弦值。6、如图，正方形 ABCD、ABEF 的边长都是 1，而且平面 ABCD、ABEF 互相垂直。点 M 在 AC上移动，点 N 在 BF 上移动，若 CM=BN=a).20(（1）求 MN 的长；（2）当 为何值时，MN 的长最小；a（3）当 MN 长最小时，求面 MNA
31、与面 MNB 所成的二面角 的余弦值。PA BCDEDEAFBCOO1127、如图，四棱锥 SABCD 的底面是边长为 1 的正方形，SD 垂直于底面 ABCD，SB= 3（1）求证 BC SC；（2）求面 ASD 与面 BSC 所成二面角的大小；（3）设棱 SA 的中点为 M，求异面直线 DM 与 SB 所成角的大小8、如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1，中，AD=AA 1=1，AB=2，点 E 在棱 AB 上移动.（1）证明：D 1EA 1D；（2）当 E 为 AB 的中点时，求点 E 到面 ACD1的距离；（3）AE 等于何值时，二面角 D1ECD 的大小为 .49、已知四棱锥 P-ABCD 的底面为直角梯形，ABDC ， 底面 ABCD，PADB,90且 PA=AD=DC= AB=1，M 是 PB 的中点。21（）证明：面 PAD面 PCD；（）求 AC 与 PB 所成的角；（）求面 AMC 与面 BMC 所成二面角的大小.
