1、绥化第九中学高二数学选修 2-1导学案 编辑：卢军 13.1.1 空间向量及其运算学习目标 1. 理解空间向量的概念，掌握其表示方法；2. 会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题学习过程 一、课前准备（预习教材 P84 P86，找出疑惑之处）复习 1：平面向量基本概念：具有 和 的量叫向量， 叫向量的模（或长度） ； 叫零向量，记着 ； 叫单位向量. 叫相反向量， 的相反向量记着 . a叫相等向量. 向量的表示方法有 ， ，和 共三种方法. 复习 2：平面向量有加减以及数乘向量运算：1. 向量的加法和减法的运算法则
2、有 法则 和 法则. 2. 实数与向量的积：实数 与向量 a 的积是一个 量，记作 ，其长度和方向规定如下：(1)|a| .(2)当 0 时，a 与 A. ；当 0 时，a 与 A. ；当 0 时，a .3. 向量加法和数乘向量，以下运算律成立吗？加法交换律：abba加法结合律：(ab)c a（ bc ）数乘分配律：(ab)ab二、新课导学 学习探究探究任务一：空间向量的相关概念问题： 什么叫空间向量？空间向量中有零向量，单位向量，相等向量吗？空间向量如何表示？新知：空间向量的加法和减法运算：空间任意两个向量都可以平移到同一平面内，变为两个平面向量的加法和减法运算，例如右图中， ，OBAB试试
3、：1. 分别用平行四边形法则和三角形法则求.,ab2. 点 C 在线段 AB 上，且 ,则52ACB, .AB反思：空间向量加法与数乘向量有如下运算律吗？加法交换律：A. + B. = B. + a；加法结合律：(A. + b) + C. =A. + (B. + c)；数乘分配律：( A. + b) =A. +b 典型例题例 1 已知平行六面体 （如图） ，ABCD化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量： AB ； ； 12 ()DA 变式：在上图中，用 表示 和,ABD,ACB.DB小结：空间向量加法的运算要注意：首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，求空间
4、若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量2012 年理科选修 2-1高二 第三章 空间向量与立体几何 月 日 班级： 姓名： 2例 2 化简下列各式： ; ABC ;ABMO .DDC变式：化简下列各式： ;OACB ;D .NQPM小结：化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法则，遇到减法既可转化成加法，也可按减法法则进行运算，加法和减法可以转化. 动手试试练 1. 已知平行六面体 , M 为 A CABCD1与 B D 的交点 ， 化简下列表达式：11 ;A ;112 12A .ABC三、总结提升 学习小结1. 空间向量基本概念；2. 空间向量加法、减法、数乘向量及它们
5、的运算律 知识拓展平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移，它们的共同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相同的长度” ，空间的平移包含平面的平移. 学习评价 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 当堂检测（时量：5 分钟 满分：10 分）计分：1. 下列说法中正确的是（ ）A. 若 = ，则 ， 的长度相同，方abab向相反或相同;B. 若 与 是相反向量，则 = ;C. 空间向量的减法满足结合律;D. 在四边形 ABCD 中，一定有 .ABDC2. 长方体 中，化简C= ABD3. 已知向量 ，
6、是两个非零向量， 是与 ，ab0,ab同方向的单位向量，那么下列各式正确的是（ b）A. B. 或000C. D. = 1aab4. 在四边形 ABCD 中，若 ,则四边形ACBD是（ ）A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 平行四边形5. 下列说法正确的是（ ）A. 零向量没有方向 B. 空间向量不可以平行移动C. 如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等D. 同向且等长的有向线段表示同一向量课后作业 1. 在三棱柱 ABC-ABC中，M,N 分别为 BC,BC的中点，化简下列式子： + + ABAMCB2. 如图，平行六面体 中，点 为1ABCDM与的 的交点，AC， ， ，Bab1
7、c则下列向量中与 相等的是（ ）MA. 12B. abcC. 绥化第九中学高二数学选修 2-1导学案 编辑：卢军 3D. 12abc3.1.2 空间向量的数乘运算（一）学习目标 1. 掌握空间向量的数乘运算律，能进行简单的代数式化简；2. 理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题学习过程 一、课前准备（预习教材 P86 P87，找出疑惑之处）复习 1：化简： 5（ ）+4（ ） ；32ab3a .63abcabc复习 2：在平面上，什么叫做两个向量平行？在平面上有两个向量 ， 若 是非零向量，则,ab与 平行的充要条件是 ab二
8、、新课导学 学习探究探究任务一：空间向量的共线问题：空间任意两个向量有几种位置关系？如何判定它们的位置关系？新知：空间向量的共线：1. 如果表示空间向量的 所在的直线互相 或 ，则这些向量叫共线向量，也叫平行向量. 2. 空间向量共线：定理：对空间任意两个向量 （ ） ， 的,ab0/ab充要条件是存在唯一实数 ，使得 推论：如图，l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量的直线，对空间的任意一点 O，点P 在直线 l 上的充要条件是 试试：已知 5,28,ABabCab，求证: A,B,C 三点共线. 3CD反思：充分理解两个向量 共线向量的充要条件,ab中的 ，注意零向量与任何向量共线.0b
9、 典型例题例 1 已知直线 AB，点 O 是直线 AB 外一点，若，且 x+y1，试判断 A,B,P 三点是OPxAyB否共线？变式：已知 A,B,P 三点共线，点 O 是直线 AB 外一点，若 ，那么 t 12OPAtB例 2 已知平行六面体 ，点 M 是CDA棱 AA 的中点，点 G 在对角线 A C 上，且CG:GA =2:1,设 = ， ，试用向量 a,Bbc表示向量 .,abc,M变式 1：已知长方体 ，M 是对角ABCD线 AC 中点，化简下列表达式： ;A B 1122D2012 年理科选修 2-1高二 第三章 空间向量与立体几何 月 日 班级： 姓名： 4变式 2：如图，已知
10、不共线，从平面 外,ABCABC任一点 ，作出点 ,使得：OPQRS 2 3 R .SABC小结：空间向量的化简与平面向量的化简一样，加法注意向量的首尾相接，减法注意向量要共起点，并且要注意向量的方向. 动手试试练 1. 下列说法正确的是（ ）A. 向量 与非零向量 共线， 与 共线，则abc与 共线；cB. 任意两个共线向量不一定是共线向量；C. 任意两个共线向量相等；D. 若向量 与 共线，则 . abab2. 已知 ， ，若32,(1)8mnxn0a，求实数 /ab.x三、总结提升 学习小结1. 空间向量的数乘运算法则及它们的运算律；2. 空间两个向量共线的充要条件及推论. 知识拓展平面
11、向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移，它们的共同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相同的长度” ，空间的平移包含平面的平移. 学习评价 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 当堂检测（时量：5 分钟 满分：10 分）计分：1. 下列说法正确的是（ ）A. 与非零向量 共线, 与 共线，则 与 共线abcacB. 任意两个相等向量不一定共线C. 任意两个共线向量相等D. 若向量 与 共线，则 ab2. 正方体 中，点 E 是上底面ABCD的中心，若 , xyABz则 x ， y ， z . 3. 若点
12、 P 是线段 AB 的中点，点 O 在直线 AB 外，则 + .O4. 平行六面体 , O 为 A C 与ABC1B D 的交点,则 1 1()3D5. 已知平行六面体 ，M 是 AC与 BD 交点，若 ，则与,abc相等的向量是（ ）MA. ； B. ；12abc12C. ； D. . abc课后作业： 绥化第九中学高二数学选修 2-1导学案 编辑：卢军 53.1.2 空间向量的数乘运算（二）学习目标 1. 掌握空间向量的数乘运算律，能进行简单的代数式化简；2. 理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题学习过程 一、课前准备（
13、预习教材 P86 P87，找出疑惑之处）复习 1：什么叫空间向量共线？空间两个向量 ，,ab若 是非零向量，则 与 平行的充要条件是 bab复习 2：已知直线 AB，点 O 是直线 AB 外一点，若，试判断 A,B,P 三点是否共线？13OPAB二、新课导学 学习探究探究任务一：空间向量的共面问题：空间任意两个向量不共线的两个向量 有,ab怎样的位置关系？空间三个向量又有怎样的位置关系？ 新知：共面向量： 同一平面的向量. 2. 空间向量共面：定理：对空间两个不共线向量 ，向量 与向量,abp共面的充要条件是存在 ， ,ab使得 .推论：空间一点 P 与不在同一直线上的三点 A,B,C共面的充
14、要条件是： 存在 ，使 对空间任意一点 O，有 试试：若空间任意一点 O 和不共线的三点 A,B,C 满足关系式 ,则点 P 与 A,B,C11236PABC共面吗？反思：若空间任意一点 O 和不共线的三点 A,B,C 满足关系式 ,且点 P 与 PxAyBzCA,B,C 共面，则 . 典型例题例 1 下列等式中，使 M,A,B,C 四点共面的个数是（ ） ;O 1532O 0;AB .CA. 1 B. 2 C. 3 D. 4变式：已知 A,B,C 三点不共线，O 为平面 ABC 外一点，若向量 17,53PABCR则 P,A,B,C 四点共面的条件是 例 2 如图，已知平行四边形 ABCD,
15、过平面 AC 外一点 O 作射线 OA,OB,OC,OD,在四条射线上分别取点 E,F,G,H,并且使 ,EOFGHkABCD求证：E,F,G,H 四点共面.2012 年理科选修 2-1高二 第三章 空间向量与立体几何 月 日 班级： 姓名： 6变式：已知空间四边形 ABCD 的四个顶点 A,B,C,D不共面，E,F,G,H 分别是 AB,BC,CD,AD 的中点，求证：E,F,G,H 四点共面.小结：空间向量的化简与平面向量的化简一样，加法注意向量的首尾相接，减法注意向量要共起点，并且要注意向量的方向. 动手试试练 1. 已知 三点不共线，对平面外任一点，,ABC满足条件 ，试判断：点125
16、5OPO与 是否一定共面？,练 2. 已知 ， ，若32,(1)8amnbxn0a，求实数 /b.x三、总结提升 学习小结1. 空间向量的数乘运算法则及它们的运算律；2. 空间两个向量共线的充要条件及推论. 知识拓展平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移，它们的共同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相同的长度” ，空间的平移包含平面的平移. 学习评价 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 当堂检测（时量：5 分钟 满分：10 分）计分：1. 在平行六面体 ABCD A1B1C1D1 中，向量 、1
17、A、 是（ ）1DC1AA. 有相同起点的向量 B等长向量 C共面向量 D不共面向量.2. 正方体 中，点 E 是上底面的中心，若 ,B xAyz则 x ， y ， z . 3. 若点 P 是线段 AB 的中点，点 O 在直线 AB 外，则 + .OAB4. 平行六面体 , O 为 A C 与CD1B D 的交点,则 .1 1()3A5. 在下列命题中：若 a、b 共线，则 a、b 所在的直线平行；若 a、b 所在的直线是异面直线，则a、b 一定不共面；若 a、b、c 三向量两两共面，则 a、b、c 三向量一定也共面；已知三向量a、b、c，则空间任意一个向量 p 总可以唯一表示为 pxaybz
18、c 其中正确命题的个数为 （ ）.A0 B.1 C. 2 D. 3课后作业： 1. 若 ，34,(1)82amnpbxmnyp ，若 ，求实数 .0/y2.已知两个非零向量 不共线, 21e12,ABe. 求证： 共128,3ACeD CD面ABFEGH绥化第九中学高二数学选修 2-1导学案 编辑：卢军 73.1.3空间向量的数量积（1）学习目标 1. 掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；2. 掌握两个向量的数量积的计算方法，并能利用两个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题学习过程 一、课前准备（预习教材 P90 P92，找出疑惑之处）复习 1：什么是平面向量 与 的数量积？ ab复习
19、2：在边长为 1 的正三角形ABC 中，求.ABC二、新课导学 学习探究探究任务一：空间向量的数量积定义和性质 问题：在几何中，夹角与长度是两个最基本的几何量，能否用向量的知识解决空间两条直线的夹角和空间线段的长度问题？ 新知：1) 两个向量的夹角的定义：已知两非零向量 ，,ab在空间 一点 ，作 ，则O,AB叫做向量 与 的夹角，记作 .AOBab试试： 范围: ,=0 时, ; =时, ,abb与 ,ab与 成立吗？ ，则称 与 互相垂直，记作 .,2) 向量的数量积：已知向量 ，则 叫做 的数量积，,ab,ab记作 ，即 .规定:零向量与任意向量的数量积等于零 .反思： 两个向量的数量积
20、是数量还是向量？ （选 0 还是 ）0a 你能说出 的几何意义吗？b3) 空间向量数量积的性质： （1）设单位向量 ，则 e|cos,aae（2） a（3） .4) 空间向量数量积运算律：（1） ()()()bab（2） （交换律） a（3） （分配律cc反思： 吗？举例说明.)()ab（ 若 ，则 吗？举例说明.cb 若 ，则 吗？为什么？0ab0a或 典型例题例 1 用向量方法证明：在平面上的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.变式 1：用向量方法证明：已知： 是平面 内,mn的两条相交直线，直线 与平面 的交点为 ，且lB.,lmn求证： l例 2 如图
21、，在空间四边形 中， ，ABCD2， ， ， ，3BC23D302012 年理科选修 2-1高二 第三章 空间向量与立体几何 月 日 班级： 姓名： 8，求 与 的夹角的余弦值 奎 屯王 新 敞新 疆60ABCABCD变式：如图，在正三棱柱 ABC-A B C 中，若1AB= BB ,则 AB 与 C B 所成的角为（ ）211A. 60 B. 90 C. 105 D. 75 例 3 如图，在平行四边形 ABCD-A B C D 中，11, , , =4,ABD5A90A=60,求 的长.C 动手试试练 1. 已知向量 满足 ，,ab1， ，则 _.2b3a练 2. , 则2,aba已 知的夹
22、角大小为_.ab与三、总结提升 学习小结1向量的数量积的定义和几何意义.2. 向量的数量积的性质和运算律的运用. 知识拓展向量给出了一种解决立体几何中证明垂直问题，求两条直线的夹角和线段长度的新方法. 学习评价 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 当堂检测（时量：5 分钟 满分：10 分）计分：1. 下列命题中：若 ，则 ， 中至少一个为0abab0若 且 ，则c ()()c 23294正确有个数为（ ）A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个2. 已知 和 是两个单位向量，夹角为 ，则下e2 面向量中与 垂直的是（ ）1A.
23、 B. C. D. 122e12e3.已知 中， 所对的边为 ，ABC,C,abc且 , ,则 = 3ab30BA4. 已知 ， ，且 和 不共线，当 4b与 的夹角是锐角时， 的取值范围是 .5. 已知向量 满足 ， ， ，,a23ab则 _ab课后作业： 1. 已知空间四边形 中， ，ABCD，求证： .ACBD2. 已知线段 AB、 BD 在平面 内,BDAB, 线段 ,AC如果 ABa,BDb,ACc ,求 C、D 间的距离.AB绥化第九中学高二数学选修 2-1导学案 编辑：卢军 93.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示学习目标 1. 掌握空间向量的正交分解及空间向量基本定理和坐标
24、表示；2. 掌握空间向量的坐标运算的规律；学习过程 一、课前准备（预习教材 P92-96 找出疑惑之处）复习 1：平面向量基本定理：对平面上的任意一个向量 ， 是平面上两个 ,ab向量，总是存在 实数对 ，使得向量 可以用 来,xyP,ab表示，表达式为 ，其中 叫做 . 若 ，则称向量 正交分解. ab复习 2：平面向量的坐标表示：平面直角坐标系中，分别取 x 轴和 y 轴上的 向量作为基底，对平面上任意向量 ，有且只有一对,ij a实数 x， y，使得 ， ，则称有序对aij,x为向量 的 ，即 .二、新课导学 学习探究探究任务一：空间向量的正交分解问题：对空间的任意向量 ，能否用空间的几
25、个向a量唯一表示？如果能，那需要几个向量？这几个向量有何位置关系？新知：1 空间向量的正交分解：空间的任意向量 ，均a可分解为不共面的三个向量 、 、 ，1a23使 . 如果 两两 ，123a,这种分解就是空间向量的正交分解.(2)空间向量基本定理：如果三个向量 ，,abc对空间任一向量 ，存在有序实数组 ，使得pxyz. 把 的一个基底， 都叫做pxaybzc ,基向量.反思：空间任意一个向量的基底有 个.单位正交分解：如果空间一个基底的三个基向量互相 ，长度都为 ，则这个基底叫做单位正交基底，通常用i,j,k表示.空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系O-xyz 和向量 a，且设 i、
26、j、k 为 x 轴、y 轴、z 轴正方向的单位向量，则存在有序实数组 ，使得,，则称有序实数组 为向量 aaxiyjz的坐标，记着 .p设 A ，B ，则 .1(,)z2(,)xyzAB向量的直角坐标运算：设 a ，b ，则123(,)123(,)ab ；,aab ；123,a ；(,)(Rab .123b试试：1. 设 ，则向量 的坐标为 .ijka2. 若 A ，B ，则 .(1,02)(3,1)AB3. 已知 a ，b ，求,5(3,14)ab，ab，8a，ab 典型例题例 1 已知向量 是空间的一个基底，从向量,abc中选哪一个向量，一定可以与向量 ,bc ,pab构成空间的另一个基底
27、？qa变式：已知 O,A,B,C 为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，那么点,OABCO,A,B,C 是否共面？2012 年理科选修 2-1高二 第三章 空间向量与立体几何 月 日 班级： 姓名： 10小结：判定空间三个向量是否构成空间的一个基底的方法是：这三个向量一定不共面.例 2 如图，M,N 分别是四面体 QABC 的边 OA,BC的中点，P,Q 是 MN 的三等分点，用 ,OABC表示 和 .O变式：已知平行六面体 ，点 GABCD是侧面 的中心，且 ，BOa，试用向量 表示下列向量:,OCbc,bc .;A 动手试试练 1. 已知 ，求：2,31,03,2abc ； .bc68a
28、练 2. 正方体 的棱长为 2，以 AABCD为坐标原点，以 为 x 轴、y 轴、z 轴正,方向建立空间直角坐标系，则点 ， 的坐1,C标分别是 ， ， .三、总结提升 学习小结1. 空间向量的正交分解及空间向量基本定理；2. 空间向量坐标表示及其运算 知识拓展建立空间直角坐标系前，一定要验证三条轴的垂直关系，若图中没有建系的环境，则根据已知条件，通过作辅助线来创造建系的图形. 学习评价 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 当堂检测（时量：5 分钟 满分：10 分）计分：1. 若 为空间向量的一组基底，则下列各项中，a,bc能构成基底的是（
29、 ）A. B. ,baC. D. c2,b2. 设 i、j、k 为空间直角坐标系 O-xyz 中 x 轴、y 轴、z 轴正方向的单位向量，且 ，则点 BABijk的坐标是 3. 在三棱锥 OABC 中，G 是 的重心（三条中C线的交点） ，选取 为基底，试用基底表,示 O4. 正方体 的棱长为 2，以 A 为坐ABCD标原点，以 为 x 轴、y 轴、z 轴正方向,建立空间直角坐标系，E 为 BB1 中点，则 E 的坐标是 .5. 已知关于 x 的方程 有22350tt两个实根， ，且 ，catb,b当 t 时， 的模取得最大值 .课后作业 1. 已知 ,求 线段3,57,243AB,ABAB
30、的中点坐标及线段 AB 的长度.2. 已知 是空间的一个正交基底，向量,abc是另一组基底，若 在 的坐标是,ab p,abc，求 在 的坐标.123p,绥化第九中学高二数学选修 2-1导学案 编辑：卢军 113.1.5 空间向量运算的坐标表示学习目标 1. 掌握空间向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式；2. 会用这些公式解决有关问题.学习过程 一、课前准备（预习教材 P95 P97，找出疑惑之处）复习 1：设在平面直角坐标系中，A ，B ，则线段AB .(,3)(,2)复习 2：已知 ，求：3,51,abaB. 3ab； 6A. ； ab.二、新课导学 学习探究探究任务一：
31、空间向量坐标表示夹角和距离公式问题：在空间直角坐标系中，如何用坐标求线段的长度和两个向量之间的夹角？新知：1. 向量的模：设 a ，则a 123(,)2. 两个向量的夹角公式：设 a ，b ，123(,)123(,)由向量数量积定义： ab|a|b|cosa,b，又由向量数量积坐标运算公式：ab ，由此可以得出：cosa,b 试试： 当 cosa、b1 时，a 与 b 所成角是 ； 当 cosa、b1 时，a 与 b 所成角是 ； 当 cosa、b0 时，a 与 b 所成角是 ，即 a 与 b 的位置关系是 ，用符合表示为 .反思：设 a ，b ，则123(,)123(,) a/B. a 与
32、b 所成角是 a 与 b 的坐标关系为 ； ab a 与 b 的坐标关系为 ；3. 两点间的距离公式：在空间直角坐标系中，已知点 ，1(,)Axyz，则线段 AB 的长度为：2(,)Bxyz.22211()Ay4. 线段中点的坐标公式：在空间直角坐标系中，已知点 ，1(,)Axyz，则线段 AB 的中点坐标为: .2(,)Bxyz 典型例题例 1. 如图,在正方体 中，点1BCD分别是 的一个四等分点，求 与,EF11A1E所成的角的余弦值1D变式：如上图,在正方体 中，1ABCD，求 与 所成角的余弦113BEDF1EF值例 2. 如图，正方体 中，点 E,F 分1ABCD别是 的中点，求证
33、： .1,B1EFA2012 年理科选修 2-1高二 第三章 空间向量与立体几何 月 日 班级： 姓名： 12变式：如图，正方体 中，点 M 是1ABCDAB 的中点，求 与 CM 所成角的余弦值.1小结：求两个向量的夹角或角的余弦值的关键是在合适的直角坐标系中找出两个向量的坐标，然后再用公式计算. 动手试试练 1. 已知 A(3,3,1)、B(1，0，5) ，求：线段 AB 的中点坐标和长度；到 A、B 两点距离相等的点 的坐标(,)Pxyzx、y、z 满足的条件练 2. 如图，正方体的棱长为 2，试建立适当的空间直角坐标系，写出正方体各顶点的坐标，并和你的同学交流.三、总结提升 学习小结1
34、. 空间向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式；2. 解决立体几何中有关向量问题的关键是如何建立合适的空间直角坐标系，写出向量的坐标，然后再代入公式进行计算. 知识拓展在平面内取正交基底建立坐标系后，坐标平面内的任意一个向量，都可以用二元有序实数对表示，平面向量又称二维向量.空间向量可用三元有序实数组表示，空间向量又称三维向量.二维向量和三维向量统称为几何向量.学习评价 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 当堂检测（时量：5 分钟 满分：10 分）计分：1. 若 a ，b ，则123(,)123(,)是 的（ ）312ab/
35、bA.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不不要条件2. 已知 ，且 ，2,134,2axab则 x .3. 已知 , 与 的夹角,0ABOAB为 120，则 的值为（ ）A. B. C. D. 6664. 若 ，且 的夹角为2,203,axbx,ab钝角，则 的取值范围是（ ）A. B. 440C. D. 5. 已知 ， 且1,2,12aybx，则（ ）()/()bA. B. ,3x,4yC. D. 124y1x课后作业： 1. 如图，正方体 棱长为 ，ABCDa 求 的夹角；求证： . , ABC绥化第九中学高二数学选修 2-1导学案 编辑：卢军 132. 如图，
36、正方体 中，点 M,N 分别1ABCD为棱 的中点，求 CM 和 所成角的余弦1, N值.3.1 空间向量及其运算（练习）学习目标 1. 熟练掌握空间向量的加法，减法，向量的数乘运算，向量的数量积运算及其坐标表示；2. 熟练掌握空间线段的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式，并能熟练用这些公式解决有关问题.学习过程 一、课前准备：（阅读课本 p115）复习：1. 具有 和 的量叫向量， 叫向量的模； 叫零向量，记着 ； 具有 叫单位向量.2. 向量的加法和减法的运算法则有 法则 和 法则.3.实数 与向量 a 的积是一个 量，记作 ，其长度和方向规定如下：(1)|a| .(2)当
37、0 时，a 与 A. ；当 0 时，a 与 A. ；当 0 时，a .4. 向量加法和数乘向量运算律：交换律：ab 结合律：(ab) c 数乘分配律：(ab) 5. 表示空间向量的 所在的直线互相 或 ，则这些向量叫共线向量，也叫平行向量.空间向量共线定理：对空间任意两个向量 （,ab） ， 的充要条件是存在唯一实数 ， 0b/ab 使得 ； 推论： l 为经过已知点 A 且平行于已知非零向量 的直线，对空间的任意一点 O，点 P 在直线 la上的充要条件是 6. 空间向量共面：共面向量： 同一平面的向量. 定理：对空间两个不共线向量 ，向量 与向,abp量 共面的充要条件是存在 ,ab， 使
38、得 .推论：空间一点 P 与不在同一直线上的三点A,B,C 共面的充要条件是： 存在 ，使 对空间任意一点 O，有 7. 向量的数量积： .ab8. 单位正交分解：如果空间一个基底的三个基向量互相 ，长度都为 ，则这个基底叫做单位正交基底，通常用i,j,k表示.9.空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系O-xyz 和向量 a，且设 i、j、k 为 x 轴、y 轴、z 轴正方向的单位向量，则存在有序实数组 ，使得,，则称有序实数组 为向量 aaxiyjz的坐标，记着 .p10. 设 A ，B ，则 .1(,)z2(,)xyzAB11. 向量的直角坐标运算：设 a ，b ，则123(,)123
39、(,)ab ； ab ；a ； ab 动手试试1在下列命题中：若 a、b 共线，则 a、b 所在的直线平行；若 a、b 所在的直线是异面直线，则a、b 一定不共面；若 a、b、c 三向量两两共面，则 a、b、c 三向量一定也共面；已知三向量a、b、c，则空间任意一个向量 p 总可以唯一表示为 pxaybzc 其中正确命题的个数为（ ）A0 B. 1 C. 2 D. 32在平行六面体 ABCDA 1B1C1D1 中，向量 、1A、 是（ ）1DC1A有相同起点的向量 B等长向量 C共面向量 D不共面向量3已知 a（2，1，3） ，b（1，4，2） ，c（7，5，） ，若 a、b、c 三向量共面，
40、则实数 =（ ）2012 年理科选修 2-1高二 第三章 空间向量与立体几何 月 日 班级： 姓名： 14A. B. C. D. 627364754若 a、b 均为非零向量，则 是 a 与 b|ab共线的（ ）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件5已知ABC 的三个顶点为 A（3，3，2） ，B（4，3，7） ，C（0，5，1） ，则 BC 边上的中线长为（ ）A2 B3 C4 D56. 则 （ ）,2,aijkbijk3abA15 B5 C3 D1 典型例题例 1 如图，空间四边形 OABC 中，,OAaBb，点 M 在 OA 上，且 OM=2MA
41、,点 为Cc N的中点，则 .N变式：如图，平行六面体 中，ABCD， ,点 分别是,ABaDbc,PMN的中点，点 Q 在 上，且 ,C 41A用基底 表示下列向量：,c ; ; ; .PA例 2 如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，,点 是 的190,2,6ABCAM中点，求证： .1AMB变式：正三棱柱 ABCA1B1C1 的侧棱长为 2，底面边长为 1，点 M 是 的中点，在直线 上求一1点 N，使得 1学习评价 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 当堂检测（时量：5 分钟 满分：10 分）计分：1直三棱柱 ABCA1B1C1
42、 中，若 ，Aa， ， 则 （ ）CBbcA. B. aabcC. D. 2. 、,m(,nR向 量 且（ ）0)则A B 与 不平行也不垂直/mC. ， D以上情况都可能.3. 已知+ + ，| |2，| |3，| | ，则向量abc0abc19与 之间的夹角 为（ ）,A30 B45 C 60 D以上都不对4.已知 且 与 互1,0,2abkab2相垂直，则 的值是（ ）kA. .1 B. C. D. 53755. 若 A(m1，n1,3) ， B. (2m,n,m2n) ，C(m3,n3,9)三点共线，则 m+n= 课后作业 绥化第九中学高二数学选修 2-1导学案 编辑：卢军 15如图，在棱长为 1 的正方体 中，1ABC
