1、第三章测试(时间：120 分钟，满分：150 分)一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的)1向量 a(2x,1,3)，b(1，2y,9)，若 a 与 b 共线，则( )Ax 1， y1 Bx ，y12 12C x ，y Dx ，y16 32 16 23解析 由 ab 知，a b，2x ，12y, 39， ，x ，y .13 16 32答案 C2已知 a(3,2,5) ，b(1 ，x，1)，且 ab2，则 x 的值是( )A6 B5C 4 D3解析 ab32x52，x5.答案 B3设 l1 的方向向量为 a(1,2，
2、2)，l 2 的方向向量为b( 2,3， m)，若 l1 l2，则实数 m 的值为( )A3 B2C 1 D.12解析 l 1l2，ab，ab0，262m 0，m2.答案 B4若 a，b 均为非零向量，则 ab|a| b|是 a 与 b 共线的( )A必要不充分条件B充分不必要条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析 ab|a|b|cosa，b，而 ab| a|b|.cosa，b1，a，b0.a 与 b 共线反之，若 a 与 b 共线，也可能 ab|a| b|，因此应选 B.答案 B5在ABC 中， c， b.若点 D 满足 2 ，则AB AC BD DC ( )AD A. b c B.
3、c b23 13 53 23C. b c D. b c23 13 13 23解析 如图， AD AB BD AB 23BC ( )AB 23AC AB 13AB 23AC c b.13 23答案 A6已知 a，b，c 是空间的一个基底，设 pab，qab，则下列向量中可以与 p，q 一起构成空间的另一个基底的是( )Aa BbC c D以上都不对解析 a，b， c 不共面，ab， ab， c 不共面，p，q，c 可构成空间的一个基底答案 C7已知ABC 的三个顶点 A(3,3,2)，B(4，3,7)，C(0,5,1)，则BC 边上的中线长为( )A2 B3C. D.647 657解析 BC 的
4、中点 D 的坐标为(2,1,4)， (1， 2,2)AD | | 3.AD 1 4 4答案 B8与向量 a(2,3,6) 共线的单位向量是( )A( ， )2737 67B ( ， ， )27 37 67C ( ， ， )和( ， )27 37 67 2737 67D( ， )和( ， ， )2737 67 27 37 67解析 |a| 7， 与 a 共线的单位向量是 (2,3,6)，22 32 6217故应选 D.答案 D9已知向量 a(2,4，x) ，b(2，y,2)，若|a|6 且 ab，则xy 为 ( )A3 或 1 B3 或1C3 D1解析 由|a|6，ab，得Error!解得Err
5、or!或Error!xy1，或3.答案 A10已知 a(x,2,0)，b(3,2x，x 2)，且 a 与 b 的夹角为钝角，则实数 x 的取值范围是( )Ax 4 Bx4C 0x4 D4x0.解析 a，b为钝角，ab|a| b|cosa，b0，即 3x2(2 x)0，x4.答案 B11已知空间四个点 A(1,1,1)，B (4,0,2)，C (3，1，0)，D( 1,0,4)，则直线 AD 与平面 ABC 所成的角为( )A30 B45C 60 D90解析 设平面 ABC 的一个法向量 为 n(x ，y，z)， (5，1,1)， (4，2，1)，AB AC 由 n 0 及 n 0，得AB AC
6、 Error!令 z1，得 x ，y ，n ( ， ，1)12 32 12 32又 ( 2，1,3) ，设 AD 与平面 ABC 所成的角 为 ，则AD sin ，|AD n|AD |n| 1 32 314142 1230.答案 A12已知二面角 l 的大小为 50，P 为空间中任意一点，则过点 P 且与平面 和平面 所成的角都是 25的直线的条数为( )A2 B3C 4 D5解析 过点 P 分别作平面 ， 的垂线 l1 和 l2，则 l1 与 l2 所成的角为 130或 50，问题转 化为过点 P 与直线 l1，l2 成 65角的直线有几条，与 l1，l2 共面的有一条，不共面的有 2 条因
7、此，共有 3 条答案 B二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分把答案填在题中横线上)13已知i，j，k为单位正交基底，且ai j3k，b2i3j2k，则向量 ab 与向量 a2b 的坐标分别是_；_.解析 依题意知，a(1,1,3)，b(2，3，2)，则ab(1，2,1)，a2b(1,1,3) 2(2， 3，2)(5,7,7)答案 (1，2,1) (5,7,7)14在ABC 中，已知 (2,4,0)， (1,3,0) ，则AB BC ABC _.解析 cos ， ，AB BC AB BC |AB |BC | 10102 22 ， ，ABC .AB BC 4 4 34答案
8、 3415正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，面 ABD1 与面 B1BD1 所夹角的大小为_解析 建立空间直角坐标系 Dxyz，如 图设正方体的棱长为 1，则 A(1,0,0)，B(1,1,0)，B1(1,1,1)，D1(0,0,1) (1,0， 1)， (1,1，1)， (1,1,0)D1A D1B D1B1 设平面 ABD1 的法向量 为 m(x 1，y1，z1)，平面 B1BD1 的法向量为 n( x2，y2，z2)，则由 m 0，m 0，可得 m(1,0,1)，由D1A D1B n 0， nD1B10，得 n(1 ， 1,0)，cosm，n .所D1B mn|m|n| 12求二平
9、面的大小为 60.答案 6016在下列命题中：若 a，b 共线，则 a，b 所在的直线平行；若 a，b 所在的直线是异面直线，则 a，b 一定不共面；若a，b，c 三向量两两共面，则 a，b，c 三向量一定也共面； 已知三向量 a，b，c ，则空间任意一个向量 p 总可以唯一表示为px aybzc ，其中不正确的命题为_解析 a，b 共线，包括 a 与 b 重合，所以错空间 任意两个向量均共面，所以 错以空 间向量的一组基底a，b，c为例，知它们两两共面，但它们三个不共面，所以错当与 a，b，c 共面时，不成立，所以错答案 三、解答题(本大题共 6 小题，满分 70 分解答应写出必要的文字说明
10、、证明过程或演算步骤)17(10 分) 如图，空间四边形 OABC 中，E，F 分别为 OA，BC的中点，设 a， b， c ，试用 a，b，c 表示 .OA OB OC EF 解 ( ) a b c.EF EO OF 12OA 12OB OC 12 12 1218(12 分) 设a12i jk，a 2i3j2k，a 32ij3k，a 43i2j 5k，试问是否存在实数 a，b，c 使 a4aa 1ba 2 ca3 成立？如果存在，求出 a，b，c 的值；如果不存在，请说明理由解 假设 a4aa 1ba 2ca 3 成立由已知 a1(2，1,1)，a 2(1,3，2)，a3( 2,1，3)，a
11、 4(3,2,5)，可得(2a b2c， a3bc ，a2b3c )(3,2,5)Error!解得：a2，b1， c3.故有 a42a 1a 23a 3.综上知，满足题意的实数存在，且 a2，b1， c3.19(12 分)四棱柱 ABCDAB C D中，AB5，AD3，AA 7，BAD60，BAA DAA45，求 AC的长解 ，AC AB BC CC AB AD AA ( )2( )2AC AB AD AA 2 2 22( )AB AD AA AB AD AB AA AD AA 259492(53cos6057cos45 37cos45)9856 .2| | ，AC 98 562即 AC的长为
12、 .98 56220(12 分) 如图所示，PD 垂直于正方形 ABCD 所在的平面，AB2，PC 与平面 ABCD 所成角是 45，F 是 AD 的中点，M 是 PC的中点求证：DM平面 PFB.证明 以 D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，由 PC 与平面 ABCD 所成的角为 45，即PCD45，得 PD2，则 P(0,0,2)，C(0,2,0)，B(2,2,0)，F(1,0,0)，D(0,0,0)，M(0,1,1)， (1,2,0)， ( 1,0,2)， (0,1,1)FB FP DM 设平面 PFB 的法向量为 n(x，y，z)，则Error!即Error!令 y1，则 x2，
13、z1.故平面 PFB 的一个法向量为 n(2,1，1) n0， n.DM DM 又 DM平面 PFB，则 DM平面 PFB.21(12 分) 如图，正四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中，AA12AB4，点 E 在 C1C 上，且 C1E3 EC.(1)证明 A1C平面 BED；(2)求二面角 A1DEB 的余弦值解 以 D 为坐标原点，射线 DA 为 x 轴的正半 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz.依题设 B(2,2,0)，C(0,2,0)，E(0,2,1)，A1(2,0,4) (0,2,1)， (2,2,0)，DE DB (2,2，4)， (2,0,4)A1C DA1 (1) 0
14、， 0，A1C DB A1C DE A1CBD，A1CDE.又 DBDED，A1C平面 DBE.(2)设向量 n(x，y ，z)是平面 DA1E 的法向量， 则 n 、n .DE DA1 2yz 0,2x 4z0.令 y1，则 z2，x 4，n(4,1， 2)cosn， .A1C nA1C |n|A1C | 1442n， 等于二面角 A1DEB 的平面角，A1C 二面角 A1DE B 的余弦值为 .144222(12 分)正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，E ， F 分别是 BB1，CD的中点(1)证明：平面 AED平面 A1FD1；(2)在 AE 上求一点 M，使得 A1M平面 DAE
15、.解 (1) 证明：建立如 图所示的空间直角坐标系 Dxyz，不妨设正方体的棱长为 2，则 A(2,0,0)，E(2,2,1)，F(0,1,0)，A1(2,0,2)，D1(0,0,2)设平面 AED 的法向量 为 n1(x 1，y1，z1)，则Error!Error!令 y11，得 n1(0,1，2)同理可得平面 A1FD1 的法向量 n2(0,2,1)n1n20，平面 AED平面 A1FD1.(2)由于点 M 在 AE 上，可设 (0,2,1)(0,2，) ，AM AE 可得 M(2,2，)，于是 (0,2，2)A1M 要使 A1M平面 DAE，需 A1MAE， (0,2，2)(0,2,1)
16、 5 20，得 .A1M AE 25故当 AM AE 时，即点 M 坐标为(2， )时，A 1M平面 DAE.25 45 251（1）详见解析；（2） 【解析】试题分析：（1）根据条件中给出的平面 平面 ， ，因此可以考虑以点 为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量来求证，从而只需求出平面 的一个法向量 ，说明 ，即有 ，从而有 平面 ，进而有；（2）由（1）建立的空间直角坐标系可知，问题等价于求得平面的一个法向量 ，满足 ，通过空间向量的计算，易知可取， ，从而解得 试题解析：（1）如图以点 为原点建立空间直角坐标系 ，不妨设 ， ，则 ， ， ， ，由 ，得， ， ， 是平面的一个法向量，
17、且 ，故 ，又 平面 ，即知平面 ，又 ， ， ， 四点共面， ；（2）， ，设平面 的法向量 ，则 ， ，可取 ，又 是平面 的一个法向量，由 ，以及 可得 ，即 ，解得 （负值舍去），故 考点：立体几何中的空间向量方法2（1）存在，且 ；（2）当 x3 时， 有最大值，最大值为 3【解析】试题分析：（1）当 时，由题意可知 ，则考虑取点 于 处，过点 作 ，交 于点 ，由平行线分段成比例定理易知 ，所以，又因为 ，所以 且 ，（2）根据题意易知 为三棱锥 的高，则底面 的长为 ，高为 ，所以 ，从而可求出当 时， 有最大值，最大值为 3.试题解析：（1）存在 使得满足条件 CP平面 ABE
18、F，且此时 2 分下面证明： ，过点 作 MPFD，与 AF 交于点 ，则有 ，又 FD ，故 MP3，又因为 EC3，MPFDEC，故有 MP EC，故四边形 MPCE 为平行四边形，所以PCME，又 CP 平面 ABEF，ME 平面 ABEF，故有 CP平面 ABEF 成立 6 分（2）因为平面 ABEF 平面 EFDC，平面 ABEF 平面 EFDCEF，又 AF EF，所以 AF平面EFDC由已知 BEx，所以 AFx（0 x 4），FD6 x故 所以，当 x3 时， 有最大值，最大值为 3. 考点：1.平面图形与立体图形的转化；2.线面平行的判定；3.三棱锥的体积.3（1）见解析；（
19、2）见解析；（3） .【解析】试题分析：（1）取 CE 中点 P，连接 FP、BP，根据中位线定理可知 FP|DE，且且 FP=，而 AB|DE，且 AB= 则 ABPF 为平行四边形，则 AF|BP，AF 平面 BCE，BP平面 BCE，满足线面平行的判定定理，从而证得结论；（2）根据 AB 平面 ACD，DE|AB，则 DE 平面 ACD，又 AF平面 ACD，根据线面垂直的性质可知 ，满足线面垂直的判定定理，证得 AF平面 CDE，又 BP|AF，则 BP 平面 CDE，BP 平面 BCE，根据面面垂直的判定定理可证得结论；（3）由（2），以 F 为坐标原点，FA，FD，FP 所在的直线
20、分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系 Fxyz设 AC=2，根据线面垂直求出平面 BCE 的法向量 n，而 m=（0，0，1）为平面 ACD 的法向量，设平面 BCE 与平面 ACD 所成锐二面角为 ，根据 可求出所求试题解析：（1）解:取 CE 中点 P,连结 FP、BP, F 为 CD 的中点,FP|DE,且 FP= 又 AB|DE,且 AB= AB|FP,且 AB=FP, ABPF 为平行四边形 ,AF|BP 又平面 BCE,BP 平面 BCE, AF|平面 BCE （2）ACD 为正三角形, . AB 平面 ACD,DE|AB, DE 平面 ACD,又 AF 平面 ACD, DE
21、AF.又AF CD,CDDE=D, AF 平面 CDE 又 BP|AF,BP 平面 CDE.又BP 平面 BCE, 平面 BCE平面 CDE （3）法一、由（2）,以 F 为坐标原点, FA,FD,FP 所在的直线分别为x,y,z 轴（如图）, 建立空间直角坐标系 Fxyz.设 AC=2, 则 C（0,1,0）, 设 为平面 BCE 的法向量， ，令 n=1,则 显然, 为平面 ACD 的法向量. 设面 BCE 与面 ACD 所成锐二面角为 则 . 即平面 BCE 与平面 ACD 所成锐二面角为 法二、延长 EB、DA,设 EB、DA 交于一点 O,连结 CO. 则面 面 . 由 AB 是 的
22、中位线,则 . 在 中 , . ,又 . 面 而 CE 面 ECD,在 中，即平面 BCE 与平面 ACD 所成锐二 面角为 . 考点：与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定4（1）详见解析；（2）【解析】试题分析：（1） 取 的中点 ，连接 ，要证 ,只要证 平面由直三棱柱的性质可知 ,只需证 ，因此只要证明 平面事实上，由已知平面 侧面 ， 平面 ，且所以 平面 成立，于是结论可证.（2） 思路一：连接 ，可证 即为直线 与 所成的角，则过点 A 作 于点 ，连 ，可证 即为二面角 的一个平面角.在直角 中 ，即二面角 的大小为思路二：以点 为原点，以 所
23、在直线分别为 轴建立空间直角坐标系设平面 的一个法向量 ，平面 的一个法向量为 ，利用向量的数量积求出这两个法向量的坐标，进而利用法向量的夹角求出锐二面角 的大小.试题解析：.解（1）证明：如图，取 的中点 ，连接 ，因 ，则由平面 侧面 ，且平面 侧面 ，得 ，又 平面 ， 所以 .因为三棱柱 是直三棱柱，则 ，所以 .又 ，从而 侧面 ，又 侧面 ，故 .解法一：连接 ，由（1）可知 ，则 是 在 内的射影 即为直线 与 所成的角，则在等腰直角 中， ，且点 是 中点， ，且， 过点 A 作 于点 ，连 ，由（1）知 ，则 ，且 即为二面角 的一个平面角且直角 中： ，又 ， ，且二面角 为锐二面角 ，即二面角 的大小为解法二（向量法）：由（1）知 且 ，所以以点 为原点，以所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系 ，如图所示，且设，则 ， ， ， ， ， ， 设平面 的一个法向量 ，由 ， 得：令 ，得 ，则 设直线 与 所成的角为 ，则得 ，解得 ，即 又设平面 的一个法向量为 ，同理可得 ，设锐二面角 的大小为 ，则，且 ，得 锐二面角 的大小为 . 考点：1、空间直线、平面的位置关系；2、空间向量在立体几何问题中的应用.
